Экстраполяция как считать

Онлайн калькулятор расчета линейной экстраполяции по 2 точкам с выводом формулы решения и графика.

Калькулятор линейной экстраполяции позволяет вычислить значение линейной функции если абсцисса (Х) искомой точки лежит за пределами отрезка интерполяции [X₁, X₂].

Формула линейной экстраполяции

расчет линейной экстраполяции по двум точкам

Помощь на развитие проекта premierdevelopment.ru

Send mail и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Порядок действий при расчете линейной экстраполяции онлайн калькулятором:

1. Для проведения экстраполяции требуется ввести значения координат 2 точек ([X₁, Y₁]; [X₂, Y₂]) и абсциссу (Х) той точки, значение которой необходимо вычислить.
2. График справа позволяет визуализировать полученный линейной экстраполяцией результат.

интерполяция — способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. линейная интерполяция — нахождение промежуточного значения функции по двум точкам (условно проведя прямую между ними). квадратичная интерполяция — нахождение промежуточного значения функции по трем точкам (интерполирующая функция многочлен второго порядка — парабола). экстраполяция — способ нахождения значений функции по уже известным нескольким ее значениям.

Экстраполяция — что это простыми словами, примеры из жизни

Экстраполяция – это распространение частных знаний на более обширную совокупность объектов или явлений. К примеру, если ведро воды из открытого крана набирается за 15 секунд, можно с уверенностью сказать, что за следующие 60 секунд наберётся ещё 4 ведра. Если одной банки краски хватило на 10 квадратных метров стены, значит, чтобы покрасить всю стену площадью 80 квадратных метров, потребуется ещё 7 банок.

Термин «экстраполяция» имеет латинское происхождение. Он образован от слов extra (сверх) и polio (задаю, меняю). Таким образом, дословно оригинальный термин можно перевести как «меняю (задаю, определяю) сверх того, что есть».

Экстраполяция (экстраполирование) широко применяется в математических и статистических вычислениях. При этом помимо конкретных значений величин важно знать, как они меняются со временем. Если величина меняется линейно, то и экстраполяция должна быть линейной. Если же величина меняется пропорционально, то и экстраполировать нужно соответствующим образом.

Противоположным методом является интерполяция (или интерполирование) – определение неизвестных промежуточных частных значений по известной общей закономерности.

Экстраполяция (или экстраполирование) позволяет предполагать, как одна величина будет меняться в зависимости от другой. Экстраполировать можно как количественные, так и качественные характеристики. Это позволяет строить довольно точные прогнозы. И всё же полученные данные нельзя считать абсолютно точными, гарантированными или доказанными.

Примеры экстраполяции

Популярный пример, с которым знакомы все – это предположения о том, какой будет погода в определённое время. Если у человека спросить, какой будет погода в январе, он скажет, что будет мороз и снег, поскольку так было в предыдущие годы. Таким образом, он распространяет полученные ранее знания на период, о котором пока ничего не знает. Это и есть экстраполяция.

Рассмотрим простой пример. На острове жило 100 кроликов, а через год их стало 200. Можно предположить, что за год популяция кроликов всегда увеличивается на 100, и применять линейную экстраполяцию, считая, что на следующий год кроликов будет 300, а ещё через год – 400. Но если сразу исходить из того, что количество кроликов удвоилось, то здесь следует использовать параболическую интерполяцию. Это значит, что на третий год кроликов станет 400, а на четвёртый – 800.

Применяется экстраполяция и в экономике. Зная, с какой скоростью растёт экономика определённого государства, экономисты могут предполагать, какой она будет через несколько лет, если не произойдёт никаких форс-мажоров и экономических потрясений. Аналогично можно оценивать и негативные факторы. Например, если в стране с каждым годом увеличивается количество безработных, экстраполяция позволяет оценить, какого уровня достигнет безработица к определённому году.

В математике экстраполяция позволяет использовать уравнения из одной предметной области в другой, строить графики и даже идентифицировать функции, зная лишь ограниченное количество значений. В социальной сфере экстраполяция – это важный метод анализа общественного мнения. Любой опрос или другое исследование проводится на ограниченной выборке людей, после чего полученные соотношения распространяются (экстраполируются) на всё население.

Стратегии экстраполяции

При выполнении экстраполяции обычно прибегают к одной из трёх базовых стратегий:

• Аналоговое моделирование. Данная стратегия подразумевает нахождение аналогий между процессами, имеющими разную физическую природу, и перенесение знаний с одного процесса на другой. К примеру, знание о том, как течёт ток в проводнике, можно использовать для расчёта движения воды по трубе или распространения тепла в твердом теле.
• Индукционная экстраполяция.Это нахождение тенденции и построение прогнозов на её основе.
• Распространение данных.Эта стратегия подразумевает распространение знаний или выводов об одном объекте на всю группу однотипных объектов (генеральную совокупность).

Например, при установлении общественного мнения проводятся социальные опросы. В них участвует очень небольшое количество людей (обычно не более нескольких тысяч). Но полученные данные экстраполируются на всю социальную группу или всё население страны. Таким образом, в соцопросах используется распространение данных на генеральную совокупность.

Экстраполяция в экономике

Экономические процессы подчиняются определённым закономерностям (хоть стороннему наблюдателю и может показаться, что многие события в экономике происходят спонтанно и непредсказуемо). Определив эти закономерности, можно использовать их для прогнозирования дальнейшего развития экономики посредством экстраполирования.

К примеру, экстраполяция применяется для прогнозирования роста ВВП страны. Достаточно проанализировать значения за предыдущие годы, чтобы увидеть тенденцию и понять, как он будет меняться в ближайшие несколько лет. Конечно же, эта оценка будет справедливой только при условии, что не будет форс-мажорных обстоятельств, резко меняющих экономическую ситуацию.

Экстраполяция в статистике

Статистика – одна из наиболее очевидных сфер применения экстраполирования. Практически любые статистические исследования проводятся на ограниченной выборке, после чего собранные данные экстраполируются на всю генеральную совокупность.

К примеру, при проведении опроса невозможно опросить каждого гражданина государства. Для этого определяется выборка, дифференцированная по определённым показателям (например, по среднему доходу). В РФ такие выборки определяются для каждого субъекта федерации, а результаты опросов вносятся в единую базу и экстраполируются на всё население страны.

Экстраполяция в маркетинге

Маркетинг – это вид деятельности, основная задача которого заключается в том, чтобы увеличить количество продаж и повысить прибыль. Одним из важнейших инструментов в маркетинге является прогнозирование, поскольку важно понимать как будет меняться спрос, конкуренция и прочие рыночные факторы. А экстраполяция – один из основных методов прогнозирования, обеспечивающий довольно точные прогнозы.

Рассмотрим пример экстраполяции в маркетинге. Предположим у нас есть данные по продаже товара за 4 недели. Было продано 210, 230, 240 и 250 единиц соответственно. Наблюдается тенденция к повышению спроса, при этом зависимость практически линейная. Поэтому можно предположить, что к концу следующего месяца продажи вырастут до 290-300 единиц товара в неделю. И поставщик должен быть готов обеспечить нужное количество.

Особенность экстраполяции в маркетинге заключается в том, что она подходит только для краткосрочного прогнозирования (год-два). Объясняется это тем, что в современном мире рынки развиваются очень динамично. Постоянно появляются новые товары и бренды, меняется уровень конкуренции, возникает и исчезает спрос на определённые виды продукции. На рынок влияет такое большое количество факторов, что строить долгосрочные прогнозы крайне сложно.

Научная электронная библиотека

При формировании прогнозов с помощью экстраполяции обычно исходят из статистически складывающихся тенденций изменения тех или иных количественных характеристик объекта. Экстраполируются оценочные функциональные системные и структурные характеристики. Экстраполяционные методы являются одними из самых распространенных и наиболее разработанных среди всей совокупности методов прогно­зирования.

С помощью этих методов экстраполируются количественные параметры больших систем, количественные характеристики экономического, научного, производственного потенциала, данные о результа­тивности научно-технического прогресса, характеристики соотношения отдельных подсистем, блоков, элементов в системе показателей сложных систем и др.

Однако степень реальности такого рода прогнозов и соответ­ственно мера доверия к ним в значительной мере обусловливаются аргументированностью выбора пределов экстраполяции и стабиль­ностью соответствия "измерителей" по отношению к сущности рас­сматриваемого явления. Следует обратить внимание на то, что слож­ные объекты, как правило, не могут быть охарактеризованы одним параметром. В связи с этим можно сделать некоторое представление о последовательности действий при статистическом анализе тенден­ций и экстраполировании, которое состоит в следующем:

— во-первых, должно быть четкое определение задачи, выдвиже­ние гипотез о возможном развитии прогнозируемого объекта, обсуж­дение факторов, стимулирующих и препятствующих развитию данного объекта, определение необходимой экстраполяции и её допустимой дальности;

— во-вторых, выбор системы параметров, унификация различных единиц измерения, относящихся к каждому параметру в отдельности;

— в-третьих, сбор и систематизация данных. Перед сведением их в соответствующие таблицы еще раз проверяется однородность дан­ных и их сопоставимость: одни данные относятся к серийным изде­лиям, а другие могут характеризовать лишь конструируемые объекты;

— в-четвертых, когда вышеперечисленные требования выполнены, задача состоит в том, чтобы в ходе статистического анализа и не­посредственной экстраполяции данных выявить тенденции или симп­томы изменения изучаемых величин. В экстраполяционных прогнозах особо важным является не столько предсказание конкретных значе­ний изучаемого объекта или параметра в таком-то году, сколько своевременное фиксирование объективно намечающихся сдвигов, ле­жащих в зародыше назревающих тенденций.

Для повышения точности экстраполяции используются различные приемы. Один из них состоит, например, в том, чтобы экстраполи­руемую часть общей кривой развития (тренда) корректировать с уче­том реального опыта развития отрасли-аналога исследований или объекта, опережающих в своем развитии прогнозируемый объект.

Под трендом понимается характеристика основной закономер­ности движения во времени, в некоторой мере свободной от случай­ных воздействий. Тренд — это длительная тенденция изменения эко­номических показателей. При разработке моделей прогнозирования тренд оказывается основной составляющей прогнозируемого времен­ного ряда, на которую уже накладываются другие составляющие. Ре­зультат при этом связывается исключительно с ходом времени. Пред­полагается, что через время можно выразить влияние всех основ­ных факторов.

Под тенденцией развития понима­ют некоторое его общее направление, долговременную эволюцию. Обычно тенденцию стремятся представить в виде более или менее гладкой траектории.

Анализ показывает, что ни один из существующих методов не может дать достаточной точности прогнозов на 20-25 лет. Применяе­мый в прогнозировании метод экстраполяции не дает точных резуль­татов на длительный срок прогноза, потому что данный метод исхо­дит из прошлого и настоящего, и тем самым погрешность накапли­вается. Этот метод дает положительные результаты на ближайшую перспективу прогнозирования тех или иных объектов не более 5 лет.

Для нахождения параметров приближенных зависимостей между двумя или несколькими прогнозируемыми величинами по их эмпиричес­ким значениям применяется метод наименьших квадратов. Его сущ­ность состоит в минимизации суммы квадратов отклонений меж­ду наблюдаемыми (фактическими) величинами и соответствующими оценками (расчет­ными величинами), вычисленными по подобранному уравнению связи.

Этот метод лучше других соответствует идее усреднения как единичного влияния учтенных факторов, так и общего влияния неуч­тенных.

Рассмотрим простейшие приемы экстраполяции. Операцию экстра­поляции в общем виде можно представить в виде определения значе­ния функции:

где — экстраполируемое значение уровня; L – период упреждения; У_t – уровень, принятый за базу экстраполяции.

Под периодом упреждения при прогнозировании понимается от­резок времени от момента, для которого имеются последние статис­тические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

Экстраполяция на основе среднего значения временного ряда. В самом простом случае при предположении о том, что средний уровень ряда не имеет тенденции к изменению или если это изменение незначительно, можно принятьт.е. прогнозируемый уровень равен среднему значению уровней в прошлом.

Доверительные границы для средней при небольшом числе на­блюдений определяются следующим образом:

где t_a – табличное значение t – статистики Стьюдента с n-1 степенями и уровнем вероятности p;- средняя квадратическая ошибка средней величины. Значение ее определяется по формуле . В свою очередь, среднее квадратическое отклонение для выборки равно:

где y_t – фактические значения показателя.

Доверительный интервал, полученный как t_a, учитывает неопределенность, которая связана с оценкой средней величины.

Общая дисперсия, связанная как с колеблемостью выборочной средней, так и с варьированием ндивидуальных значений вокруг средней, составит величину S 2 +S 2 /n. Таким образом, доверительные интервалы для прогностической оценки равны:

Экстраполяция по скользящей и экспоненциальной средней. Для краткосрочного прогнозирования наряду с другими приемами могут быть применены адаптивная или экспоненциальная скользящие сред­ние. Если прогнозирование ведется на один шаг вперед, то или , где М_t — адаптивная скользящая средняя; N_t — экспоненциальная средняя. Здесь доверительный интервал для скользящей средней можно определить по формуле (2.10), в которой число наблюдений обозначено символом n. Поскольку при расчете скользящей средней через m обозначалось число членов ряда, участвующих в расчете средней, то заменим в этой фор­муле n на m, равным нечетным числам.

При экспоненциальном сглаживании дисперсия экспоненциальной средней равна , где S -среднее квадратическое отклонение, вместо величины в фор­муле (2.10) при исчислении доверительного интервала прогноза следует взять величину или . Здесь a— коэффициент экспоненциального сглаживания, изменяется от 0 до 1. Если 0<a<0,5, то при расчете прогноза учитываются прошлые значения временного ряда, а при 0,5<a<1 – значения, близкие к периоду упреждения. Примерное значение коэффициента сглаживания определяют по формуле Р.Брауна:

где m – число уровней временного ряда, входящих в интервал сглаживания.

Экстраполяция на основе сред­него темпа. Если в основу прогностического расчета положен средний темп роста, то экстраполируемое значение уровня можно получить с помощью формулы: , где — средний темп роста, У_t — уровень, принятый за базу для экстра­поляции. Здесь принят только один путь развития — развитие по геометрической прогрессии, или по экспонентной кривой. Во мно­гих же случаях фактическое развитие явления следует иному зако­ну, и экстраполяция по среднему темпу нарушает основное допуще­ние, принимаемое при экстраполяции, — допущение о том, что раз­витие будет следовать основной тенденции — тренду, наблюдавшему­ся в прошлом. Чем больше фактический тренд отличается от экспоненты, тем больше данные, получаемые при экстраполяции тренда, будут отличаться от экстраполяции на основе среднего темпа.

Средний темп или определяется на основе изучения прошлого, или оценивается каким-либо другим путем (например, подбор вари­антов для различных ситуаций). В качестве исходного (базового) уровня для экстраполяции представляется естественным взять по­следний уровень ряда, поскольку будущее развитие начинается имен­но с этого уровня.

Статистическая надежность вышеприведенных методов оценивается с помощью коэффициента вариации:

где- среднее квадратическое отклонение;

— среднее значение временного ряда.

Метод считается статистически надежным и может быть использован для прогнозирования, если значение коэффициента вариации не превышает 10%.

Однофакторные прогнозирующие функции

Это такие функции, в которых прогнозируемый показатель зависит только от одного факториального признака.

В научно-техническом и экономическом прогнозировании в качестве главного фактора аргумента обычно используют время. Вполне очевидно, что не ход времени определяет величины прогнозируемого показателя, а действие многочисленных влияющих на него факторов. Однако каждому моменту времени соответствуют определенные характеристики всех этих факториальных признаков, которые со временем в той или иной мере изменяются. Таким образом, время можно рассматривать как интегральный показатель суммарного воздействия всех факториальных признаков.

В качестве фактора-аргумента в однофакторной прогнозирующей функции можно использовать не только время, но и другие факторы, если известна их количественная оценка на перспективу.

Наиболее простым из методов прогнозирования является экстраполяция тренда явления (процесса) за истекший период. Тренд (или вековая тенденция) характеризует процесс изменения показателя за длительное время, исключая случайные колебания. Тренд явления находят путем аппроксимации фактических уровней временного ряда на основе выбранной функции. Наиболее часто применяемые при прогнозировании функции показаны в табл. 2.3. В них фактор-аргумент обозначен символом t.