2. Рабочие формулы
Экспериментальное изучение пространственного распределения потенциала и напряженности произвольной системы зарядов весьма трудоемкая задача. Для ее решения необходимо определить потенциал в различных точках пространства, окружающего систему зарядов, а затем рассчитать напряженность поля в каждой точке.
В данной работе ограничимся изучением электростатического поля в плоскости XOY (при z = 0).
Рассмотрим, как меняется потенциал в направлении оси OX (при y = 0). Для этого при заданном расположении заряженных тел измерим значение потенциала вдоль оси OX через равные расстояния x . Получим зависимость ϕ = ϕ ( x ).
Между каждыми двумя точками можно вычислить изменение потенциала Δϕ . Средняя напряженность поля между двумя точками равна
Так как полученное значение напряженности является средним для выбранного отрезка, будем считать, что поле имеет такую напряженность в середине отрезка
Проведя измерения в различных точках вдоль оси OX, можно по-
строить графическую зависимость напряженности электрического поля от координаты E = E ( x ) вдоль оси OX (при y = z = 0).
Аналогично рассуждая можно экспериментально получить графические зависимости напряженности электрического поля в любом направлении.
2.2. Построение силовых линий поля
Находя точки с одинаковым
потенциалом и соединяя их плавной
линией, для заданного пространст-
венного распределения зарядов
можно построить эквипотенциаль-
ные поверхности (поверхности с
одинаковым потенциалом). По из-
построить силовые линии поля .
С одной стороны, как было
показано ранее, силовые линии по-
ля всегда перпендикулярны эквипо-
С другой стороны, напряженность электрического поля связана с
При одном и том же изменении потенциала Δϕ = ϕ 2 – ϕ 1 производная по
будет максимальна, если расстояние r , на котором
потенциал меняется на величину Δϕ , будет минимальным.
Следовательно, силовые линии пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом и по кратчайшему расстоянию .
Чтобы провести силовую линию, выберите на эквипотенциальной поверхности точку (рис. 5). Проведите в ней перпендикуляр к поверхности. Найдите на соседней эквипотенциальной поверхности другую точку, расстояние от которой до первой точки будет минимальным. Проведите перпендикуляр и в этой точке. Плавно соедините обе точки так, чтобы полученная линия пересекала эквипотенциальные поверхности под прямым углом. Укажите направление полученной силовой линии.
При построении линий напряженности необходимо помнить, что силовые линии начинаются (выходят) на положительном заряде и заканчиваются (входят) на отрицательном.
2.3. Суперпозиция напряженности и потенциала заряженных тел различной формы
Напряженность поля – векторная величина. Поэтому аналитические выражения для напряженности обычно приводят в проекции на некоторое характерное направление, которое выбирается исходя из симметрии распределения зарядов в пространстве.
В таблице приведены аналитические выражения и графики напряженности и потенциала для некоторых заряженных тел. Расположение тел в выбранной системе координат также приведено на графиках. (В таблице r , α – координаты в полярной системе координат; x – координата в декартовой системе координат. E r – радиальная составляю-
щая напряженности электрического поля; E x – x -компонента напря-
женности электрического поля. В записи потенциала константа C выбирается так, чтобы на бесконечности потенциал был равен нулю и непрерывен.)
Урок 27. Напряжённость и потенциал электростатического поля. Разность потенциалов
Напряжённость — отношение силы, действующей на помещаемый в данную точку поля точечный заряд, к этому заряду.
Потенциал точки электростатического поля -отношение потенциальной энергии заряда, помещённого в данную точку, к этому заряду.
Напряжение – разность потенциалов.
Потенциальное поле – поле, работа которого по перемещению заряда по замкнутой траектории всегда равна нулю.
Напряжённость направлена в сторону убывания потенциала.
Эквипотенциальные поверхности – поверхности равного потенциала.
Свободные заряды — заряженные частицы, способные свободно перемещаться в проводнике под влиянием электрического поля.
Электростатическая индукция – явление разделения зарядов и их распределение по поверхности проводника во внешнем электрическом поле.
Основная и дополнительная литература
Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев, Н. Н. Сотский. Физика.10 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.: Просвещение, 2014. – С. 290 – 320.
Рымкевич А.П. Сборник задач по физике. 9 – 11 класс. М. Дрофа, 1999 – С. 93 — 102
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Согласно идее Фарадея электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждый из них создаёт в окружающем пространстве электрическое поле.
Электрическое поле — это особый вид материи, посредством которой происходит взаимодействие зарядов. Скорость распространения электрического поля в вакууме равна 300000 км/с.
Напряжённость Е — силовая характеристика электрического поля.
Электрическое поле, напряженность которого одинакова во всех точках, называется однородным. Поле между параллельными пластинами однородно
Главное свойство электрического поля – это действие его на электрические заряды с некоторой силой.
Напряжённость-это отношение силы, действующей на помещаемый в данную точку поля точечный заряд, к этому заряду.
Если в данной точке пространства различные заряженные частицы создают поля, напряжённости которых Е1, Е2, то результирующая напряжённость поля в этой точке равна геометрической сумме напряжённостей этих полей. В этом состоит принцип суперпозиции полей.
Заряд, помещенный в электрическое поле обладает потенциальной энергией.
Потенциалом φ точки электростатического поля называют отношение потенциальной энергии Wn заряда, помещённого в данную точку, к этому заряду q.
Напряжение – это работа, совершаемая полем при перемещении заряда 1Кл.
Примеры и разбор решения заданий
1. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго
Потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле
Решение: вспомнив формулы величин, можем установить:
Потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле
2. В однородном электрическом поле напряжённостью 1 В/м переместили заряд -25 нКл в направлении силовой линии на 2 см. Найти работу поля, изменение потенциальной энергии заряда и напряжение между начальной и конечной точками перемещения.
Работа электрического поля при перемещении заряда вдоль силовой линии:
при этом изменение потенциальной энергии равно:
Напряжение между начальной и конечной точками перемещения равно:
ΔA = -25 · 10 -9 Kл · 10 3 B/м · 0,02 м = -0,5 мкДж;
Ответ: 
График зависимости напряжения от потенциала
Нарисовать графики зависимости напряженности поля и потенциала от координаты x
Практикум абитуриента. Напряженность, напряжение, потенциал
Задача 3. Две плоскости расположены параллельно друг другу на расстоянии $d$ и заряжены с поверхностной плотностью заряда $\sigma_1$ и $\sigma_2$ соответственно. Нарисовать графики зависимости напряженности поля и потенциала от координаты $x$ (ось $ОХ$ перпендикулярна пластинам). Рассмотреть случаи одноименных и разноименных зарядов на пластинах.
Каждая плоскость создает по обе стороны от себя однородное электрическое поле, напряженность которого
Воспользовавшись принципом суперпозиции, для случая одноименных зарядов приходим к графику, показанному на рисунке,
а для разноименных – к графику на рисунке.
Скачки напряженности опять соответствуют общему правилу:
Соответствующие графики для потенциалов показаны на рисунке для одноименных зарядов
На отдельных участках зависимость потенциала от координаты – линейная, так как напряженность поля постоянна. Изломы происходят в тех местах, где напряженность поля испытывает скачок.
Заметим, что в данной задаче потенциал не стремится к нулю при $x \to \infty$. Это, очевидно, связано с тем, что плоскость бесконечна. В действительности размеры реальных пластин всегда ограничены; это приводит к тому, что потенциал падает с увеличением расстояния от пластин.
Физический портал для школьников и абитуриентов
Вы здесь
Нарисуйте графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния r от центра шара
Практикум абитуриента. Напряженность, напряжение, потенциал
Задача 2. Шар радиуса $R$ равномерно заряжен по всему объему. Полный заряд тара $Q$. Нарисуйте графики зависимости напряженности и потенциала от расстояния $r$ от центра шара.
Такой шар можно представить себе состоящим из большого числа тонких заряженных сфер, вложенных одна в другую. Каждая сфера внутри себя поля не создает, а вне создает поле такое же, как точечный заряд, помещенный в ее центр. Поэтому вне шара, при $r > R$, напряженность такая же, как напряженность поля точечного заряда $Q$, помещенного в центр шара:
Внутри шара, на расстоянии $r
Таким образом, внутри шара напряженность поля
она линейно растет с расстоянием.
На поверхности шара, в точке $r = R$, напряженность скачка не испытывает. Это находится в соответствии с общим правилом, так как поверхностная плотность заряда в данном случае равна нулю: шар заряжен однородно, и на бесконечно тонкий поверхностный слой приходится бесконечно малый заряд.
График зависимости $E$ от $r$ показан на рисунке.
Нарисуем теперь график потенциала. Производная от потенциала 
всегда отрицательна ($E \geq 0$). Поэтому с увеличением $r$ потенциал должен монотонно убывать. В точке $r = 0$ производная потенциала равна нулю. Следовательно, касательная к графику в этой точке горизонтальна: в точке $r = 0$ потенциал имеет максимум. В точке $r = R$ ни потенциал, ни его производная скачков не испытывают. Первое следует из общего правила для потенциала, о втором мы уже говорили выше. Поэтому кривые, изображающие зависимость потенциала от расстояния при $r R$, в точке $r = R$ должны сопрягаться – гладко без излома переходить одна в другую. При $r \to \infty$ потенциал $\varphi \to \infty$. График зависимости $\varphi$ от $r$ представлен на рисунке.
Потенциальная диаграмма электрической цепи
Потенциальной диаграммой называется графическое изображение распределения электрического потенциала вдоль замкнутого контура в зависимости от сопротивления участков, входящих в выбранный контур.
Для построения потенциальной диаграммы выбирают замкнутый контур. Этот контур разбивают на участки таким образом, чтобы на участке находился один потребитель или источник энергии. Пограничные точки между участками необходимо обозначить буквами или цифрами.
Произвольно заземляют одну точку контура, её потенциал условно считается нулевым. Обходя контур по часовой стрелке от точки с нулевым потенциалом, определяют потенциал каждой последующей пограничной точки как алгебраической суммы потенциала предыдущей точки и изменения потенциала между этими соседними точками.
Изменение потенциала на участке зависит от состава цепи между точками. Если на участке включен потребитель энергии (резистор), то изменение потенциала численно равно падению напряжения на этом резисторе. Знак этого изменения определяют направлением тока. При совпадении направлений тока и обхода контура знак отрицательный, в противном случае он положительный.
Если на участке находится источник ЭДС, то изменение потенциала здесь численно равно величине ЭДС данного источника. При совпадении направления обхода контура и направления ЭДС изменение потенциала положительно, в противном случае оно отрицательно.
После расчета потенциалов всех точек строят в прямоугольной системе координат потенциальную диаграмму. На оси абсцисс откладывают в масштабе сопротивление участков в той последовательности, в которой они встречались при обходе контура, а по оси ординат – потенциалы соответствующих точек. Потенциальная диаграмма начинается с нулевого потенциала и заканчивается после обхода контура таковым.
Построение потенциальной диаграммы электрической цепи
В данном примере потенциальную диаграмму строим для первого контура цепи, схема которой изображена на рисунке 1.
Рис. 1. Схема сложной электрической цепи
В рассматриваемый контур входят два источника питания E1 и E2, а также два потребителя энергии r1, r2.
Разбиваем данный контур на участки, границы которых обозначаем буквами a, b, c, d. Заземляем точку а, условно считая её потенциал нулевым, и обходим контур по часовой стрелке от этой точки. Таким образом, φ a = 0 .
Следующей точкой на пути обхода контура будет точка b. На участке ab находится источник ЭДС Е1. Так как на данном участке мы идем от отрицательного полюса источника к положительному, то потенциал повышается на величину Е1 :
При переходе от точки b к точке c происходит уменьшение потенциала на величину падения напряжения на резисторе r1 (направление обхода контура совпадает с направлением тока в резисторе r1) :
φ с = φ b — I 1 r1 = 24 — 3 х 4 = 12 В
При переходе к точке d потенциал возрастает на величину падения напряжения на резисторе r2 (на этом участке направление тока встречно направлению обхода контура) :
φ d = φ c + I2r2 = 12 + 0 х 4 = 12 В
Потенциал точки а меньше потенциала точки d на величину ЭДС источника E2 (направление ЭДС встречно направлению обхода контура) :
Результаты расчета используют для построения потенциальной диаграммы. На оси абсцисс откладывают сопротивление участков в той последовательности, как они встречаются при обходе контура от точки с нулевым потенциалом. Вдоль оси ординат откладывают рассчитанные ранее потенциалы соответствующих точек (рисунок 2 ).
Рисунок 2 . Потенциальная диаграмма контура
Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!
Подписывайтесь на наш канал в Telegram!
Просто пройдите по ссылке и подключитесь к каналу.
Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:
Учебники
Журнал «Квант»
Общие
§9. Электрическое поле и его свойства
9.10 Связь между потенциалом и напряженностью электрического поля.
Потенциал является важной характеристикой электрического поля, он определяет всевозможные энергетические характеристики процессов, проходящих в электрическом поле. Кроме того, расчет потенциала поля проще расчета напряженности, хотя бы потому, что является скалярной (а не векторной) величиной. Безусловно, что потенциал и напряженность поля связаны меду собой, сейчас мы установим эту связь. Пусть в произвольном электростатическом поле точечный заряд q совершил малое перемещение \(
\Delta \vec r\) из точки 1 в точку 2 (Рис. 179). Пренебрегая изменением напряженности поля \(
\vec E\) на этом участке, работу, совершенную полем можно записать в виде
\delta A = \vec F \cdot \Delta \vec r = q \vec E \cdot \Delta \vec r\) .
По определению эта величина равна разности потенциалов, взятой с противоположным знаком, деленной на величину заряда, поэтому
\Delta \varphi = \varphi_2 — \varphi_1 = -\frac = — \vec E \cdot \Delta \vec r\) . (1)
Если расстояние между точками 1 и 2 не является малым, то необходимо эти точки соединить произвольной линией (Рис. 180), разбить ее на малые участки \(
\Delta \vec r_1, \Delta \vec r_2, \Delta \vec r_3, \ldots\) и просуммировать разности потенциалов между (1) ними
\varphi_1 — \varphi_2 = \vec E_1 \cdot \Delta \vec r_1 + \vec E_2 \cdot \Delta \vec r_2 + \vec E_3 \cdot \Delta \vec r_3 + \ldots\) . (2)
Формула (2) позволяет рассчитать разность потенциалов между произвольными точками, по известным значениям напряженности поля во всех точках.
Как и следовало ожидать, связь между разностью потенциалов и напряженностью поля аналогична связи между изменением потенциальной энергии и действующей силой. Так, если вдоль некоторой прямой (назовем ее осью X), проекция вектора напряженности на эту ось изменяется по некоторому закону EX(x), то площадь под графиком этой функции между точками с координатами x1 и x2 численно равна разности потенциалов между этими точками, взятой с противоположным знаком.
Заметим, что если двигаться вдоль направления вектора напряженности, то потенциал поля будет уменьшаться, так как при таком движении поле совершает положительную работу, поэтому энергия взаимодействия уменьшается.
Так как электростатическое поле является потенциальным, то результат суммирования в формуле (2) не зависит от выбранной линии, важно только, чтобы она начиналась в точке 1 и заканчивалась в точке 2. Кстати, с подобной конструкцией сумма скалярных произведений вектора на малый элемент траектории мы уже неоднократно встречались. Напомним, что такая сумма, вычисленная по замкнутой траектории, называется циркуляцией векторного поля.
Так как электростатическое поле потенциально, то циркуляция вектора напряженности электростатического поля по любой замкнутой линии равна нулю ГE = 0(Рис. 182).
Таким образом, мы сформулировали вторую важнейшую теорему для вектора напряженности стационарного электростатического поля. Никакого нового физического содержания в этой теореме нет – это просто повторение в иной форме свойства потенциальности. Заметим также, что теорема о циркуляции утверждает, что в электростатическом поле не может быть замкнутых силовых линий, все силовые линии начинаются и заканчиваются на электрических зарядах, или что равносильно – единственными источниками электростатического поля являются электрические заряды. Заметим, что данной утверждении справедливо, только в статических полях (не зависящих от времени), в дальнейшем мы познакомимся с электрическим полями, в которых существуют замкнутые силовые линии, такие поля порождаются изменяющимися магнитными полями.
Задание для самостоятельной работы.
- Докажите, что в электростатическом поле не могут существовать замкнутые силовые линии.
Формула (1) позволяет выразить значение вектора напряженности через известное распределение потенциала поля. Только не следует делить на вектор – такая операция в математике еще не определена. Рассмотрим две близких точки 1 и 2, находящиеся на прямой, параллельной оси X на малом расстоянии Δx (Рис. 183). Пусть напряженность вблизи этих точек равна \(
\vec E\) , и ее изменением пренебрежем из-за близости рассматриваемых точек. Тогда разность потенциалов между этими точками равна
-\Delta \varphi = \varphi_1 — \varphi_2 = \vec E \cdot \Delta \vec r = E_x \cdot \Delta x\) .
Из этого выражения законно находим проекцию вектора напряженности на ось X:
Аналогично, рассматривая две близких точки 1 и 3, находящиеся на прямой, параллельной оси Y на малом расстоянии Δy, можно получить выражение для проекции вектора напряженности на ось Y:
Выражение для проекции вектора на ось Z — Ez также полностью аналогично
Особо отметим, что величины Δφ, фигурирующие в формулах (3)-(5) различны, так как они выражают разности потенциалов между близкими точками, но смещенными в различных направлениях.
Полученным выражениям для напряженности поля можно дать и графическую интерпретацию (Рис. 184): коэффициент наклона касательной к графику зависимости φ(x), взятый с обратным знаком, численно равен проекции вектора напряженности на ось X.
В общем случае потенциал электрического поля зависит от трех координат точки, поэтому графически представить эту зависимость невозможно. Мы уже пользовались зависимостью потенциала от одной координаты φ(x) и строили графики этой зависимости. Фактически, мы задавали зависимость потенциала от одной координаты, при движении вдоль прямой параллельной оси x, если мы выберем другую прямую, также параллельную оси x, то получим другую функцию φ(x). Поэтому при рассмотрении подобных зависимостей надо явно указывать на какой прямой, рассматривается потенциал. Проще всего, во избежание путаницы указывать в явном виде при каких значениях других координат y = const, z = const рассматривается зависимость φ(x) = φ(x,y ,z ). Точно также можно изучать зависимость потенциала от двух координат, считая третью постоянной: например, φ(x,y) = φ(x,y,z ) . То есть, рассматривать распределение потенциала в некоторой плоскости параллельной координатной плоскости xOy, находящей на расстоянии z от нее. Графически эта зависимость может быть представлена некоторой поверхностью, высота точек которой пропорциональна потенциалу в данной точке, такую поверхность далее будем называть потенциальной, по аналогии с потенциальными кривыми, рассмотренными нами ранее. Так на рисунке в качестве примера показана потенциальная поверхность поля точечного заряда, в плоскости, содержащей заряд этот заряд.
Если точечный заряд q находится в начале некоторой системы координат, то потенциал поля, создаваемого этим зарядом в произвольной точке с координатами (x,y,z) определяется формулой
Если мы хотим построить распределение потенциала в плоскости xOy, то в формуле (6) следует положить z = 0. Поверхность, описываемая этим уравнением, показана на рисунке 185. Заметим, что в начале координат потенциал стремится к бесконечности, поэтому изображение потенциальной поверхности искусственно обрезан сверху.
Потенциальные поверхности строить не легко, для этого, как правило, используется компьютер. Однако изображения таких поверхностей бывают очень полезными при анализе движения заряженных частиц. Так движение положительно заряженной частицы в поле, описываемом заданной потенциальной поверхностью, аналогично движению массивного шарика в поле тяжести земли по геометрической поверхности, которая совпадает с потенциальной.
На рисунке 186 для примера построены потенциальные поверхности поля, создаваемого двумя одинаковыми по модулю зарядами: а) одинаковых знаков; б) противоположных знаков.
Вторым способом графического представление потенциала является построение эквипотенциальных поверхностей, то есть геометрического места точек, имеющих одинаковый потенциал, то есть удовлетворяющих уравнению φ(x,y,z) = φ = const.
Так для поля точечного заряда (1) эквипотенциальными поверхностями являются сферы, концентрические с точечным зарядом – все точки, находящиеся на одинаковом расстоянии от заряда, имеют одинаковый потенциал. Формально, уравнение эквипотенциальной сферы можно получить из функции (6). Из уравнения
x^2 + y^2 + z^2 = \left (\frac \right )^2\) , причем сфера большего потенциала имеет меньший радиус.
Заметим, что симметрия эквипотенциальных поверхностей повторяет симметрию источников поля, так поле точечного заряда сферически симметрично, то и эквипотенциальные поверхности обязаны быть сферами.
Конечно, для увеличения наглядности, следует рассматривать не одну эквипотенциальную поверхность, а их семейство. Однако изобразить графически семейство сложных поверхностей на одном рисунке крайне затруднительно. Поэтому часто графически изображают только сечения эквипотенциальных поверхностей некоторой плоскостью, или, что равносильно – множества точек равного потенциала в некоторой плоскости (которые являются линиями).
Линии равного потенциала и потенциальные поверхности тесно связаны между собой. Фактически линии равного потенциала является сечениями потенциальной поверхности. Семейство эквипотенциальных линий полностью аналогично линиям равной высоты (изолиниям) на географической карте. На рисунке 187 показана потенциальная поверхность электростатического поля, созданного двумя точечными зарядами одного знака, но разной величины, в плоскости, содержащей эти заряды. Ниже построено семейство эквипотенциальных линий этого поля в той же плоскости. Эти линии являются линиями уровня для потенциальной поверхности.
В данном примере легко вообразить и семейство трехмерных эквипотенциальных поверхностей. Система двух точечных зарядов обладает осевой симметрией – осью симметрии является прямая, проходящая через оба заряда, на рисунке она обозначена как ось X. Поэтому и поле, и его эквипотенциальные поверхности обладают осевой симметрией – достаточно повернуть картину эквипотенциальных линий вокруг оси X, чтобы получить семейство эквипотенциальных поверхностей.
Эквипотенциальные поверхности также тесно связаны с силовыми линиями электрического поля. Если электрический заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности, то работа поля равна нулю, так работа по перемещению заряда q пропорциональна изменению потенциала \(
\delta A = -q \Delta \varphi\) , а на эквипотенциальной поверхности Δφ = 0. С другой стороны эта работа выражается через напряженность поля \(
\delta A = q \vec E \cdot \Delta \vec r = q E \Delta r \cos \alpha\) (где \(
\Delta \vec r\) — вектор перемещения заряда, α — угол между векторами напряженности поля и перемещения). Если вектор перемещения направлен вдоль эквипотенциальной поверхности, то работа поля равна нулю, следовательно, вектор напряженности в этом случае перпендикулярен вектору перемещения (косинус прямого угла равен нулю). Таким образом, силовые линии электростатического поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям (Рис. 188). Если же вектор перемещения направлен вдоль силовой линии, то изменение потенциала будет максимальным, следовательно, силовые линии указывает направления максимального изменения (точнее уменьшения) потенциала.
На рисунке 189 показаны одновременно семейства силовых линий и семейство эквипотенциальных поверхностей поля двух точечных зарядов, рассмотренных ранее.