В чем измеряется распределенная нагрузка

1.6. Распределённая нагрузка

Поверхностные и объёмные силы представляют собой нагрузку, распределённую по некоторой поверхности или объёму. Такая нагрузка задаётся интенсивностью , которая представляет собой силу, приходящуюся на единицу некоторого объёма, или некоторой площади, или некоторой длины.

Особое место при решении ряда практически интересных задач занимает случай плоской распределённой нагрузки, приложенной по нормали к некоторой балке. Если вдоль балки направить ось , то интенсивность будет функцией координаты и измеряется в Н/м. Интенсивность представляет собой силу, приходящуюся на единицу длины.

Плоская фигура, ограниченная балкой и графиком интенсивности нагрузки, называется эпюрой распределённой нагрузки (Рис. 1.28). Если по характеру решаемой задачи можно не учитывать деформации, т.е. можно считать тело абсолютно твёрдым, то распределённую нагрузку можно (и нужно) заменить равнодействующей.

Разобьём балку на отрезков длиной , на каждом из которых будем считать интенсивность постоянной и равной , где –координата отрезка . При этом кривая интенсивности заменяется ломаной линией, а нагрузка, приходящаяся на отрезок , заменяется сосредоточенной силой , приложенной в точке (Рис. 1.29). Полученная система параллельных сил имеет равнодействующую, равную сумме сил, действующих на каждый из отрезков, приложенную в центре параллельных сил.

Понятно, что такое представление тем точнее описывает реальную ситуацию, чем меньше отрезок , т.е. чем больше число отрезков . Точный результат получаем, переходя к пределу при длине отрезка , стремящейся к нулю. Предел, получаемый в результате описанной процедуры, представляет собой интеграл. Таким образом, для модуля равнодействующей получаем:

Для определения координаты точки приложения равнодействующей используем теорему Вариньона:

если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра (любой оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно этого центра (этой оси)

Записывая эту теорему для системы сил в проекциях на ось и переходя к пределу при длине отрезков, стремящейся к нулю, получаем:

Очевидно, модуль равнодействующей численно равен площади эпюры распределённой нагрузки, а точка её приложения совпадает с центром тяжести однородной пластины, имеющей форму эпюры распределённой нагрузки.

Отметим два часто встречающихся случая.

Равномерно распределённая нагрузка,(Рис. 1.30). Модуль равнодействующей и координата её точки приложения определяются по формулам:

В инженерной практике такая нагрузка встречается довольно часто. Равномерно распределённой в большинстве случаев можно считать весовую и ветровую нагрузку.

Линейно распределённая нагрузка,(Рис. 1.31). В этом случае:

В частности, давление воды на вертикальную стенку прямо пропорционально глубине .

Определить реакции опор ибалки, находящейся под действием двух сосредоточенных сил и равномерно распределённой нагрузки. Дано:

Найдём равнодействующую распределённой нагрузки. Модуль равнодействующей равен

плечо силы относительно точкиравноРассмотрим равновесие балки. Силовая схема представлена на Рис. 1.33.

Условия равновесия в рассматриваемом случае имеют вид:

Определить реакцию заделки консольной балки, находящейся под действием сосредоточенной силы, пары сил и распределённой нагрузки (Рис. 1.34).

Дано:

Заменим распределённую нагрузку тремя сосредоточенными силами. Для этого разобъём эпюру распределённой нагрузки на два треугольника и прямоугольник. Находим

Силовая схема представлена на Рис. 1.35.

Вычислим плечи равнодействующих относительно оси

Условия равновесия в рассматриваемом случае имеют вид:

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ:

1. Что называется интенсивностью распределённой нагрузки?

2. Как вычислить модуль равнодействующей распределённой нагрузки?

3. Как вычислить координату точки приложения равнодействующей распределённой

4. Чему равен модуль и какова координата точки приложения равномерно распределённой нагрузки?

5. Чему равен модуль и какова координата точки приложения линейно распределённой нагрузки?

ЗАДАЧИ, РЕКОМЕНДУЕМЫЕ ДЛЯ РАЗБОРА В АУДИТОРИИ И ДЛЯ ЗАДАНИЯ НА ДОМ:

Из сборника задач И.В.Мещерского: 4.28; 4.29; 4.30; 4.33; 4.34.

Из учебника «ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА — теория и практика»: комплекты СР-2; СР-3.

Техническая механика

Как мы уже знаем, любая сила характеризуется тремя свойствами: модулем (скалярной размерностью), вектором (направлением в пространстве) и точкой приложения. Для того, чтобы иметь полное представление о характере и последствиях воздействия любой силы на тело или элемент конструкции, необходимо знать — какова величина этой силы, куда она направлена и к какой точке приложена.
В действительности сила не может быть приложена к точке, поскольку точка — безразмерная, бесконечно малая единица пространства, поэтому фактически силы воздействуют на очень малую площадку, размерами которой пренебрегают. Такие силы (приложенные к ничтожно малой площадке тела) называют сосредоточенными .

В реальности часто встречаются силы, приложенные не к точке, а к объему или поверхности тела, например сила тяжести, давления ветра, воды и т. п., т. е. нагрузку воспринимает не бесконечно малая площадка, а значительная площадь или объем тела. Такие силы называют распределенными .
Примером распределенной силы (обычно употребляют выражение «распределенная нагрузка») может послужить выпавший на крышу дома снег. Сила тяжести снежного покрова давит на всю поверхность крыши, нагружая одинаково (или неодинаково) каждую единицу ее площади, а не какую-либо точку.

Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью, обычно обозначаемой латинской буквой q .
Интенсивность — это сила, приходящаяся на единицу длины (или площади) нагруженного участка.
Интенсивность в системе единиц СИ выражается в ньютонах на метр (Н/м) или, соответственно, в ньютонах на квадратный метр (для нагрузки, действующей на площадь).

Интенсивность воздействия силы на площадь характеризует такие физические понятия, как давление и напряжение. В плоской системе рассматривается интенсивность действия силы на единицу длины.

Распределенная нагрузка, имеющая постоянную интенсивность по всей длине участка называется равномерно распределенной (см. рисунок 1) .

При решении задач статики распределенную нагрузку заменяют ее равнодействующей. Модуль равнодействующей равномерно распределенной нагрузки равен Q = ql (см. рисунок) .
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки Q прикладывается в середине отрезка АВ .

Распределенная нагрузка, имеющая переменную интенсивность, называется неравномерно распределенной (рис. 2) .
Примером такой нагрузки может служить меняющееся по высоте давление воды на плотину или снег, лежащий на крыше неровным слоем.
Определение точки С приложения равнодействующей неравномерно распределенной нагрузки производится путем геометрических расчетов и построений. Равнодействующая сила Q при таких нагрузках равна площади фигуры, охватываемой эпюрой нагрузки, а точка С приложения равнодействующей расположена в центре тяжести этой фигуры.

Нагрузки, распределенные по поверхности (по площади), характеризуются давлением, т. е. силой, приходящейся на единицу площади. В системе единиц СИ давление измеряется в Паскалях (Па) или ньютонах на квадратный метр (Н/м 2 ).

Пример решения задачи с распределенной нагрузкой

Задача: Балка находится в равновесии под действием сосредоточенной силы F = 100 Н и равномерно распределенной нагрузки q = 60 Н/м (см. схему 3) .
Необходимо определить реакцию R_В опоры В .

Решение .
Поскольку по условию задачи необходимо определить реакцию опоры В , составим уравнение моментов сил относительно опоры А , учитывая, что равномерно распределенную нагрузку можно заменить сосредоточенной силой:
Q = ql , где l = (10 — 5) метров — часть балки, к которой приложена распределенная нагрузка .
Точка приложения сосредоточенной силы Q расположена в середине той части балки, к которой приложена распределенная нагрузка; плечо этой силы относительно опоры А будет равно: h = (10 — 5)/2 = 2,5 м.
Cоставляем уравнение моментов сил относительно опоры А из условия, что балка находится в состоянии равновесия (уравнение равновесия) .

• сила R_В создает относительно точки А положительный момент, плечо которого равно 10м;
• сила F создает относительно точки А отрицательный момент, плечо которого равно 5 м;
• распределенная нагрузка q создает (посредством силы Q и плеча h ) относительно точки А отрицательный момент.

Получаем уравнение равновесия балки, в котором лишь одна неизвестная величина ( R_В ) :

ΣM = 10R_В — qlh — 5F = 10R_В — q(10-5)(10-5)/2 — 5F = 0 , откуда находим искомую реакцию опоры R_В :

Лекция 7. Параллельные силы. Распределенная нагрузка

Рассмотрим твердое тело, к точкам A₁ и A₂ которого приложены сонаправленные силы \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) (рис. 7.1 а). Если бы они были равны по модулю и перпендикулярны отрезку A₁A₂, то из соображений симметрии можно было бы заключить, что у них имеется равнодействующая \(\vec R\), приложенная в середине отрезка, сонаправленная с обеими силами и по модулю превосходящая каждую из них вдвое (рис. 7.1 б). Возникает вопрос: существует ли равнодействующая в общем случае, изображенном на рис. 7.1 а)?

Замечание. В нарушении симметрии роль играет лишь неравенство модулей сил, но не угол, образуемый векторами \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\) и отрезком A₁A₂. Например, силу \(\vec F_<2>\) можно перенести вдоль ее линии действия в некоторую точку B так, что новый отрезок A₁B будет перпендикулярен этой силе.

Покажем, что и в общем случае у двух сонаправленных сил есть равнодействующая Для этого представим каждую из исходных сил \(\vec F_<1>\), \(\vec F_<2>\) в виде суммы двух новых сил: \(\vec F_<1>=\vec P_<1>+\vec Q_<1>\), \(\vec F_<2>=\vec P_<2>+\vec Q_<2>\). При этом потребуем, чтобы \(\vec P_<1>\) и \(\vec P_<2>\) были равны по модулю, противоположны по направлению и имели общую линию действия – A₁A₂ (рис. 7.2 а).

Рис. 7.2. Сложение двух сонаправленных сил

Согласно первой аксиоме статики, \(\vec P_<1>\) и \(\vec P_<2>\) уравновешивают друг друга. Поэтому исходная система \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) эквивалентна двум силам \(\vec Q_<1>,\vec Q_<2>\). Очевидно, что они непараллельны и лежат в той же плоскости, что и \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\). Следовательно, их линии действия пересекаются в некоторой точке B этой же плоскости. Отложив силы \(\vec Q_<1>,\vec Q_<2>\) от этой точки и сложив по правилу параллелограмма, их можно заменить равнодействующей \(\vec R\).

Поскольку \(\vec P_<1>,\vec P_<2>\) уравновешивают друг друга, их также можно отложить от точки B. Это значит, что в B оказываются приложены силы \(\vec F_<1>=\vec P_<1>+\vec Q_<1>\) и \(\vec F_<2>=\vec P_<2>+\vec Q_<2>\). Поэтому равнодействующая \(\vec R\) равна \(\vec F_<1>+\vec F_<2>\): она сонаправлена с исходными силами, а по модулю равна их сумме.

Определим точку C, в которой линия действия \(\vec R\) пересекает отрезок A₁A₂. Треугольники, составленные из сил \(\vec F_<1>,\vec P_<1>,\vec Q_<1>\) и \(\vec F_<2>,\vec P_<2>,\vec Q_<2>\), подобны треугольникам BCA₁ и BCA₂, соответственно, поскольку их стороны параллельны (см. рис. 7.2 б). Поэтому

$$\frac>C>=\frac>, \frac>C>=\frac>.$$

(7.1)

$$F_<1>\cdot A_<1>C=F_<2>\cdot A_<2>C,\;\fracC>>=\frac>>.$$

(7.2)

Найденную формулу можно сравнить с соотношением (5.2), выражающим правило рычага: чем больше сила F₁, тем ближе к точке ее приложения должна находиться точка C. Такая аналогия не случайна. Действительно, если у сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) есть равнодействующая \(\vec R\), то имеется и уравновешивающая \(\vec R’\), которую можно считать приложенной в той же точке C (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Аналогии с правилом рычага

Точка C, таким образом, играет роль неподвижного шарнира, в котором следует закрепить рычаг A₁A₂, чтобы он оставался в равновесии под действием внешних сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\). В качестве реакции шарнира надо рассматривать уравновешивающую \(\vec R’\).

Система из двух сонаправленных сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) имеет равнодействующую \(\vec R\), сонаправленную с ними. Ее модуль равен сумме исходных сил: R = F₁ + F₂, а положение ее линии действия между линиями действия исходных сил может быть определено по правилу рычага.

Найдем координаты точки C. Пусть A₁ и A₂ имеют радиус-векторы \(\vec r_<1>=\;y_<1>;z_<1>\>\) и \(\vec r_<2>=\;y_<2>;z_<2>\>\) относительно некоторого начала координат O. Как известно из курса аналитической геометрии, точка, делящая отрезок A₁A₂ в отношении λ, считая от A₁, имеет радиус-вектор

$$\vec r_=\frac<\vec r_<1>+\lambda\vec r_<2>><1+\lambda>$$

(7.3)

или, в координатной форме,

Замечание. Напомним, что точка C делит отрезок A₁A₂ в отношении λ, если она принадлежит прямой (не обязательно отрезку) A₁A₂ и \(\overrightarrowC>=\lambda\overrightarrow>\).

С другой стороны, из уравнения (7.2) следует, что точка C делит отрезок A₁A₂ в отношении λ = F₂/F₁, считая от вершины A₁. Подставляя это отношение в (7.3) и упрощая, получим окончательно:

$$\vec r_=\frac\vec r_<1>+F_<2>\vec r_<2>>+F_<2>>.$$

(7.4)

В частности, при F₁ = F₂ из (7.4) следует, что \(\vec r_=(\vec r_<1>+\vec r_<2>)/2\). Тем самым, как и следовало ранее из соображений симметрии, равнодействующая двух сонаправленных одинаковых по модулю сил прикладывается посередине между точками приложения самих сил.

7.2. Сложение двух противоположно направленных сил

Рассуждая таким же образом, как и в предыдущем пункте, попробуем найти равнодействующую двух противоположно направленных сил \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\). Без ограничения общности будем предполагать, что F₁ ≤ F₂. Все дополнительные построения и обозначения аналогичны тем, что введены на рис. 7.2.

Линии действия сил \(\vec Q_<1>,\vec Q_<2>\) по-прежнему пересекаются в точке B, что дает возможность отложить силы \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) от этой точки и найти их равнодействующую \(\vec R=\vec F_<1>+\vec F_<2>\) (рис. 7.4).

Рис. 7.4. Сложение двух противоположно направленных сил

За счет того, что \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) направлены противоположно, теперь модуль равнодействующей равен разности модулей исходных сил: R = F₂ – F₁. Вектор \(\vec R\) сонаправлен с \(\vec F_<2>\) (этот вектор имеет большую абсолютную величину).

При определении положения точки C можно по-прежнему использовать соотношение (7.1), но теперь эта точка находится вне отрезка A₁A₂ ближе к A₂ (в этом конце отрезка приложена большая по модулю сила). Таким образом, теперь C делит отрезок A₁A₂ в отрицательном отношении λ = –F₂/F₁, считая от вершины A₁. Подставив это значение в (7.3), найдем радиус-вектор точки приложения равнодействующей:

$$\vec r_=\frac<-F_<1>\vec r_<1>+F_<2>\vec r_<2>><-F_<1>+F_<2>>.$$

(7.5)

Можно считать, что вместо (7.5) по-прежнему справедлива формула (7.4), если одну из величин F₁ или F₂ считать отрицательной, принимая во внимание противоположную направленность сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\). При этом безразлично, какой именно величине, F₁ или F₁, приписать знак "–". В этом случае F₁ и F₁ будут уже не просто модулями \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\), а проекциями сил на ось, сонаправленную с одним из векторов.

Итак, аналогично случаю двух сонаправленных сил, можно утверждать:

Система из двух не равных по величине противоположно направленных сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) имеет равнодействующую \(\vec R\), сонаправленную большей по модулю силой. Модуль равнодействующей равен модулю разности исходных сил: R = |F₁ – F₂|. Положение ее линии действия можно определить по правилу рычага, но она находится вне области, заключенной между линиями действия \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\).

Оговорка о неравенстве сил по величине сделана не случайно, ее смысл поясняется ниже.

Выясним, что происходит с равнодействующей \(\vec R\) при различных соотношениях между F₁ и F₂. Если они равны по величине и знаку, то точка C, в которой приложена \(\vec R\), располагается в середине исходного отрезка A₁A₂, причем по модулю она будет в два раза больше, чем F₁ или F₂ (рис. 7.5 а).

Рис. 7.5. Равнодействующая при различных соотношениях между F₁ и F₂

Станем теперь уменьшать F₁. Это приведет к тому, что будет уменьшаться и R, а точка C станет смещаться по направлению к A₂ (рис. 7.5 б). При F₁ = 0 мы получим, что R = F₂, а из (7.4) следует, что в этом случае точки C и A₂ совпадут. Впрочем, этот результат очевиден и без использования формул: фактически, при F₁ = 0 на тело действует лишь сила F₂. Если теперь поменять знак у F₁ и тем самым "развернуть" \(\vec F_<1>\) в сторону, противоположную \(\vec F_<2>\), то C покинет отрезок A₁A₂ (рис. 7.5 в), а равнодействующая R окажется меньше, чем F₂. При увеличении абсолютной величины F₁ (с сохранением отрицательного знака) R продолжит уменьшаться, а C станет все больше и больше удаляться от A₂.

Возникает вопрос: что произойдет при |F₁| = |F₂|, т.е. в случае, когда силы \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\) образуют пару?

С одной стороны, величина равнодействующей (если таковая существует) станет равной нулю. С другой стороны, подставив F₁ = –F₂ в формулу (7.4) или F₁ = F₂ в (7.5), мы окажемся перед необходимостью делить на нуль. Следовательно, невозможно определить местоположение точки C – она "улетает" на бесконечность. Отсюда вытекает, что

Ранее этот факт уже упоминался без доказательства.

7.3. Сложение трех и более параллельных сил

Пользуясь результатами предыдущих пунктов, попытаемся найти равнодействующую нескольких (более двух) параллельных сил \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_\), приложенных в точках, положения которых относительно начала координат O определяются радиус-векторами \(\vec r_<1>,\vec r_<2>,\ldots,\vec r_\). Проведем ось l, параллельную одной из этих сил, и обозначим проекции сил (но не их абсолютные величины!) на эту ось через F₁, F₂. F_n (рис. 7.6). Таким образом, \(F_=\pm|\vec F_|\) для всех номеров k.

Рис. 7.6. Система нескольких параллельных сил

Будем складывать силы попарно, аналогично тому, как ранее вычислялась равнодействующая сходящейся системы. В случае, когда сил всего три, рассуждения таковы. Сложив \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\), найдем их равнодействующую \(\vec R_<1,2>\). Ее проекция на ось l равна сумме проекций \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\), т.е. F₁ + F₂. Радиус-вектор \(\vec r_<1,2>\) точки приложения \(\vec R_<1,2>\) можно найти по формуле (7.4) с учетом знаков F₁ и F₂:

Итак, исходная система эквивалентна двум параллельным силам: \(\vec R_<1,2>\) и \(\vec F_<3>\), приложенным в точках с радиус-векторами \(\vec r_<1,2>\) и \(\vec r_<3>\), соответственно. Складывая их и упрощая выражения, найдем равнодействующую трех сил \(\vec R\), проекция которой на ось l составляет R = R_1,2 + F₃ = F₁ + F₂ + F₃, а радиус-вектор точки приложения C равен

Аналогично, для произвольного количества n сил получим

\begin &R=F_<1>+F_<2>+\ldots+F_,\\ &\vec r_=\frac\vec r_<1>+F_<2>\vec r_<2>+\ldots+F_\vec r_>+F_<2>+\ldots+F_>. \end

(7.6)

В координатной форме второе равенство можно переписать так:

$$x_=\fracx_<1>+F_<2>x_<2>+\ldots+F_x_>+F_<2>+\ldots+F_>,\; y_=\fracy_<1>+F_<2>y_<2>+\ldots+F_y_>+F_<2>+\ldots+F_>,\; z_=\fracz_<1>+F_<2>z_<2>+\ldots+F_z_>+F_<2>+\ldots+F_>.$$

(7.7)

Конечно, знаменатель дроби в формулах для определения \(\vec r_\) можно заменить просто на R.

Пример. Параллельные силы \(\vec F_<1>,\vec F_<2>\) и \(\vec F_<3>\) имеют проекции 5 Н, –4 Н и 7 Н на направление вектора \(\vec F_<1>\) и приложены в точках A₁(–1; 13; 6), A₂(6; –3; 5) и A₃(3; –3; 2), соответственно; все координаты даны в см. Найти равнодействующую этих сил и точку ее приложения.

Согласно первому из равенств (7.6), R = 5 – 4 + 7 = 8 Н. Тем самым, заданная система сил, действительно, имеет равнодействующую: R ≠ 0.

Вычислим координаты точки приложения найденной равнодействующей, используя (7.7):

Соотношения (7.6) и (7.7) справедливы, если сумма проекций всех параллельных сил на одну и ту же ось l отлична от нуля. В противном случае система приводится не к равнодействующей, а к паре, аналогично п. 7.2.

Как следует из второй аксиомы статики, равнодействующая системы параллельных сил – скользящий вектор. Поэтому ее необязательно прикладывать в точке C, определяемой из формул (7.6). Достаточно выбрать любую точку на прямой, проходящей через C и имеющей \(\vec R\) в качестве направляющего вектора. Поэтому, используя указанное выше соотношение, мы накладываем на точку приложения равнодействующей дополнительное ограничение.

Зато появляется другая "свобода маневра". Ось l проводится не произвольно, а "привязывается" к самим параллельным силам. Соответственно, величины F₁, F₂. F_n описывают лишь ориентацию этих сил относительно друг друга. Если все векторы \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_\) одновременно повернуть на один и тот же угол вокруг их точек приложения, то ось l повернется на тот же угол (рис. 7.7).

Рис. 7.7. Поворот системы параллельных сил

Если система параллельных сил имеет равнодействующую, то ее величина и точка приложения не меняются при одновременном повороте всех сил на один и тот же угол и не зависят от ориентации сил относительно неподвижной системы координат.

Такая точка C, что при любом одновременном повороте системы параллельных сил линия действия ее равнодействующей проходит через C, называется центром параллельных сил. Из вышесказанного следует, что координаты этого центра могут быть вычислены по формуле (7.6), если, конечно, существует сама равнодействующая.

В частности, если силы \(\vec F_<1>,\vec F_<2>,\ldots,\vec F_\) сонаправлены, то равнодействующая заведомо существует, поскольку R = F₁+F₂+. +F_n > 0. Значит, существует и центр параллельных сил. Этот факт будет использован далее при нахождении центра тяжести твердого тела.

7.4. Распределенная нагрузка

Как уже было сказано в п. 1.1, силу (нагрузку) называют распределенной, если она приложена ко всем точкам некоторой линии, поверхности или объема. При проектировании различных механизмов, зданий и сооружений учет распределенных сил играет очень важную и даже решающую роль.

Пример 1. Одной из деталей двигателя внутреннего сгорания является поршень, размещаемый внутри цилиндра (рис. 7.8). При сгорании рабочая смесь воздуха и распыленного топлива в цилиндре расширяется и давит на поршень, толкая его. Это усилие передается на коленчатый вал, а от него – на оси колес автомобиля, что и заставляет их вращаться. Сила давления сгорающей смеси на поршень распределяется по площади его головки.

Рис. 7.8. Поршень с шатуном

Пример 2. Выпадающий снег может создавать значительное давление на крышу здания (рис. 7.9 а). Если эту снеговую нагрузку не учитывать, крыша может не выдержать и обрушиться (рис. 7.9 б).

Рис. 7.9. Снеговая нагрузка на крышу здания

Основная характеристика распределенной нагрузки – ее интенсивность (плотность, удельная нагрузка): сила, приходящаяся на единицу длины, площади или объема. Первые две величины называют также погонной нагрузкой и давлением, соответственно. В системе СИ интенсивность нагрузки измеряют в Н/м, Н/м 2 (паскалях – Па) и Н/м 3 в зависимости от того, распределена сила по длине, площади или объему.

Так, если давление p на участке поверхности площади S постоянно, то для вычисления суммарной силы F, действующей на этот участок, нужно умножить его площадь на давление: F = pS. После этого останется учесть направление приложенной силы (рис. 7.10).

Чтобы найти силу, действующую на всю поверхность (объем, длину), можно было бы умножить интенсивность нагрузки на общую площадь поверхности. Однако трудность заключается в том, что интенсивность распределенной нагрузки может быть не постоянной,а изменяться от точки к точке как по величине, так и по направлению.

Пример 1. При ходьбе босиком по песку пятка и пальцы оставляют более четкий след, чем остальная часть ступни (рис. 7.11). Это значит, что интенсивность нагрузки (в роли которой выступает вес человека), приходящейся на пальцы и пятку, выше.

Рис. 7.11. След на песке показывает, что вес человека распределен по его ступням неравномерно

Пример 2. Значительное влияние на устойчивость зданий и сооружений (особенно тех, что имеют большие размеры), оказывает ветровая нагрузка. Давление, создаваемое подвижными воздушными массами, изменяется от точки к точке и зависит от многих факторов: температуры, влажности и т.д. Ветровая нагрузка на сооружения может расчитываться с помощью ЭВМ. Кроме того, для моделирования такой нагрузки макеты сооружений могут обдуваться в аэродинамической трубе, подобно летательным аппаратам.

Часто можно предположить, что силы, приложенные во всех точках изучаемого объема (поверхности, линии) параллельны друг другу. Тогда можно попытаться найти их равнодействующую, пользуясь формулами (7.6).

Мы рассмотрим лишь простейшую ситуацию: силу, распределенную по прямолинейному отрезку. Будем предполагать, что силы, приложенные в разных точках, параллельны друг другу и перпендикулярны рассматриваемому отрезку. В этом случае наглядно представить интенсивность нагрузки можно с помощью специального графика – эпюры напряжений (рис. 7.12).

Рис. 7.12. Эпюра напряжений

Пусть нагрузка распределена по отрезку [a; b] оси Ox. Тогда величина погонной нагрузки p(x) в каждой конкретной точке зависит от координаты x этой точки. График функции p(x) и является искомой эпюрой.

Если выбрать на исходном отрезке [a; b] настолько мелкий участок Δx, что интенсивность нагрузки на его протяжении практически не успевает измениться, то суммарная сила ΔF, приложенная к этому участку, будет приближенно равна p(x)Δx (см. рис. 7.12). Значит, чтобы вычислить силу F, приложенную ко всему отрезку [a; b], надо разбить его на мелкие участки dx₁, dx₂. dx_n, внутри каждого из них выбрать точку (x₁, x₂. x_n, соответственно), приближенно вычислить силу, приложенную к этим участкам, а результаты сложить:

F ≈ p(x1)dx1 + p(x2)dx2 + . + p(xn)dxn.

(7.8 а)

Действительно, силы, приложенные к разным участкам разбиения, параллельны друг другу (при введенных выше ограничениях), а значит, можно попытаться найти их равнодействующую по формуле (7.6). Чтобы определить координату точки приложения равнодействующей, используем равенство (7.7):

$$x_\approx\fracp(x_<1>)+x_<2>p(x_<2>)+\ldots+x_p(x_)>,$$

(7.8 б)

причем F вычисляется по формуле (7.8 а).

Конечно, результат вычислений в (7.8 а) и (7.8 б) будет тем точнее, чем мельче разбиение отрезка. В пределе, когда длины всех участков dx₁, dx₂. dx_n стремятся к нулю (а их количество, соответственно, к бесконечности), сумма (7.8 а) переходит в определенный интеграл, а выражение для x_C – в отношение двух интегралов:

$$F=\int_^p(x)dx,\;x_=\frac<1>\int_^xp(x)dx,$$

(7.9)

Тем самым, суммарная нагрузка, приложенная к отрезку, представляет собой площадь криволинейной трапеции под графиком функции p(x).

Пример. Нагрузка распределена по отрезку [1; 4] с интенсивностью p(x) = –x 2 + 4x. Найти равнодействующую распределенных сил, приложенных к отрезку, и точку ее приложения.

Как и следовало ожидать для случая сонаправленных сил, точка приложения равнодействующей оказывается внутри отрезка: 1 ≤ 9/4 ≤ 4. Отметим, что p(1) = 3, p(4) = 0, так что правый конец отрезка не нагружен (рис. 7.13).

В наиболее простых случаях нагрузка распределяется по отрезку равномерно или линейно.

При равномерном распределении плотность p постоянна (рис. 7.14). В этом случае сосредоточенная равнодействующая равна произведению плотности на длину отрезка и прикладывается к его середине: F = p·(b–a), x_C = (a + b)/2.

Рис. 7.14. Равномерно распределенная нагрузка

Пример. Нагрузку, создаваемую железнодородным составом на рельсы, можно считать равномерно распределенной: на каждый метр железнодорожного полотна, находящийся под составом, приходится примерно равный вес груза.

При линейном распределении погонная нагрузка возрастает от 0 на одном конце отрезка до некоторого значения p_max на другом конце; значения нагрузки в промежуточных точках пропорциональны расстоянию до ненагруженного конца. Для простоты рассмотрим отрезок [0; l] и предположим, что его левый конец свободен от нагрузки (рис. 7.15).

Рис. 7.15. Линейно распределенная нагрузка

Тогда получим p(0) = 0, p(l) = p_max, p(x) = p_max x/l. Подставив a = 0, b = l, а также найденное выражение для p(x) в (7.9), найдем F = lp_max/2, x_C = 2l/3. Как и следовало ожидать, суммарная нагрузка равна площади прямоугольного треугольника с катетами p_max и l – именно такую фигуру ограничивает эпюра напряжений. Равнодействующая прикладывается на расстоянии, равном 2/3 длины отрезка, считая от ненагруженного конца.

Пример. Рассмотрим сваю, вертикально вбитую в дно водоема и испытывающую давление со стороны воды (согласно закону Паскаля, давление в жидкости не зависит от направления прилагаемого усилия, поэтому нельзя считать, что давление осуществляется только на горизонтальное дно водоема). Как известно из курса физики, указанное давление равно p = ρgz, где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, z – глубина, отсчитанная от свободной поверхности жидкости. Тем самым, интенсивность распределенной нагрузки линейно зависит от глубины z. Поэтому при замене распределенной нагрузки на сосредоточенную следует прикладывать равнодействующую на глубине, равной 2/3 глубины водоема (рис. 7.16).

Если силы, распределенные по объему (поверхности, линии) не параллельны, то можно по отдельности найти сосредоточенные равнодействующие \(\vec R_,\vec R_,\vec R_\) сил, параллельных каждой из координатных осей. В общем случае система \(\vec R_,\vec R_,\vec R_\) приводится не к равнодействующей, а к динаме.

Пример. Как уже говорилось, при жесткой заделке реактивная нагрузка распределяется по некоторой площади. При замене этой распределенной нагрузки на сосредоточенную возникает не только сила, но и реактивный момент.

Вопросы для самоконтроля

1. Доказать, что система двух сонаправленных сил всегда приводится к равнодействующей.
2. Доказать, что пара пара сил не имеет равнодействующей.
3. В п. 7.3 при нахождении равнодействующей трех параллельных сил сначала складывались силы \(\vec F_<1>\) и \(\vec F_<2>\). Как быть, если они образуют пару (при этом сумма проекций всех трех сил на одну и ту же ось не равна нулю)?
4. Пусть три равные сонаправленные силы приложены в точках A₁, A₂, A₃, не лежащих на одной прямой. Доказать, что центр этих сил совпадает с точкой пересечения медиан треугольника A₁A₂A₃.
5. Вывести формулы для вычисления координат центра параллельных сил.
6. Как найти сосредоточенную равнодействующую распределенной системы сил, схематично изображенной на рис. 7.17?

Задачи к лекции

Даны четыре параллельные силы, проекции которых на направление одной из них составляют F₁ = 10 Н, F₂ = –7 Н, F₃ = –8 Н, F₄ = 3 Н. Первые три силы приложены в точках A₁(0; –4; 5), A₂(6; –3; 2), A₃(–3; 8; 4), а центр приложения всех четырех сил располагается в точке C(–3/2; 40; –31/2). Где приложена четвертая сила?

Горизонтальная балка AE длины 7 м находится под действием сосредоточенной силы \(\vec F\), приложенной в точке D, находящейся на расстоянии 1 м от точки E, а также нагрузки, распределенной по отрезкам AB = 2 м и BC = 3 м. Отрезок AB нагружен равномерно с интенсивностью p_max = 100 кН/м, отрезок BC – линейно (рис. 7.17). Величина силы \(\vec F\) составляет 50 кН. Определить реакции жесткой заделки в точке A. Найти координату точки приложения сосредоточенной равнодействующей всех перечисленных сил (за исключением реакции заделки). Весом балки пренебречь.

Ответы. 1. A₄(7; 1; 9). 2. X_A = 0, Y_A = 300 кН, m_A = 350 кН·м, x = 7/6 м. 3. Да.

Также рекомендуется решить задачи из §§3,4 [2]; РГР С1 [3].

Распределенная нагрузка в чем измеряется

Распределенной нагрузкой называют внешние или внутренние усилия, которые приложены не в одной точке твердого тела (т.е. не сосредоточены в одной точке), а равномерно, случайным образом или по заданному закону распределены по его определенной длине, площади или объему.

Воздействие на детали, конструкции, элементы механизмов может быть задано распределенными нагрузками: в плоской системе задается интенсивность действия по длине конструкции, в пространственной системе – по площади.

Например, на рисунке 1.23, а приведена равномерно распределенная по длине AB нагрузка интенсивностью q, измеряемая в Н/м. Эта нагрузка может быть заменена сосредоточенной силой

приложенной в середине отрезка AB.

На рисунке 1.23, б показана равномерно убывающая (возрастающая) нагрузка, которая может быть заменена равнодействующей силой

приложенной в точке C, причем AC = 2/3AB.

В произвольном случае, зная функцию q(x) (рисунок 1.23, в), рассчитываем эквивалентную силу

Эта сила приложена в центре тяжести площади, ограниченной сверху от балки AB линией q(x).

Примером может служить расчет усилий, разрывающих стенки баллона со сжатым газом. Определим результирующую силу давления в секторе трубы при интенсивности q [Н/м]; R – радиус трубы, 2α – центральный угол, ось Ox – ось симметрии (рисунок 1.24).

Выделим элемент сектора с углом ∆φ и определим силу ∆Q, действующую на плоский элемент дуги:

В силу симметрии элемента трубы (с дугой AB) относительно оси Ox проекция результирующей силы на ось Oy:

где АВ – хорда, стягивающая концы дуги.

Для цилиндрической емкости высотой h и внутренним давлением P на стенки действует нагрузка интенсивностью q = p [Н/м, 2 ]. Если цилиндр рассечен по диаметру (рисунок 1.25), то равнодействующая этих сил равна F = q ∙ d ∙ h ( d – внутренний диаметр) или

Разрывающие баллон по диаметру усилия:

Если принять a – толщина стенки, то (пренебрегая усилиями в крышке и дне цилиндра) растягивающее напряжение в стенке равно

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Взаимодействия с деталями, отдельными элементами и конструкциями механизма задается с помощью нагрузок. В плоскости задается интенсивность взаимодействия конструкции по длине, а в пространстве – по её площади.

Распределённая нагрузка на балку задается площадью, обозначается буквой q и измеряется в [H/м 3 ] для объемной конструкции, в [H/м 2 ] — для площади, для линейной – в [H/м].

Продемонстрируем это на рисунке:

Нагрузку также можно заменить тягой, рассредоточенной по всей поверхности. Значение определяется по формуле:

здесь AB является тяжестью, q – интенсивностью, которая измеряется в [H/м].

Примечательно, что сила приложена к середине данного отрезка AB.

На данном рисунке представлен расчёт возрастающей нагрузки, которую можно заменить равнодействующей единицей, рассчитываемое по формуле:

где q_max – максимальная интенсивность [Н/м].

Q приложена к точке C, где AC равно: AC = 2/3 AB

Рассматривая функцию q(x), представленную на рисунке:

можно высчитать значение эквивалентной силы по формуле:

Равномерно и неравномерно распределенная нагрузка на балку

Единицы измерения распределённой нагрузки [Н/м].

Её также можно заменить на величину Q, которая приложена в середину AB.

Составим формулу: Q = q∗a

Неравномерно распределённую нагрузку чаще всего упрощают, приводя её к эквивалентной равномерно распределенной, чтобы упростить расчеты.

При построении также следует учитывать максимальный прогиб балки, её прочность, расчетную опорную реакцию и моментальную опору.

Пример решения задач с распределенной нагрузкой

Рассмотрим пример распределенной нагрузки на балку. Им может послужить тяга, благодаря которой происходит разрыв стальной стенки баллона с некоторым газом.

Для начала определяем результирующую давления в металлической трубе. Интенсивность равна q, радиус этого сектора трубы – R, ось симметрии Оx, а 2α – это центральный угол. Представим это на рисунке:

Выделим элемент сектора трубы ∆ϕ.

Затем определим единицу силы ∆Q. Она действует на плоскость дуги. Составим формулу:

Проекция результирующей тяги на ось Оx является:

Исходя из вышесказанного, можно найти проекцию этой же силы на ось Оy:

AB является хордой, которая стягивает дугу.

В нашей задаче сосуд – это ёмкость цилиндрической формы с высотой H, внутренним давлением P, действующим на стенки, и нагрузкой q = p [Н/м 2 ].

Разделим цилиндр вдоль его диаметра.

Исходя из этого, равнодействующая результирующих сил определяется по формуле:

где d – это внутренний диаметр цилиндра, h — его высота.

Формулу также можно записать следующим образом:

Итак, почему баллон имеет способность разрываться? На его стенки действуют значения S1, S2, S3 (площади), а также F, p (плотность), h (высота цилиндра) и R (его радиус). Рассчитаем их по формулам:

Изобразим баллон в момент разрыва:

Учтём a – толщину ёмкости. Таким образом напряжение, которое растягивает баллон, (усилия распространяются в том числе на крышку и дно цилиндра) равно:

Важную роль при решении практических задач также играет эпюра распределенной нагрузки – плоская фигура, которая ограничена графиком. Величина, действующая на балку, называется интенсивностью – силой, которая распространяется на единицы площади, объема или длины.

Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки

Содержание:

Такие силы называются сосредоточенными. Однако в инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль данной поверхности или линии по тому или иному закону. Распределенные силы прежде всего характеризуются интенсивностью q, т.е. величиной силы, приходящейся на единицу поверхности или линии.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки

Мы рассматривали силы, которые были представлены в виде вектора, приложенного к точке. Однако в природе существует большое количество взаимодействий тел, осуществляются не в точке и которые нельзя представить в виде вектора, приложенного к точке.

Такими силовыми факторами являются силы давления жидкости или газа в поверхность твердых тел, силы тяжести, как массовые силы, электромагнитные силы тому подобное. Поэтому в теоретической механике вводится понятие о распределенных силах, которые делятся на поверхностные и объемные.

Поверхностные силы действуют на некоторую поверхность тела. Объемные силы действуют на каждый элемент объема тела, рассматривается. Примером последних сил является сила притяжения.

В теоретической механике рассматривается воздействие на тело только сосредоточенных сил, приложенных к абсолютно твердым телам. А потому
распределенную нагрузку необходимо заменить его равнодействующей, то есть
сосредоточенной силой. Введем несколько общих положений.

Распределенная нагрузка характеризуется его интенсивностью , то есть величиной силы, приходящейся на единицу объема тела (в случае объемных сил), на единицу площади (в случае поверхностных сил) и на единицу длины (если поверхность, на которую действует нагрузка, можно считать линией, то есть шириной поверхности можно пренебречь). В последнем случае распределенная нагрузка называется плоской, на
силовых схемах оно изображается в виде эпюры элементарных сил, то есть графика интенсивности нагрузки, приложенная к линейному элементу тела.

В общем случае распределенная нагрузка изображается в виде определенной кривой, отражающей данный закон изменения интенсивности нагрузки на участке тела (рис. 1.20). Направление действия нагрузки показывается стрелками.

Сначала рассмотрим равномерно распределенную нагрузку и нагрузку, распределенную по линейному закону. Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной силой.

Рассмотрим эти два случая:

— равномерно распределенная нагрузка (или нагрузка, распределенная по закону прямоугольника) изображается на схемах в виде прямоугольника, размеры которого таковы: высота — это интенсивность нагрузки , длина — это длина l участка тела, на которой действует нагрузка. Стрелки показывают направление действия нагрузки (рис. 1.21). Для того, чтобы заменить эту нагрузку равнодействующей силой , надо определить ее. В данном случае

где q — интенсивность нагрузки, Н/м; l — длина участка тела, на которой приложенная нагрузка, м.

Точка C приложения равнодействующей силы размещается посередине участка тела, на которой действует нагрузка. То есть , а направление совпадает с направлением распределенной нагрузки.

— нагрузка распределена по линейному закону (то есть по закону треугольника). В этом случае (рис. 1.22) интенсивность распределенной нагрузки на участке l меняется от 0 до максимального значения q_max. Равнодействующая сила от этой нагрузки по величине равна

Точка C приложения равнодействующей расположена на расстоянии или , а направление совпадает с направлением нагрузки.

Плоская система параллельных сил

Когда линии действия всех сил параллельны, то всегда в плоскости можно так
расположить оси координат, одна из них будет обязательно параллельной заданным силам, а вторая — перпендикулярной. А потому, чтобы тело под действием плоской системы параллельных сил находилось в равновесии, необходимо приравнять к нулю алгебраическую сумму проекций всех сил на параллельную ось и алгебраическую сумму моментов всех сил относительно произвольной точки. В данном случае система условий равновесия (1.54) упрощается и будет иметь такой вид

Для равновесия тела, находящегося под действием системы параллельных сил
на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил
на ось, параллельная силам, и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки А плоскости равны нулю.

Для системы параллельных сил на плоскости можно использовать и такие условия равновесия

Для равновесия тела, находящегося под действием системы параллельных сил на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы моментов всех
сил относительно любых двух точек плоскости равны нулю.

Однако для этих условиях существует ограничение: линия АВ, которой можно соединить
центры моментов, не должна быть параллельной силам.

Данные условия наиболее пригодны при расчетах двухопорных балок. Используя эти условия, составляют алгебраические суммы моментов всех сил относительно точек A и B, в которых установлены опоры балки.

Рассмотрим примеры задач на равновесие тела под действием плоской системы произвольных сил.

Пример:

Однородная балка АВ прямоугольного сечения весом 400 Н имеет один конец А, который закреплен шарнирно, и опирается на точечную опору O (рис. 1.23). Ко второму концу балки В подвешен груз весом 200 Н. Длина балки 4 м, точечная опора расположена на расстоянии ¾ длины балки от шарнирной опоры. Угол наклона балки к горизонту составляет α = 30º.

Определить реакции опор балки.

Краткое условие задачи:

Решение.

Составляем расчетно–силовую схему задачи. Приложим к оси балки заданные активные силы: силу тяжести самой балки и силу притяжения груза. Сила притяжения балки приложена посередине балки в точке C (поскольку балка однородна) и направлена ​​вертикально вниз. Сила притяжения груза приложена к концу балки В и направлена ​​вертикально вниз.

Далее условно освобождаем балку от связей и заменяем их соответствующими реакциями связей. В точке A размещена неподвижная шарнирная опора, она имеет
две составляющие реакции _A и _A, которые расположены вдоль соответствующих осей
координат. В точке O — точечная опора, которая имеет одну реакцию _o, что направлена ​​перпендикулярно к балке.

Таким образом, балка находится в равновесии под действием плоской системы произвольных сил. Для решения этой задачи используем условия равновесия (1.54),

Поскольку оси координат x и y заданные по условию задачи, то составим соответствующие уравнения равновесия

Если подставить значения известных величин в эти уравнения равновесия, то получим

С третьего уравнения вычислим реакцию R_o:

R_o = = 461,86 Н,

и подставим ее значение в первые два уравнения. Будем иметь

Х_А = = R_o = 230,93 Н;

Y_А = 400 + 200 – 0,866 · 461,86 = 160,04 Н.

Поскольку определены две составляющие реакции, приложенные в точке A, — Х_А и Y_А, то геометрическим добавлением можно вычислить модуль полной реакции R_A. А именно:

Таким образом определении все искомые реакции.

Пример.

Определить реакции опоры однородной балки АВ прямоугольного сечения, один конец которого A жестко закреплен в стене и находящийся под действием сосредоточенной силы P = 4,0 kH, пары сил с моментом m = 2,0 kH · м и равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q = 1,5 . Длина балки АВ — 5 м, равномерно распределенная
нагрузка действует на участке 3 м от точки A. Угол наклона сосредоточенной силы к горизонту составляет α = 30º, оси x и y показаны на рис. 1.24.

Краткое условие задачи:

q = 1,5 ;

Решение.

Составляем расчетно-силовую схему. Покажем все силы, приложенные к балке АВ. Прежде всего, это заданные активные силы — сила , приложена к концу балки В и направлена под углом α к горизонту. Равномерно распределенную нагрузка заменяем сосредоточенной силой , которая равна

Сила приложена посредине участка AC и направлена ​​в ту же сторону, что и сама нагрузка, то есть вертикально вниз. Покажем на силовой схеме пару сил, которая определяется моментом m.

Далее условно освобождаем балку от вязи и заменяем ее соответствующими реакциями вязи. В точке A — жесткое закрепление балки в стене, а потому оно имеет две составляющие реакции: _A, _A, которые расположены вдоль соответствующих осей
координат, и реактивный момент M_A. Направление этого неизвестного момента
показываем на силовой схеме произвольно, например, — против направления стрелки
часов. Если же при окончательном определении момента M_A получим отрицательный знак, то получим, что действительное направление момента — противоположно. Покажем на силовой схеме линейные и угловые размеры. Оси координат показаны на схеме.

Как видно из построенной расчетно–силовой схемы, балка находится под действием плоской системы произвольных сил. Используем условия равновесия (1.54). А именно = 0.

Составим соответствующие уравнения равновесия

Если подставить значения известных величин в эти уравнения равновесия, то получаем

Из первого уравнения вычислим X_A:

X_A = 4,0 = = 3,46 kH.

Из второго уравнения вычислим Y_A:

Y_A = 4,5 + 4,0 · = 6,50 kH.

С третьего уравнения вычислим M_A:

M_A = 2,0 + 4,5 + 4,0 · 5 = 2,0 + 6,75 + 10,0 = 18,75 kH.

Поскольку составляющие реакций X_A и Y_A, приложенных в точке A, вычислены, то можно найти модуль R_A полной реакции в точке A. Будем иметь

Таким образом, определены все искомые реакции.

Равновесие системы тел

Системой тел называется совокупность нескольких тел, или которые опираются друг на друга, или соединены шарнирами, которые дают возможность относительного движения тел.

При решении задач на систему тел различают силы внешние и внутренние.

Внешние силы — это силы взаимодействия тел данной системы с другими телами, которые не входят в состав системы.

Внутренние силы — это силы взаимодействия между отдельными телами, которые входят в состав данной системы. Внутренние силы существуют попарно, как действие и
противодействие.

Статически обозначенные и статически неопределенные задачи

Задача является статически обозначенной, если для нее можно составить такое
количество уравнений равновесия материальной системы, не меньше, чем число
неизвестных.

Задача, является статически неопределенной, если число уравнений равновесия
системы меньше, чем число неизвестных.

В теоретической механике рассматриваются только статически обозначенные
материальные системы.

Методика решения задач на равновесие системы тел

Равновесие системы тел можно рассматривать в целом под действием только
внешних сил. Но может так случиться, что количество уравнений равновесия будет
меньше, чем количество неизвестных. Тогда необходимо рассматривать равновесие
отдельных тел системы, условно разделяя ее обязательно по внутренним связям. Причем необходимо учитывать, что внутренние силы реакций входят попарно, как действие и противодействие.

Рассмотрим пример решения задач на равновесие системы тел.

Пример.

На трех-шарнирную арку А В С (рис. 1.25) действует вертикальная сила Р = 10 kH. Вес каждой части балки Q₁ = Q₂ = 6 kH. Определить реакции шарниров А, В, С арки, размеры которой данные на рисунке.

Решение.

Покажем оси прямоугольной декартовой системы координат Axy.

Условно разделяем систему тел на два отдельных тела по шарниру С. Действие отброшенной части заменяем двумя реакциями _C и _C, которые равны

Теперь рассмотрим отдельно равновесие каждого тела, для чего составим две системы уравнений равновесия. Используем условия равновесия.

Для первого тела (левая половина арки):

Для второго тела (правая половина арки):

Теперь есть возможность определить неизвестную реакцию Y´_C . Подставив значение X_C в третье уравнение второй системы, будем иметь

Из первого уравнения первой системы имеем X_A = X_C = 6,5 kH. А с первого уравнения второй системы должны X_B = – X´_C = – 6,5 kH. Направление этой реакции противоположно показанному на силовой схеме. Из второго уравнения первой системы получаем

Из второго уравнения второй системы вычислим последнюю неизвестную реакцию Y_B. Она будет равняться Y_B = Y´_C + Q₂ = 4,0 + 6,0 = 10,0 kH.

Таким образом вычислено все искомые величины.

Ответ:

Услуги по теоретической механике:

Учебные лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.