Как найти максимальное напряжение

Максимальные напряжения найдем из формулы (5.24):

МПа.

Пример 5.6.Двутавровое сечение. Определить касательные напряжения в указанных точках сечения и построить эпюру касательных напряжений при величине поперечной силыкН (Рис.5.14).

Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины сечения при переходе от стенки двутавра к его полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая ее величина.

Покажем, как определяется статический момент площади для любой произвольной точки сечения двутавра. Для этого рассмотрим произвольную точку К (Рис.5.15). Проведем через эту точку линию, параллельную оси . Статический момент площади верхней отсеченной части (заштрихованой на рис.5.15) может быть найден как сумма статических моментов двух площадейи:

. (а)

Наибольшей величины статический момент площади отсеченной части относительно нейтральной линии сечения достигает для половины сечения. Следовательно, максимальные касательные напряжения возникают в волокнах нейтрального слоя.

Вернемся теперь к рис.5.14. Точка №1 сечения принадлежит наиболее отдаленному волокну. Точки №2 и №3 лежат в месте перехода от полки к стенке: точка №2 принадлежит полке, точка №3 – стенке сечения. Точка №4 лежит в центре тяжести сечения и принадлежит нейтральной линии сечения. Сечение симметрично расположено по отношению к оси . Поэтому напряжение в точке №5 будет таким же, как в точке №3, напряжение в точке №6 – таким же, что и в точке №2, напряжение в точке №7 – таким же, что и в точке №1.

Вначале найдем момент инерции сечения относительно оси :

см 4 .

Касательное напряжение в точке №1 поперечного сечения равно нулю, так как отсеченная часть сечения в данном случае представляет собой пространство над сечением, и ввиду отсутствия отсеченной площади, статический момент этой площади равен нулю. С другой стороны, если в качестве отсеченной площади рассматривать все сечение, то статический момент всей площади относительно нейтральной линии сечения , как центральной оси, равен нулю.

Для определения касательного напряжения в точке №2 проводим через точку №2 линию, параллельную оси . Отсеченная площадь лежит выше этой линии и составляетсм 2 . Вычисляем расстояние от центра тяжести отсеченной площади до оси. Оно равно 11см. Находим касательные напряжения в точке №2:

Мпа.

При определении касательного напряжения в точке №3 следует помнить, что статический момент площади отсеченной части в этом случае остается прежним, так как точки №2 и №3 находятся на одинаковом расстоянии от оси . Только точка №2 принадлежит полке, а точка №3 принадлежит стенке двутавра. В связи с этим касательное напряжение в точке №3 будет равно:

Мпа.

Для определения напряжения в точке №4, проведем через эту точку линию, совпадающую с осью . Отсеченная площадь представляет собой тавр. Статический момент площади тавра вычислим, используя выражение (а), приведенное выше. В немпредставляет собой площадь полки,площадь половины стенки;расстояние от центра тяжести полки до оси;расстояние от центра тяжести половины площади стенки до оси. Касательные напряжения в точке №4 будут равны:

Мпа.

Как уже отмечалось выше, в силу симметрии МПа,МПа;.

Откладываем найденные значения касательных напряжений от базисной линии и строим эпюру касательных напряжений (Рис.5.14).

Пример 5.7. Во сколько раз касательное напряжение в точке В больше, чем в точке А? Точка О – центр тяжести сечения (Рис.5.16).

Проведем через точки А и В линии, параллельные оси . Отсеченные площади на рис.5.16 заштрихованы. Вычислим статические моменты заштрихованных площадей относительно осии отнесем их к ширине сечения в точках А и В соответственно.

При одной и той же поперечной силе и одном и том же моменте инерции сечения относительно оси касательные напряжения в точках В и А относятся как:

.

Таким образом, касательное напряжение в точке В в 7,5 раз больше, чем в точке А.

Пример 5.8. Как изменится максимальное касательное напряжение при изгибе, если поперечное сечение балки перевести из положения I в положение II ? (Рис.5.17).

При решении данной задачи следует помнить, что при повороте сечения из положения I в положение II меняются не только ширина сечения и статический момент площади сечения (отсеченные площади заштрихованы), но и моменты инерции относительно оси .Поэтому при одной и той же поперечной силе величины максимальных касательных напряжений в положених сечения I и II будут относиться, как:

.

Таким образом, величина максимального касательного напряжения при повороте сечения из положения I в положениеII не изменится.

Пример 5.9.Какая из изображенных эпюр касательных напряжений при изгибе построена правильно? (Рис.5.18).

При анализе таких эпюр следует помнить:

1. Максимальные касательные напряжения возникают в нейтральном слое. Нейтральная линия сечения проходит через центр тяжести.

2. В месте резкого изменения ширины сечения касательные напряжения меняются скачком. При увеличении ширины сечения напряжения скачкообразно уменьшаются, при уменьшении ширины сечения касательные напряжения скачкообразно увеличиваются. Поэтому из предложенных вариантов эпюр касательных напряжений верным является вариант в).

Пример основного напряжения: примеры и проблемы

В этой статье мы много обсудим главное напряжение, пример главного напряжения, круг Мора и другие связанные темы. Мы также обсудим нахождение главных напряжений с помощью круга Мора.

Когда на систему действует одиночное напряжение, мы легко можем понять, что главное напряжение есть величина напряжения, действующего на плоскости. Когда на систему действуют множественные напряжения, становится трудно предположить точку разрушения материала.

Следовательно, в игру вступает понятие главных напряжений, в этой статье мы обсудим главные напряжения.

Что такое главные напряжения?

Главные напряжения — это значения напряжений, действующих нормально к плоскости, где касательное напряжение считается нулевым. Эта плоскость ориентирована под углом, называемым главным углом. Главной плоскостью называется плоскость, на которой действуют главные напряжения.

1 st основное напряжение, 2 nd главное напряжение и 3 rd основное напряжение — это три типа основных напряжений, которые обычно используются. Мы подробно обсудим эти напряжения в следующих разделах.

Что такое главное основное напряжение?

Главный принципал также называется 1 st главное напряжение, и это максимальное растягивающее напряжение по нормали к плоскости, где значение напряжения сдвига равно нулю. Плоскость, на которую действует это напряжение, называется главной плоскостью. Это важный факт, что касательное напряжение значение всегда равно нулю в главных плоскостях.

Математически основное основное напряжение определяется следующим образом:

где нижние индексы x и y обозначают напряжения в направлениях x и y соответственно.

Что такое незначительное главное напряжение?

Незначительное главное напряжение, обычно называемое 3 rd главное напряжение – это значение максимального сжимающего напряжения. Это напряжение также нормально к плоскости, где значение напряжения сдвига равно нулю.

Существует еще одно значение напряжения, промежуточное по величине, оно называется 2 nd основное напряжение. Это минимальное сжимающее напряжение, действующее в системе.

Математически незначительное главное напряжение может быть задано следующим образом:

Пример максимального главного напряжения

Формула для максимальное основное напряжение или главное главное напряжение обсуждается в предыдущих разделах.

Примем следующие данные для напряжений, действующих на систему. Используя следующие данные, нам нужно найти максимальное главное напряжение.

Напряжение по оси х — 10 МПа

Напряжение по оси Y — 10 МПа

Напряжение сдвига — 0 МПа

Подставляя значения в формулу максимального главного напряжения, получаем максимальное главное напряжение = 10 МПа

Что такое минимальное главное напряжение?

Минимальное основное напряжение или незначительное главное напряжение — это значение максимального сжимающего напряжения, действующего нормально к плоскости, где касательное напряжение равно нулю. Это напряжение является наименьшим из всех трех главных напряжений.

Математически минимальное главное напряжение можно определить как:

где x и y представляют собой напряжения в направлениях x и y соответственно.

Пример минимального главного напряжения

Мы обсудили формулу минимума основное напряжение в вышеуказанных разделах. Примем следующие данные, чтобы найти минимальное главное напряжение.

Приведенные данные:

Напряжение в направлении х — 10 МПа

Напряжение в направлении Y — 10 МПа

Напряжение сдвига — 0 МПа

Подставляя значения в формулу минимального главного напряжения, получаем, что минимальное главное напряжение = 10 МПа.

Круг Мора

Круг Мора представляет собой графическое представление напряжений и используется для определения точек разрушения материала. Это позволяет инженерам получить представление о характере действующих на систему напряжений и рассчитать точки отказа.

На изображении ниже показан круг Мора для трехмерной системы сил. Изображение: круг Мора для трехмерной системы сил

Круг Мора для двухмерного напряженного состояния

Матрица круга Мора для двумерного напряженного состояния может быть представлена ​​​​как: Изображение: Матричное представление 2D-системы напряжений.

Само название предполагает, что напряжение, действующее в направлении z, равно нулю.

Уравнение круга Мора

Рассмотрим двумерное напряженное состояние, при котором напряжение в направлении z равно нулю. Уравнение круга Мора для предполагаемой системы напряжений можно записать в виде:

Как обсуждалось в предыдущих разделах, здесь также x и y представляют напряжения в направлениях x и y соответственно. Тета представляет собой главный угол.

Является ли главное напряжение таким же, как напряжение фон Мизеса?

Главное напряжение такое же, как фон Мизес напряжения для единичного напряжения, действующего на систему. Однако для более чем одного напряжения, действующего на систему, напряжение фон Мизеса и главное напряжение различны.

Главные напряжения — это реальные напряжения, действующие на плоскости, тогда как напряжение фон Мизеса — это производная версия напряжения, которая говорит нам, будет ли материал поддаваться текучести или разрушаться при заданном наборе напряжений.

Нахождение главных напряжений по кругу Мора

Главные напряжения можно найти по формуле, приведенной ниже:

Максимальное главное напряжение может быть определено по формуле:

Минимальное основное напряжение можно определить по формуле, приведенной ниже:

R — радиус круга Мора.

Радиус круга Мора представляет максимальное напряжение сдвига в плоскости.

Матрица напряжений

Матрица напряжений или тензор напряжений Коши представляет все напряжения, действующие на систему, в матричной форме. Эта матрица представляет напряжения, действующие во всех трех направлениях. Матрица обсуждается в предыдущих разделах.

Матрица напряжений используется для определения напряжений, действующих в определенном направлении, и используется для расчета трех основных главных напряжений.

Значение главных напряжений

Главные напряжения используются для определения пределов текучести (например, Стресс фон Мизеса), который говорит нам, будет ли материал разрушаться или поддаваться деформации при заданном наборе напряжений. Главные напряжения используются в теориях разрушения.

Различные теории разрушения (например, Ренкина, Трески, фон Мизеса и т. д.) используют значения главных напряжений, чтобы определить, будет ли материал поддаваться деформации или разрушаться при заданном наборе напряжений.

Чему равна амплитуда напряжения в осветительных сетях переменного тока рассчитанного

Действующее, амплитудное, среднее значение величины на синусоиде

Синусоида (синус) — самый наш идеальный и необходимый вариант. Используется на выходе из генераторов для передачи на расстояния и затем используется вами из розетки (какой ток в розетке?). Самый распространенный сигнал, вероятно, если я чего-то не знаю. Рассмотрим основные элементы графика переменного тока:

Период — это время, через которое функция начинает повторяться, величина обратная частоте. Обозначается буквой Т. Т=2тт/w.

тт — так почему-то в интернетах принято обозначать число “пи”, против толпы не попрешь, так сказать, хотя можно просто 3,14 написать или “пи”. Дело вкуса.

Амплитудное значение (амплитуда) — значения, в которых график синусоиды достигает максимумов. То есть для синусоиды таких значения два на период — положительное и отрицательное.

Действующее значение — это 0,707 от амплитудного значения. Есть у нас цепь — в этой цепи за время Т1 постоянный ток определенной величины I1 выделит определенное количество тепла Q1, если в той же цепи пустить переменный ток, то за тоже время Т1 он выделит такое же количества тепла Q1 при действующем значении равном I1. И это значение I1 для синусоиды будет равно 0,707 от амплитудного — что означает единица делить на корень из двух. Если вам интересно, откуда это такое взялось, то плиз велком:

Мгновенное значение — значение величины в определенный момент времени. Если посмотреть на синусоиду, то видно, что мгновенное значение постоянно передвигается и на протяжении одного периода постоянно меняет свои значения. В следующем периоде опять идет тем же путем. Остановись мгновение =) Значение мгновенного значения определяется как Im*sin(wt) — амплитудное значение умноженное на “синус омега тэ” — где “омега тэ” — произведение угловой скорости на момент времени. Омега равно два пи делить на период Т.

Среднее значение — сумма всех мгновенных значений за полпериода. Для синусоиды равно 0,6366197730950255438113531364418

0,637 от амплитудного значения. Если вновь стало интересно, откуда число, то ответ ниже на примере переменного тока:

Если амплитудное значение разделить на действующее значение, то мы получим, правильно корень из двух для синусоиды — его еще называют коэффициентом амплитуды. Если же мы разделим действующее значение на среднее — то получим для синусоиды 1,11 — это отношение называется коэффициентом формы кривой.

Сколько инженеров, столько и форм кривых в электронике, а если серьезно, то существуют например такие: Форма сигнала меандр — сигнал, в котором отсутствуют четные гармоники, имеет прямоугольную форму. В отличие от прямоугольного импульса, у которого длительность сигнала и длительность паузы могут отличаться, у меандра они равны. Сигнал такой формы может встречаться в импульсных источниках бесперебойного питания и прочих электронных схемах, ШИМ.

Пилообразный сигнал — сигнал пилообразной формы может идти и в одну сторону и в другую (знак минус в формуле функции). Для создания этой и других форм сигналов применяются генераторы сигналов. Применяются в старых осциллографах, мониторах, как и треугольные.

Треугольный сигнал — у треугольного сигнала длина роста и длина падения равны.

Каждая из этих форм может быть представлена через преобразование фурье, смысл которого в разбиении функции на гармонические составляющие от единицы до бесконечности с набором определенных гармоник — нечетных например, как для меандра. В функциях выше, которые были построены в маткаде, смысл построения в следующем, чем больше составляющих вы берете для построения (ближе к бесконечности), тем красивее получается график.

Мгновенные, максимальные, действующие и средние значения электрических величин переменного тока

2015-08-21 13714
Мгновенное и максимальное значения. Величину переменной электродвижущей силы, силы тока, напряжения и мощности в любой момент времени называют мгновенными значениями

этих величин и обозначают соответственно строчными буквами (
e, i, u, p
).
Максимальным значением
(амплитудой) переменной э. д. с. (или напряжения или тока) называется та наибольшая величина, которой она достигает за один период. Максимальное значение электродвижущей силы обозначается
Е
m, напряжения —
U
m, тока —
I
m.

Действующим (или эффективным) значением переменного тока называется такая сила постоянного тока, которая, протекая через равное сопротивление и за одно и то же время, что и переменный ток, выделяет одинаковое количество тепла.

Для синусоидального переменного тока действующее значение меньше максимального в 1,41 раз, т. е. в

Аналогично действующие значения переменной электродвижущей силы и напряжения меньше их максимальных значений тоже в 1,41 раза.

По величине измеренных действующих значений силы переменного тока, напряжения или электродвижущей силы можно вычислить их максимальные значения:

Em = E

· 1,41;
U
m =
U
· 1,41;
I
m =
I
· 1,41;

Среднее значение= отношению количества эл энергии прошедшего через сечение проводника за половину периода к величине этого полупериода.

Под средним значением понимают среднеарифметическое ее значение за половину периода.

Параметры переменного напряжения

Содержание

1. Среднее значение напряжения
2. Средневыпрямленное значение напряжения
3. Среднеквадратичное значение напряжения
4. Как измерить среднеквадратичное значение напряжения

Как вы помните из предыдущей статьи, переменное напряжение – это напряжение, которое меняется со временем. Оно может меняться с каким-то периодом, а может быть хаотичным. Но не стоит также забывать, что и переменное напряжение обладает своими особенными параметрами.

Среднее значение напряжения

Среднее значение переменного напряжения Uср – это, грубо говоря, площадь под осциллограммой относительно нуля за какой-то промежуток времени. Чтобы это понять, давайте рассмотрим вот такую осциллограмму.

Например,чему равняется среднее значение напряжения за эти два полупериода? В данном случае ноль вольт. Почему так? Площади S1 и S2 равны. Но все дело в том, что площадь S2 берется со знаком “минус”. А так как площади равны, то в сумме они дают ноль: S1+(-S2)=S1-S2=0. Для бесконечного по времени синусоидального сигнала среднее значение напряжения также равняется нулю.

То же самое касается и других сигналов, например, двухполярного меандра. Меандр – это прямоугольный сигнал, у которого длительности паузы и импульса равны. В этом случае его среднее напряжение также будет равняться нулю.

Средневыпрямленное значение напряжения

Чаще всего используют средневыпрямленное значение напряжения Uср. выпр. То есть площадь сигнала, которая “пробивает пол” берут не с отрицательным знаком, а с положительным.

средневыпрямленное значение напряжения будет уже равняться не нулю, а S1+S2=2S1=2S2. Здесь мы суммируем площади, независимо от того, с каким они знаком.

На практике средневыпрямленное значение напряжения получить легко, использовав диодный мост. После выпрямления синусоидального сигнала, график будет выглядеть вот так:

Для того, чтобы примерно узнать, чему равняется средневыпрямленное напряжение, достаточно узнать максимальную амплитуду синусоидального сигнала Umax и сосчитать ее по формуле:

Максимальные напряжения при кручении

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρта

х
= d/
2, где
d
— диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывает­ся по формуле (см. лекцию 25).

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

Обычно JP/pmax

обозначают
Wp
и называют
моментом сопро­тивления
при кручении, или
полярным моментом сопротивления
сечения

Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу

Для круглого сечения

Для кольцевого сечения

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности

к] — допускаемое напряжение кручения.

Виды расчетов на прочность

Существует два вида расчета на прочность.

1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности

3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)

Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т

При кручении деформация оцени­вается углом закручивания (см. лекцию 26):

— угол закручивания;
γ
— угол сдвига;
l
— длина бруса;
R
— радиус;
R =d/2.
Откуда

Закон Гука имеет вид τ

к =
Gγ
. Подставим выражение для
γ
, получим

Произведение GJP

называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G

= 0,4
Е.
Для стали
G
= 0,8 • 105 МПа.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φ

Условие жесткости при кручении можно записать в виде

o — относительный угол закручивания,
φ
о =
φ/l; [φо]
≈ 1град/м = 0,02рад/м — допускаемый относительный угол закручивания.

Примеры решения задач

Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φо]

= 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге
G
= 0,8 * 105 МПа.

Решение

1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении:

Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:

Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении

Значения подставляем в ньютонах и мм.

Определяем диаметр вала:

2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.

Условие жесткости при кручении:

Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:

Определяем диаметр вала:

3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд пред­почтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение dвала = 75 мм.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стан­дартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.

Пример 2. В поперечном сечении бруса d

= 80 мм наибольшее касательное напряжение
τтах
= 40 Н/мм2. Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, б

Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм2. Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в

Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d0

= 30 мм;
d =
70 мм) возникает крутящий момент
Мz
= 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.

Решение

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле

В рассматриваемом примере Мz

= 3 кН-м = 3-106 Н• мм,

Подставляя числовые значения, получаем

Пример 5. Стальная труба (d0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l

= 1,8 м закручивается моментами
т
, приложенными в ее торцевых сечениях. Определить ве­личину
т
, при которой угол закручивания
φ
= 0,25°. При найденном значении
т
вычислить максимальные касательные напряжения.

Решение

Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле

В данном случае

Подставляя числовые значения, получаем

Вычисляем максимальные касательные напряжения:

Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а

) построить эпюры крутящих моментов, максимальных каса­тельных напряжений, углов поворота поперечных сечений.

Решение

Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V

(рис. 2. 38,
а).
Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скру­чивающие) моменты и места изменения размеров попереч­ного сечения.

строим эпюру крутящих моментов.

Построение эпюры Мz

начинаем со свободного конца бруса:

для участков III

и
IV
для участка V

Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б

. Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем
τ
шах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке
I
на участке II

на участке III

на участке IV

на участке V

Эпюра максимальных касательных напряжений пока­зана на рис. 2.38, в

Угол поворота поперечного сечения бруса при посто­янных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле

Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φ

л = 0, так как в этом сечении брус закреплен.

Эпюра углов поворота поперечных сечений изображе­на на рис. 2.38, г

Пример 7. На шкив В

ступенчатого вала (рис. 2.39,
а)
передается от двигателя мощность
N
B = 36 кВт, шкивы
А
и
С
соответственно передают на станки мощности
NA
= 15 кВт и
NC
= 21 кВт. Час­тота вращения вала
п
= 300 об/мин. Про­верить прочность и жесткость вала, если [
τ
KJ = 30 Н/мм2, [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2,
d1
= 45 мм,
d2
= 50 мм.

Решение

Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:

Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответ­ствующий N

А, положительным,
Nc
— отрицательным. Эпюра Mz показана на рис. 2.39,
б
. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ

что меньше [тк] на

Относительный угол закручивания участка АВ

что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.

Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС

что меньше [тк] на

Относительный угол закручивания участка ВС

что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.

Следовательно, прочность вала обеспечена, а жест­кость — нет.

Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1

передается мощность
N
= 20 кВт, С вала
1
по­ступает на вал
2
мощность
N1
= 15 кВт и к рабочим ма­шинам — мощности
N2
= 2 кВт и
N3
= 3 кВт. С вала
2
к рабочим машинам поступают мощности
N4
= 7 кВт,
N5
= 4 кВт,
N6
= 4 кВт (рис. 2.40,
а).
Определить диаметры валов d1 и d2 из условия прочности и жесткости, если [
τ
KJ = 25 Н/мм2, [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2. Се­чения валов
1
и
2
считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя
п =
970 об/мин, диаметры шкивов D1 = 200 мм, D2 = 400 мм, D3 = 200 мм, D4 = 600 мм. Сколь­жением в ременной передаче пренебречь.

Решение

Нарис. 2.40, б

изобра­жен вал
I
. На него поступает мощность
N
и с него снимаются мощности
Nl
, N2,
N3.
Определим угло­вую скорость враще­ния вала 1

и внешние скручивающие момен­ты
m, m1, т2, т3:
Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в

). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие
N3
и
N1
, по­ложительными, а
N
— отрицательным. Расчетный (макси­мальный) крутящий момент
Nx1
max = 354,5 H*м.

Диаметр вала 1 из условия прочности

Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)

Окончательно принимаем с округлением до стандарт­ного значения d1 = 58 мм.

Частота вращения вала 2

На рис. 2.40, г

изображен вал
2;
на вал поступает мощность
N1
, а снимаются с него мощности
N4, N5, N6.
Вычислим внешние скручивающие моменты:

Эпюра крутящих моментов для вала 2

показана на рис. 2.40,
д.
Расчетный (максимальный) крутящий момент Мя max» = 470 H-м.

Диаметр вала 2

из условия прочности

Диаметр вала 2

из условия жесткости

Окончательно принимаем d2=

Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N

(рис. 2.41,
а
), которую может передать стальной вал диаметром
d = 50
мм, если [тк] = 35 Н/мм2, [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I04 Н/мм2,
n
= 600 об/мин.

Решение

Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:

Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б

На рис. 2.41, в

пред­ставлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (мак­симальный) крутящий мо­мент
Mz
= 9,54
N
. Условие прочности

Лимитирующим является условие жесткости. Следо­вательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.

Среднеквадратичное значение напряжения

Чаще всего используют среднеквадратичное значение напряжения или его еще по-другому называют действующим. В литературе обозначается просто буквой U. Чтобы его вычислить, тут уже простым графиком не отделаешься. Среднеквадратичное значение – это значение постоянного напряжения, который, проходя через нагрузку (скажем, лампу накаливания), выделяет за тот же промежуток времени такое же количество мощности, какое выделит в этой нагрузке переменное напряжение. В английском языке среднеквадратичное напряжение обозначается так: RMS (rms) – root mean square.

Связь между амплитудным и среднеквадратическим значением устанавливается через коэффициент амплитуды K a:

Вот некоторые значения коэффициента амплитуды K a для некоторых сигналов переменного напряжения:

Более точные значения 1,41 и 1,73 – это √2 и √3 соответственно.

Как измерить среднеквадратичное значение напряжения

Для правильного замера среднеквадратического значения напряжения у нас должен быть мультиметр с логотипом T-RMS. RMS – как вы уже знаете – это среднеквадратическое значение. А что за буква “T” впереди? Думаю, вы помните, как раньше была мода на одно словечко: “тру”. “Она вся такая тру…”, “Ты тру или не тру?” и тд. Тру (true) – с англ. правильный, верный.

Так вот, T-RMS расшифровывается как True RMS – “правильное среднеквадратическое значение”. Мои токоизмерительные клещи могут замерять этот параметр без труда, так как на них есть логотип “T-RMS”.

Проведем небольшой опыт. Давайте соберем вот такую схемку:

Выставим на моем китайском генераторе частоты треугольный сигнал с частотой, ну скажем, 100 Герц

Переменный электрический ток

Переменный ток

(AC — Alternating Current) — электрический ток, меняющий свою величину и направление с течением времени.

Часто в технической литературе переменным называют ток, который меняет только величину, но не меняет направление, например, пульсирующий ток. Необходимо помнить при расчётах, что переменный ток в этом случае является лишь составляющей частью общего тока. Такой вариант можно представить как переменный ток AC

с постоянной составляющей
DC
. Либо как постоянный ток с переменной составляющей, в зависимости от того, какая составляющая наиболее важна в контексте.

— Direct Current — постоянный ток, не меняющий своей величины и направления.

В реальности постоянный ток не может сохранять свою величину постоянной, поэтому существует условно в тех случаях, где можно пренебречь изменениями его постоянной величины, либо в качестве составляющей (DC

) для периодически меняющегося электрического тока любой формы. Тогда величина
DC
будет равна среднему значению тока за период, и будет являться нулевой линией для переменной составляющей
AC
.

При синусоидальной форме тока, например в электросети, постоянная составляющая DC

Постоянный ток с переменной составляющей в виде пульсаций показан синей линией на верхнем графике рисунка. Запись AC+DC

в данном случае не является математической суммой, а лишь указывает на две составляющие тока. Суммируются мощности. Величина тока будет равна квадратному корню из суммы квадратов двух величин — значения постоянной составляющей
DC
и среднеквадратичного значения переменной составляющей
AC
.

Термины AC

и
DC
применимы как для тока, так и для напряжения.

Периодические напряжения и токи

Все темы данного раздела:

Общие определения цепей и их параметров Электрической цепьюназывается совокупность уст­ройств, состоящая из источников, преобразователей и приемников электрической энергии, которые соединяются проводами, образуя зам­
Активные элементы Реальные источники энергии работают в одном из следующих режимов: источник напряжения- во всем диапазоне допустимых значений тока, при этом напряжение

Свойства линейных электрических цепей Графическое изображение электрической цепи называется электрической схемой.

Основные уравнения электрических цепей. Законы Кирхгофа Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда, т.е. приходящий за определенное время к узлу заряд, равен заряду, уходящему за то же время от узла. Следовательно, заряд в узле н

Эквивалентные преобразования пассивных цепей 1. Последовательное соединение – по 2-му закону Кирхгофа.

Расчет цепей по законам Кирхгофа Обычно заданными являются величины и направления ЭДС источников напряжения и внутренних токов источников тока, а также зна­чения всех внутренних и внешних сопротивлений или проводимостей. Определен

Метод контурных токов При расчете сложной электрической цепи можно ограничиться совместным решением уравнений составленных по второму закону Кирхгофа для токов, замыкающихся по независимым контурам схемы, число которых

Метод узловых напряжений Метод основан на применении первого закона Кирхгофа. Составляется уравнение для потенциалов узлов схемы, при условии, что потенциал одного и

Метод наложения При действии нескольких источников напряжения и токов в линейной электрической цепи неизвестные токи в ветвях такой цепи можно найти суммированием токов от каждого источника в отдельности. При этом

Свойство взаимности Если в ветвь «n» электрической цепи включить единственный источник ЭДС En, то в ветви «m» он создаст ток

Теорема о компенсации Метод основан на принципе компенсации, когда по схеме приращений определяют приращение тока в цепи вследствие изменения сопротивления ветви. Схема приращений образуется исключением источников энерг

Метод эквивалентного источника напряжения (теорема Гельмгольца-Тевенена) Метод основан на теореме об эквивалентном источнике, когда активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви может быть заменен экв

Метод эквивалентного источника тока (теорема Нортона) Активный двухполюсник по отношению к рассматриваемой ветви можно заменить эквивалентным источником тока, ток которого равен току в этой ветви, замкнутой

Баланс мощностей Вытекает из закона сохранения энергии. Условие энергетического баланса для любой электрической цепи постоянного тока выражается в виде равенства нулю суммы мощностей по всем элементам:

Топология электрической цепи Топология – область математики, изучающая свойства геометрических фигур. Топологические методы расчета электрических схем основаны на аналитическом, либо на геометрическом спос

Топологические матрицы графов Геометрия любого графа может быть описана несколькими матрицами. При расчетах наиболее часто используют следующие названия матриц: матрицу соединений (узловая матрица), контурную матрицу, матрицу г

Генератор синусоидального напряжения Простейшим генератором синусоидальной ЭДС может служить прямоугольная катушка с числом витков w

Векторная диаграмма Векторную диаграмму рассмотрим на примере изменяющейся по синусоидальному закону ЭДС: . Рассмотрим прямоугольную систему координатн

Действующие и средние значения периодических ЭДС и токов Понятие о среднем квадратичном (действующем) значении можно получить, рассматривая тепловое действие тока. Пусть сопротивление цепи, в которой протекает периодический ток, равно R. Тогда сог

Установившийся режим в цепи с последовательным соединением активного сопротивления, индуктивности и емкости В соответствии с законом Кирхгофа в такой схеме приложенное напряжение распределяется м

Установившийся режим в цепи с параллельным соединением активного сопротивления, индуктивности и емкости При параллельном соединении сопротивления R, индуктивности L и емкости С мгнове

Энергетические соотношения в цепях синусоидального тока В цепях синусоидального тока принято говорить о мгновенной мощности цепи. Мгновенная мощность цепи:

Комплексный метод расчета электрических цепей Существенное упрощение достигается изображением синусо­идальных функций времени комплексными числами. Существует несколько форм представления комплексного числа: — алгебраическая

Комплексные сопротивления и проводимости Отношение комплексного напряжения к комплексному току называют комплексным сопротивлением цепи и обозначают .

Основные законы электрических цепей в комплексной форме Законы электрических цепей переменного тока в комплексной форме имеют такой же вид, как и для цепей постоянного тока, с заменой соответствующих постоянных величин комплексными:

Мощность в комплексной форме. Баланс мощностей В качестве комплексной мощности понимают произведение комплексного напряжения на сопряженную комплексную величину тока. В ре­зультате чего, получаем комплексную мощность:

Частотные характеристики Ранее было доказано, что действующее значение силы тока в R, L,C цепочке определяет соотношение:

Резонанс напряжений Рассмотрим последовательный колебательный контур.Полное сопротивление последовательной цепи

Резонансные характеристики Действующее значение тока в последовательном резонансном контуре: . Построим зависимости напряжений на эле

Параллельный колебательный контур. Резонанс токов Рассмотрим цепь, состоящую из параллельно включенных активного, индуктивного и емкостного сопротивлений.

Цепи с взаимной индукцией Пусть имеем цепь с двумя катушками индуктивности, по одной из которых протекает ток. Этот ток созда

Индуктивно связанных катушек При последовательном соединении катушек ток в них один и тот же, а приложенное напряжение должно преодолеть все ЭДС и сопротивления цепи.

Трансформатор без стального сердечника Широкое применение в электротехнике имеет трансформатор – устройство, предназначенное для преобразо

Параметры переменного тока и напряжения

Величина переменного тока, как и напряжения, постоянно меняется во времени. Количественными показателями для измерений и расчётов применяются их следующие параметры:

Период
T
— время, в течении которого происходит один полный цикл изменения тока в оба направления относительно нуля или среднего значения.

Частота
f
— величина, обратная периоду, равная количеству периодов за одну секунду. Один период в секунду это один герц (1 Hz)

1
/T
Циклическая частота
ω
— угловая частота, равная количеству периодов за
2π
секунд.

ω = 2πf = 2π/T

Обычно используется при расчётах тока и напряжения синусоидальной формы. Тогда в пределах периода можно не рассматривать частоту и время, а исчисления производить в радианах или градусах. T = 2π = 360°

Начальная фаза
ψ
— величина угла от нуля (
ωt
= 0) до начала периода. Измеряется в радианах или градусах. Показана на рисунке для синего графика синусоидального тока.

Начальная фаза может быть положительной или отрицательной величиной, соответственно справа или слева от нуля на графике.

Мгновенное значение

— величина напряжения или тока измеренная относительно нуля в любой выбранный момент времени
t
.

i = i(t); u = u(t)

Последовательность всех мгновенных значений в любом интервале времени можно рассмотреть как функцию изменения тока или напряжения во времени. Например, синусоидальный ток или напряжение можно выразить функцией:

i = I ampsin(ωt); u = U ampsin(ωt)

С учётом начальной фазы:

i = I ampsin(ωt + ψ); u = U ampsin(ωt + ψ)

Здесь I amp

и
U amp
— амплитудные значения тока и напряжения.

Амплитудное значение

— максимальное по модулю мгновенное значение за период.

I amp = max|i(t)|; U amp = max|u(t)|

Может быть положительным и отрицательным в зависимости от положения относительно нуля. Часто вместо амплитудного значения применяется термин амплитуда

тока (напряжения) — максимальное отклонение от нулевого значения.

Среднее значение

(avg) — определяется как среднеарифметическое всех мгновенных значений за период
T
.

Среднее значение является постоянной составляющей DC

напряжения и тока. Для синусоидального тока (напряжения) среднее значение равно нулю.

Средневыпрямленное значение

— среднеарифметическое модулей всех мгновенных значений за период.

Для синусоидального тока или напряжения средневыпрямленное значение равно среднеарифметическому за положительный полупериод.

Среднеквадратичное значение (rms) — определяется как квадратный корень из среднеарифметического квадратов всех мгновенных значений за период.

Для синусоидального тока и напряжения амплитудой I amp

(
U amp
) среднеквадратичное значение определится из расчёта:

Среднеквадратичное — это действующее, эффективное значение, наиболее удобное для практических измерений и расчётов. Является объективным количественным показателем для любой формы тока. В активной нагрузке переменный ток совершает такую же работу за время периода, что и равный по величине его среднеквадратичному значению постоянный ток.

Напряжение цепи переменного тока

Переменное напряжение — это напряжение, которое изменяется с течением времени. Далее будем рассматривать только гармоническое переменное напряжение (изменяется по синусоиде).

u = U

m
sin(2πt + Ψ ) = U
msin(ωt + Ψ )

Где u = u(t) — мгновенное значение переменного напряжения [В].

U

m — максимальное значение напряжения
(амплитудное значение) [В].
f — частота равная числу колебаний в 1 секунду (единица частоты f — герц (Гц) или с -1 )

ω — угловая частота (омега) (единица угловой частоты — рад/с или с -1 )

ω = 2πf = 2π/T

Аргумент синуса, т. е. (ωt + Ψ), называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t.

U — Действующее значение напряжения [В]:

Рассмотрим параметры напряжения в бытовой электросети.

Все мы знаем, что у нас дома в розетке поступает переменный ток, с напряжением 220 вольт и частотой 50 герц (в идеальных условиях) на самом деле допускается не большая погрешность как в меньшую, так и в большую сторону так, что не удивляйтесь если ваш вольтметр покажет не 220, а например 210 или даже 230 В.).

Большинство приборов измеряет не амплитудное, а действующее значение переменного напряжения, тока, мощности так, что если мы говорим что у нас напряжение сети 220, 380 В и т. д. то имеется виду именно действующие значения.

Как найти максимальное значение напряжения в сети

Переменное напряжение — это напряжение, которое изменяется с течением времени. Далее будем рассматривать только гармоническое переменное напряжение (изменяется по синусоиде).

Где u = u(t) — мгновенное значение переменного напряжения [В].

U_m — максимальное значение напряжения (амплитудное значение) [В].

f — частота равная числу колебаний в 1 секунду (единица частоты f — герц (Гц) или с -1 )

ω — угловая частота (омега) (единица угловой частоты — рад/с или с -1 )

ω = 2πf = 2π/T

Аргумент синуса, т. е. (ωt + Ψ), называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t.

U — Действующее значение напряжения [В]:

Рассмотрим параметры напряжения в бытовой электросети.

Все мы знаем, что у нас дома в розетке поступает переменный ток, с напряжением 220 вольт и частотой 50 герц (в идеальных условиях) на самом деле допускается не большая погрешность как в меньшую, так и в большую сторону так, что не удивляйтесь если ваш вольтметр покажет не 220, а например 210 или даже 230 В.).

Большинство приборов измеряет не амплитудное, а действующее значение переменного напряжения, тока, мощности так, что если мы говорим что у нас напряжение сети 220, 380 В и т. д. то имеется виду именно действующие значения.

• Действующее значение напряжения U = 220 В.
• Амплитудное значение напряжения цепи переменного токаU_m = U*√2 = 220 *√2 = 311 В.
• Угловая частота ω = 2πf = 3,14*2*50 = 314рад/с.
• Начальная фаза Ψ = 0град.
• Мгновенное значениеu= 311sin(314t)В.

Среднеквадратичное (действующее, эффективное) значение

Что же из себя представляет среднеквадратичное значение напряжения и как его замерить? Давайте разберем значение этого термина. Поможет нам в этих делах наш осциллограф OWON SDS6062 , Блок питания, а также ЛАТР (Лабораторный автотрансформатор). Для того, чтобы разобраться в этом, мы проведем простейший опыт.

Лампочка и постоянное напряжение

Для опытов нам также понадобится простая автомобильная лампа накаливания на напряжение 12 Вольт

Вот ее характеристики: рабочее напряжение U=12 Вольт, мощность Р = 21 Ватт.

Следовательно, зная мощность и напряжение лампы, можно узнать, какую силу тока будет потреблять лампочка. Из формулы P=IU, где I — сила тока, можно найти I. Значит I=P/U=21/12=1,75 Ампер.

Ладно, с лампочкой разобрались. Давайте ее зажжем. Для этого на нашем блоке питания выставляем рабочее напряжение для нашей лампы

Подаем напряжение с блока питания на лампу и вуаля!

Замеряем напряжение на клеммах-крокодилах блока питания с помощью мультиметра . Ровнехонько 12 Вольт, как и предполагалось.

К этим же клеммах цепляем и наш осциллограф

Видите прямую линию? Это и есть осциллограмма постоянного напряжения. В течение времени у нас напряжение остается таким, каким и было и не меняется. Если посчитать, то можно вычислить, чему равняется напряжение. Так как одна клеточка у нас 5 Вольт (на фото внизу слева), то значит, наше напряжение 12 Вольт. Я также вывел это значение на дисплей осциллографа в самом нижнем левом углу: 12,03 Вольт. Все верно.

Замеряем силу тока. Как правильно замерить силу тока в цепи, можно узнать, прочитав статью как измерить ток и напряжение мультиметром?.

Получили 1,72 Ампер. А как вы помните, наше расчетное значение было 1,75 Ампер. Думаю, вину можно переложить на погрешность прибора или на лампочку ��

Лампочка и переменное напряжение

Теперь начинается самое интересное. Берем наш ЛАТР

Ставим прибор на измерение переменного напряжения и выставляем с помощью крутилки ЛАТРа напряжение в 12 Вольт. Обратите внимание, что крутилка на мультиметре находится в диапазоне измерения переменного напряжения. Забегая вперед, скажу, что мультиметр измеряет среднеквадратичное напряжение.

Цепляем осциллограф к клеммах ЛАТРа, не забывая на осциллографе выставить замеры переменного напряжения и смотрим получившуюся осциллограмму:

Смотрим, сколько силы тока кушает наша лампочка. Все как положено, 1,71 Ампер.

Среднеквадратичное значение напряжения

Итак, что же у нас получилось? Как и постоянное напряжение, так и переменное напряжение зажигали одну и ту же лампочку, которая кушала одну и ту же мощность. Значит эта осциллограмма

Среднеквадратичное значение напряжения — это такое значение переменного напряжения, при котором нагрузка потребляет столько же силы тока, как и при постоянном напряжении. То есть лампочка у нас потребляла 1,71 Ампер и при постоянном токе и при переменном. То есть, в двух этих случаях, мощность, которую потребляла лампочка, была одинакова.

Также среднеквадратичное напряжение еще называют действующим или эффективным значением напряжения. С помощью несложных умозаключений, инженеры-электрики пришли к выводу действующее (оно же среднеквадратичное) напряжение синусоидального сигнала любой частоты равняется максимальной его амплитуде, поделенной на корень из двух

Стоп! Мы ведь не разобрали, что такое максимальная амплитуда! На осциллограмме максимальная амплитуда выглядит примерно вот так:

Если даже посчитать по клеточкам и посмотреть, чему равняется одна клеточка по вертикали (смотрим внизу слева, она равняется 5 Вольт), то U_max = 17 Вольт. Делим это значение на корень из двух. Я беру это значение как 1,41. Получаем, что среднеквадратичное значение равняется 17/1,41=12,06 Вольт. Ну что, все верно ��

Значит, когда нам говорят, что напряжение в розетке равняется 220 Вольт, то мы то знаем, что на самом деле это среднеквадратичное напряжение. Максимальная амплитуда этих 220 Вольт равняется 220х1,41=310 Вольт.

Где же среднеквадратичное напряжение и максимальная амплитуда сигнала прячутся на табличке измерений? Да вот же они!

Vk — это и есть среднеквадратичное напряжение этого сигнала.

Ma — это и есть Umax.

Конечно, 16,6/1,41=11,8 Вольт, а он пишет 12,08 Вольт.

Что показывает вольтметр, или математика розетки

О чем эта статья

Сегодня я ненадолго отступлю от своей обычной темы о визуальном программировании контроллеров и обращусь к теме измерений напряжения прямо в ней, в розетке!

Родилась эта статья из дискуссий за чаем, когда разразился спор среди «всезнающих и всеведающих» программистов о том, чего многие из них не понимают, а именно: как измеряется напряжение в розетке, что показывает вольтметр переменного напряжения, чем отличается пиковое и действующие значения напряжений.

Скорее всего, это статья будет интересна тем, кто начинает творить свои устройства. Но, возможно, поможет и кому-то опытному освежить память.

В статье рассказано о том, какие напряжения есть в сети переменного тока, как их измеряют и о том, что следует помнить при проектировании электронных схем.
Всему дано краткое и упрощённое математическое обоснование, чтобы было ясно не только «как», но и «почему».

Кому не интересно читать про интегралы, ГОСТы и фазы — могут сразу переходить к заключению.

Вступление

Когда люди начинают говорить о напряжении в розетке, очень часто стереотип «в розетке 220В» скрывает от их взора реальное положение дел.

Начнем с того, что согласно ГОСТ 29322-2014, сетевое напряжение должно составлять 230В±10% при частоте 50±0,2Гц (межфазное напряжение 400В, напряжение фаза-нейтраль 230В). Но в том же ГОСТ имеется примечание: «Однако системы 220/380 В и 240/415 В до сих пор продолжают применять».

Согласитесь, что это уже совсем не то однозначное «в розетке 220В», к которому мы привыкли. А когда речь начинает идти о «фазном», «линейном», «действующем» и «пиковом» напряжениях — вообще каша получается знатная. Так сколько же вольт в розетке?

Чтобы ответить на этот вопрос начнем с того, как измеряется напряжение в сети переменного тока.

Как измерять переменное напряжение?

Прежде, чем углубиться в дебри цепей переменного тока и напряжения, вспомним школьную физику цепей тока постоянного.

Цепи постоянного тока — вещь простая. Если мы возьмем некоторую активную нагрузку (пусть это будет обычная лампа накаливания, как на рисунке) и воткнем ее в цепь постоянного тока, то все, что происходит в нашей цепи будет характеризоваться всего двумя величинами: напряжением на нагрузке U и током, протекающим через нагрузку I. Мощность, которая потребляется нагрузкой однозначно вычисляется по формуле, известной со школы: .

Или, если учесть, что по закону Ома , то мощность P, потребляемую нагрузкой-лампочкой, можно вычислить по формуле .

С переменным напряжением все куда сложнее: в каждый момент времени — оно может иметь разное мгновенное значение. Следовательно, в разные моменты времени, на нагрузке, подключенной к источнику переменного напряжения (например, на лампе накаливания, воткнутой в розетку) будет выделяться разная мощность. Это очень неудобно с точки зрения описания электрической цепи.

Но нам повезло: форма напряжения в розетке синусоидальная. А синусоида, как известно, полностью описывается тремя параметрами: амплитудой, периодом и фазой. В однофазных сетях (а обычная розетка с двумя дырочками именно и есть однофазная сеть) про фазу можно забыть. На рисунке подробно показаны два периода сетевого однофазного напряжения. Того самого, что в розетке.

Рассмотрим, что означают все эти буковки на рисунке.

Период T — это время между двумя соседними минимумами или соседними максимумами синусоиды. Для осветительной сети РФ этот период составляет 20 миллисекунд, что соответствует частоте 50Гц. Частота колебаний напряжения электрической сети выдерживается очень точно, до долей процента.

Очевидно, что в любых двух точках синусоиды, отстоящих друг от друга на целое число периодов, напряжения всегда равны между собой.

Амплитуда Um — это максимальное напряжение, пик синусоиды. Про действующее напряжение Uд поговорим чуть ниже.

Напряжение в розетке (или однофазной сети) описывается формулой

где t — текущий момент времени, Um — амплитуда (или пиковое значение) напряжения, T — период сетевого напряжения.

Если с однофазным переменным напряжением более или менее все ясно, то попробуем посчитать мощность, которая выделяется на нашей любимой лампе накаливания, при втыкании ее прямо в розетку.

Так как лампа накаливания является активной нагрузкой (а это значит, что ее сопротивление не зависит от частоты напряжения и тока), то мгновенная мощность, выделяемая на лампе накаливания, воткнутой в розетку, будет вычисляться по формуле

где t — текущий момент времени, а R — сопротивление лампы накаливания при нагретой спирали. Зная амплитуду переменного напряжения Um, можно записать:

Понятно, что мгновенная мощность — неудобный параметр, да и на практике не особо нужный. Поэтому практически обычно применяется мощность, усредненная за период.
Именно усредненная мощность указана на лампочках, нагревателях и прочих бытовых утюгах.

Рассчитывается усредненная мощность в общем случае по формуле:

А для нашей синусоиды — по гораздо более простой формуле:

Можете сами подставить вместо функцию и взять интеграл, если не верите.

Не думайте, что про мощность я вспомнил просто так, из вредности. Сейчас поймете, зачем она нам была нужна. Переходим к следующему вопросу.

Что же показывает вольтметр?

Для цепей постоянного тока, тут все однозначно — вольтметр показывает единственное напряжение между двумя контактами.

С цепями переменного тока все опять сложнее. Некоторые (и этих некоторых не так мало, как я убедился) считают, что вольтметр показывает пиковое значение напряжения Um, но это не так!

На самом деле, вольтметры обычно показывают действующее или эффективное, оно же среднеквадратичное, напряжение в сети Uд.

Разумеется, речь идет о вольтметрах переменного напряжения! Поэтому, если будете измерять вольтметром напряжение сети, обязательно убедитесь, что он находится в режиме измерения переменного напряжения.

Оговорюсь, что «пиковые вольтметры», показывающие амплитудные значения напряжения, тоже существуют, но на практике при измерении напряжения питающей сети в быту обычно не применяются.

Разберемся, почему такие сложности. Почему бы не измерять просто амплитуду? Зачем выдумали какое-то «действующее значение» напряжения?

А все дело в потребляемой мощности. Я ведь не просто так писал о ней. Дело в том, что действующее (эффективное) значение переменного напряжения равно величине такого постоянного напряжения, которое за время, равное одному периоду этого переменного напряжения, произведет такую же работу, что и рассматриваемое переменное напряжение.

Или, по-простому, лампочка накаливания будет светить одинаково ярко, воткнем ли мы ее в сеть постоянного напряжения 220В или в цепь переменного тока с действующим значением напряжения 220В.

Для тех, кто уже знаком с интегралами или еще не забыл математику, приведу общую формулу расчета действующего напряжения произвольной формы:

Из этой формулы также становится ясно, почему действующее (эффективное) значение переменного напряжения также называют «среднеквадратичным».

Заметим, что подкоренное выражение и есть та самая «усредненная за период мощность», стоит только поделить это выражение на сопротивление нагрузки R.

Применительно к синусоидальной форме напряжения, страшный интеграл после несложных преобразований превратится в простую формулу:

где Uд — действующее или среднеквадратичное значение напряжение (то самое, которое обычно показывает вольтметр), а Um — амплитудное значение.

Действующее напряжение хорошо тем, что для активной нагрузки, расчет усредненной мощности полностью совпадает с расчетом мощности на постоянном токе:

Это и не удивительно, если вспомнить определение действующего значения напряжения, которое было дано чуть выше.

Ну и, наконец, посчитаем, чему же равна амплитуда напряжения в розетке «на 220В«:

В худшем случае, если у вас сеть на 240В, да еще и с допуском +10%, амплитуда будет аж !

Поэтому, если хотите, чтобы ваши устройства, питающиеся от сети, работали стабильно и не сгорали, выбирайте элементы, которые выдерживают пиковые напряжения не менее 400В. Разумеется, речь идет об элементах, на которые непосредственно подаётся сетевое напряжение.

Отмечу, что для не-синусоидальной формы сигнала действующее значение напряжения рассчитывается по иным формулам. Кому интересно — могут сами взять интегралы или обратиться к справочникам. Нас же интересует питающая сеть, а там всегда должна быть синусоида.

Фазы, фазы, фазы…

Помимо обычной однофазной осветительной сети

220В все слышали и о трехфазной сети

380В. Что такое 380В? А это межфазное эффективное напряжение.

Помните, я сказал, что в однофазной сети про фазу синусоиды можно забыть? Так вот, в трехфазной сети этого делать нельзя!

Если говорить по простому, то фаза — это сдвиг во времени одной синусоиды относительно другой. В однофазной сети мы всегда могли принять за начало отсчета любой момент времени — на расчеты это не влияло. В трехфазной сети необходимо учитывать насколько одна синусоида отстоит от другой. В трехфазных сетях переменного тока каждая из фаз отстоит от другой на треть периода или на 120 градусов. Напомню, что период измеряется также в градусах и полный период равен 360 градусов.

Если мы возьмем осциллограф с тремя лучами и прицепимся к трем фазам и одному нулю, то увидим такую картину.

«Синяя» фаза — начинается от нуля отсчета. «Красная» фаза — на треть периода (120 градусов) позже. И, наконец «зеленая» фаза начинается на две трети периода (240 градусов) позже «синей». Все фазы абсолютно симметричны друг относительно друга.

Какую именно фазу брать за точку отсчета — не важно. Картина будет одинаковой.

Математически можно записать уравнения всех трех фаз:

«Синяя» фаза:

«Красная» фаза:

«Зеленая» фаза:

Если измерить напряжение между любой из фаз и нулем в трехфазной сети — то получим обычные 220В (или 230В или 240В — как повезет, см. ГОСТ).

А если измерить напряжение между двумя фазами — то получим 380В (или 400В или 415В — не забываем об этом).

То есть трехфазная сеть — многолика. Ее можно использовать как три однофазные сети с напряжением 220В или как одну трехфазную сеть с напряжением 380В.

Откуда взялось 380В? А вот откуда.

Если мы подставим в формулу расчета действующего напряжения наши данные о двух любых фазах, то получим:

Uдф — действующее межфазное, оно же линейное напряжение.

Учитывая, что амплитуда каждой фазы получим, чтодля межфазного напряжения. На рисунке наглядно показано, как образуется межфазное напряжение, которое обозначено F1-F2 из двух фазных напряжений фаз F1 и F2. Напряжение фаз F1 и F2 измеряется относительно нулевого провода. Линейное напряжение F1-F2 измеряется между двумя разными фазными проводами.

Как видим, что действующее межфазное напряжение больше амплитуды синусоидального напряжения одной фазы.

Амплитуда межфазного напряжения составляет:

Для наихудшего случая (сеть 240В и межфазное напряжение 415В, да еще 10% сверху) амплитуда межфазного напряжения составит:

Учтите это при работе в трехфазных сетях и выбирайте элементы, рассчитанные не менее, чем на 650В, если им предстоит работать между двумя фазами!

Надеюсь, теперь понятно что показывает вольтметр переменного тока?

Заключение

Итак, очень кратко, почти на пальцах, мы ознакомились с тем какие напряжения действуют в бытовых сетях переменного тока. Подведем краткие итоги всего, изложенного выше.

• Фазное напряжение — это напряжение между фазой и нулевым проводом.
• Линейное или межфазное напряжение — это напряжение между двумя разными фазными проводами одной трехфазной сети.
• В сетях переменного тока РФ действуют три, хоть и близких, но разных стандарта (фазное/линейное): 220В/380В, 230В/400В и 240В/415В переменного тока с частотой 50Гц.
• Вольтметр переменного тока обычно показывает действующее (оно же среднеквадратичное, оно же эффективное) напряжение, которое в раза меньше, чем пиковое (амплитудное) напряжение в сети.
• В наихудшем с точки зрения стандартов случае пиковое фазное напряжение составляет примерно 373В, а пиковое линейное напряжение — 645B. Это следует учитывать при разработке электронных схем.

Надеюсь эта статья помогла кому-то разобраться в теме и ответить для себя на некоторые вопросы.