Что называется статическим режимом сау

Глава 5. Статические режимы сау

Понятие статики в теории автоматического управления

Как и всякая динамическая система, САУ может находиться в одном из двух режимов — стационарном (установившемся) и переходном. В свою очередь стационарный режим так же подразделяется на два вида — статический и динамический.

Статический режим (статика) — это режимы, при котором система находится в состоянии покоя вследствие того, что все внешние воздействия и параметры самой системы не меняются во времени.

Динамический стационарный режим возникает, когда приложенные к системе внешние воздействия изменяются по какому-либо установившемуся закону, в результате чего система приходит в режим установившегося вынужденного движения.

Стационарные динамические режимы в свою очередь бывают двух типов. Детерминированный динамический стационарный режим — это режим, при котором на систему действует детерминированное (регулярное) стационарное воздействие. Примером такого режима является установившейся гармонический режим, описываемый рассмотренными выше частотными характеристиками.

Случайный стационарный режим является установившемся в статическом смысле и имеет место, когда приложенные к системе воздействия представляют собой случайные, но стационарные функции времени.

Нашей задачей является рассмотрение статики САУ, т.е. режим установившегося состояния. При этом изучают соотношение отдельных величин, характеризующих состояние системы.

Уравнения статики можно получить тремя путями:

решая совместно систему статических (алгебраических) уравнений звеньев;

используя преобразования структурных схем в статическом режиме;

из уравнений динамики.

Так как статический режим есть установившийся, то в случае устойчивой системы отсутствует приращение функции при любом приращении аргумента (времени), т.е. y=0при любомt0. Это означает, что все производные в дифференциальных уравнениях, описывающих поведение координат системы управления, равны нулю. Например, уравнения апериодического звена:

, (5.1)

, (5.2)

, (5.3)

т.е. уравнения звеньев, входящих в любую статическую систему значительно упрощаются, принимают одинаковый вид.

Тогда последовательное соединение звеньев можно представить одним эквивалентным звеном с коэффициентом передачи

, (5.4)

где k₁, k₂. k_n— коэффициенты передачи последовательно соединенных звеньев.

При параллельном соединении звеньев коэффициент передачи эквивалентного звена равен сумме коэффициентов передачи параллельно соединенных звеньев.

, (5.5)

При встречно-параллельном соединении звеньев коэффициент передачи эквивалентного звена равен дроби, числитель которой представляет собой передаточный коэффициент основного звена, а знаменатель — единицу минус или плюс произведение передаточных функций основного звена и звена обратной связи.

, (5.6)

Рисунок 5.1 Структурная схема замкнутой САУ в

Нетрудно показать, что коэффициент передачи замкнутой САУ по данному возмущению fравен отношению коэффициента передачи прямого канала от точки приложения возмущения до выходной величины к передаточному коэффициенту разомкнутой САУ, увеличенному на единицу (рисунок 5.1)

, (5.7)

;

;

.

Преобразования структурных схем для статического режима ничем не отличаются от преобразования структурных схем, содержащих динамические звенья. Становится так же очевидным, что уравнения статики САУ получаются из уравнений динамики:

, (5.8)

если подставить в него p=0, что соответствует постоянству всех переменных, т.е. равенству нулю всех производных.

В результате имеем следующее уравнение статики:

, (5.9)

Здесь y_ст— статическое упрощение выходной величины САУ, вызванное приращением внешнего воздействияf_ст.

Итак, статический режим САУ — установившийся режим, для которого приращение выходной величины равно нулю при неизменных управляющих и возмущающих воздействиях, т.е. статический режим устанавливается в устойчивых САУ по окончании переходного процесса. Этому отвечает равенство p=0в уравнениях динамики, что соответствует постоянству всех переменных и равенству нулю всех производных.

Уравнение статики (5.9) — уравнение в отклонениях, в которых статическое приращение выходной величины может вызываться как управляющим, так и возмущающим воздействиями.

Выражение (5.7) определяет статическое отклонение выходной величины САУ, вызванное установившимся приращением внешнего воздействия f(рисунок 5.2, а). В этом случае мы имеем дело с относительными значениями величины, т.е. уравнения (5.7, 5.9) записаны в отклонениях. Если перейти к абсолютным значениям величины, то статическая характеристика системы примет вид, представленный на рисунке 5.2, б.

Рисунок 5.2 Статические характеристики САУ

Из выражений (5.7 и 5.8) можно определить величину статического отклонения y, приходящуюся на единицу воздействияf:

, (5.10)

Эта величина является мерой статической точности системы и называется статизмом.

В качестве примера рассмотрим статический режим уже знакомой нам системы автоматического регулирования напряжения генератора (рисунок 1.4). Пользуясь математическим описанием элементов САР (2.35, 2.43) и считая, что регулятор напряжения реализует пропорциональный закон управления (1.11), а так же учитывая (1.41.20), получим структурную схему, представленную на рисунке 5.3.

Рисунок 5.3 Структурная схема статической системы автоматического регулирования напряжения генератора

Передаточная функция этой системы по возмущению в виде изменения тока нагрузки I_нимеет вид:

, (5.11)

где .

Отсюда статизм системы регулирования напряжения генератора:

, (5.12)

Если предположить, что регулирование отсутствует, т.е. контур разомкнут, то получим естественную зависимость напряжения от нагрузки:

, (5.13)

которая определяется значением K_н=R_я. ПустьK_н=R_я=0,2. В этом случае при изменении тока нагрузки на100%(обычно за100%принимают номинальное значение) напряжение генератора изменится на20%.

Если коэффициент передачи разомкнутой системы K_p=100, то при замыкании системы статизм составит

, (5.14)

Очевидно, что замыкание системы привело к уменьшению статизма системы.

Таким образом, применение автоматического регулирования и отрицательной обратной связи привело к повышению статической точности поддержания напряжения в (1+K_p)раз. Увеличения статической точности можно добиться, увеличиваяK_y. Однако, добиться таким образом полного устранения статизма системы невозможно, т.к.K_yимеет конечные значения и ограничено многими факторами.

Статические режимы работы САУ

При математическом описании САУ различают статический и динамический режимы работы. Статическим (установившимся) режимом называется режим работы САУ, при котором ее характеристики не изменяются во времени.

Анализ САУ в статическом режиме заключается в определении статических характеристик и статической точности САУ.

Если на вход САУ подаются управляющее воздействие х и возмущающее воздействие z, то в общем виде уравнение статического режима работы САУ будет выглядеть следующим образом:

где у — управляемая величина.

Соответствующие этому уравнению графики называются статическими характеристиками.

Когда возмущающее воздействие принимается равным 0, то статическая характеристика САУ по управляющему воздействию описывается уравнением у= f(x), и наоборот, когда принимается равным 0 управляющее воздействие, то статическая характеристика САУ по возмущающему воздействию описывается уравнением У = f(z).

На рисунке 2.1 приведены статические характеристики различных функциональных элементов САУ.

На рисунке 2.1, а приведена статическая характеристика рычага. Уравнение статики для него имеет вид у = К х. Пример статической характеристики пьезоэлектрического преобразователя давления в напряжение приведен на рисунке 2.1, б, рис. 2.1, в —

статическая характеристика индуктивного датчика, рис. 2.1, г — статическая характеристика сельсина.

Когда на САУ одновременно с управляющим действует возмущающее воздействие, то статическая характеристика задается семейством линий у= f(x) при различных значениях z, или

у = f (z). при различных х. Такой вариант статической характеристики представлен на рисунке 2.1, б, где на показания датчика давления оказывает влияние температура окружающей среды.

Рис. 2.1. Примеры статических характеристик функциональных элементов САУ

САУ, в которых статические характеристики всех функциональных элементов линейны, называются линейными.

В реальных САУ часть составляющих элементов, как правило, имеют нелинейные статические характеристики. Если статическая характеристика хотя бы одного элемента САУ нелинейна, САУ называется нелинейной.

Для таких систем зависимость выходного сигнала от входного может иметь сложную форму и не всегда может быть выражена какой-либо математической зависимостью. В таком случае она задается таблично или графически.

Например, статическая характеристика индуктивного датчика перемещения (рис. 2.1, в) или сельсинного преобразователя угла поворота в соответствующее напряжение (рис. 2.1, г) существенно нелинейны.

В таких случаях либо производят линеаризацию статических характеристик, либо ограничивают диапазон работы элемента САУ линейной частью характеристики. Например, из-за того, что характеристика преобразования сельсина имеет синусоидальную форму, диапазон измеряемых углов поворота ограничивают ±10′, так как в этих пределах функция синуса близка к прямой линии.

Статический режим работы системы

Любая автоматическая система состоит из отдельных связанных между собой элементов. С точки зрения функциональных задач, выполняемых элементами в системе, их можно разделить на воспринимающие, задающие, сравнивающие, корректирующие и т.д. Структурная схема системы представлена на рис. 5.10, а.

Воспринимающие элементы (датчики) Д измеряют физические параметры объекта и преобразуют их в электрический сигнал.

Задающие элементы (задатчики) 3 служат для задания требуемого значения регулируемого параметра. Сравнивающие элементы СЭ сопоставляют заданное значение управляемой величины с действительным значением параметра ОР (объекта регулирования). Полученный на выходе сравнивающего устройства сигнал рассогласования передается через усилитель У на исполнительный механизм ИМ, который, в свою очередь, управляет регулирующим органом РО. Этот орган управляет состоянием объекта. Исполнительный механизм и регулирующий орган изменяют количество энергии (вещества), подводимой к объекту или отводимой от него.

Корректирующие элементы К служат для улучшения качества процесса управления. Эти элементы могут устанавливаться как после усилителя, так и после датчика.

Кроме этой подробной структурной схемы системы в автоматике применяется упрощенная схема, которая состоит из функциональных блоков. Наиболее крупным блоком является регулятор Р, который включает в себя сравнивающее устройство, усилитель и корректирующие элементы. Можно объединить исполнительный механизм с регулирующим органом и возложить на него функции управления объектом. Новая структурная схема приведена на рис. 5.10, б.

Рис. 5.10. Структурные схемы и статические характеристики:

а — детальная структурная схема системы автоматического регулирования; б — четырехэлементная структурная схема; в — двухэлементная структурная схема; г — последовательное включение двух элементов; д — структурная схема включения трех элементов; е — результирующая статическая характеристика для двух последовательно включенных элементов; ж — система координат со статическими характеристиками

Все элементы автоматики независимо от их назначения обладают определенной совокупностью характеристик и параметров, которые определяют их эксплуатационные и технологические особенности. Основной характеристикой является статическая характеристика элемента, которая представляет собой зависимость выходной величины Y от входной X в установившемся режиме, т.е. Y-f(X). Если исключить из рассмотрения все нелинейности, присущие этим характеристикам, то можно описать элементы автоматики линейными характеристиками.

Основным параметром этих характеристик является коэффициент передачи К. В большинстве случаев статический коэффициент передачи именуется коэффициентом усиления — в усилителях, коэффициентом редукции — в редукторах, коэффициентом трансформации — в трансформаторах.

Для элементов с нелинейной характеристикой используют дифференциальный коэффициент передачи ?_диф = АХ_вых/АХ_вх.

Относительный коэффициент передачи К_оу равен отношению относительного изменения выходной величины элемента к относительному изменению входной величины:

Этот коэффициент является безразмерной величиной и удобен при сравнении элементов, различных по конструкции и принципу действия.

Особенностью автоматических замкнутых систем, в которых используется принцип управления по отклонению, является наличие ОС. Обратная связь бывает положительной и отрицательной, жесткой и гибкой, главной и дополнительной. При положительной обратной связи совпадают знаки воздействия ОС и задающего воздействия. В противном случае обратную связь называют отрицательной. Если на передаваемое воздействие влияет только значение регулируемого параметра, т.е. она не зависит от времени, то такую связь считают жесткой. Жесткая ОС действует как в установившемся, так и в переходном режимах. Гибкая ОС действует только в переходном режиме и характеризуется первой или второй производной от изменения управляемой величины по времени. У гибкой ОС сигнал на выходе существует тогда, когда управляемая величина изменяется во времени.

Главная ОС соединяет выход системы управления с ее входом, т.е. связывает управляемую величину с задающим устройством. Остальные ОС считают дополнительными (местными). Такие связи передают сигнал воздействия с выхода какого-либо элемента системы на вход любого предыдущего элемента. Их используют для улучшения свойств и характеристик отдельных элементов.

Далее при исследовании автоматической системы с ОС упростим ее структурную схему до вида, представленного на рис. 5.10, в. Будем считать, что объект имеет коэффициент передачи *об, а коэффициент передачи ОС — М. В этом случае можно написать два уравнения: для объекта Y = *об*об, а Для ОС *ос = MY. Если ОС положительная, то существует связь Х& = Х+ Xqq. Для отрицательной связи имеем = X- Х_ос.

Проведем преобразования, в результате получим

Отсюда

Обозначив через *ос коэффициент усиления системы с обратной связью, получим

Из выражения (5.2) следует, что введение положительной ОС увеличивает коэффициент усиления системы цепи с ОС.

При отрицательной ОС на входе системы образуется разностный сигнал. В этом случае получим выражение

Из выражения (5.3) можно сделать вывод, что введение отрицательной ОС уменьшает коэффициент усиления системы цепи ОС.

Однако на практике приходится считаться с непостоянством коэффициента передачи системы без ОС, поэтому рассмотрим влияние изменений К на величину коэффициента усиления при наличии ОС *ос- Для этой цепи определим относительную чувствительность 5_Ч коэффициента *ос к изменению коэффициента К, считая коэффициент ОС величиной постоянной:

Эта величина показывает, во сколько раз относительная статическая ошибка коэффициента передачи с ОС отличается от относительной статической ошибки коэффициента передачи без ОС. Дифференцируя выражение (5.2) и подставляя результат в выражение (5.4), получим для положительной ОС:

Аналогично, дифференцируя выражение (5.3) и подставляя его в выражение (5.4), получим для случая отрицательной ОС:

Сравнивая выражения (5.5) с (5.2) и (5.6) с (5.3), находим

Из рассмотренного процесса следует важный вывод: введение ОС изменяет относительную статическую ошибку системы во столько же раз, во сколько раз изменяется коэффициент передачи. В связи с этим введение положительной ОС увеличивает коэффициент передачи, но увеличивает и статическую ошибку системы. Отрицательная ОС уменьшает статическую ошибку системы, но уменьшает и коэффициент передачи.

Пусть, например, коэффициент передачи без ОС К= 6 и статическая ошибка его вследствие колебания напряжения питания, температуры и прочего АК/К =5%. Введем ОС с коэффициентом М — 0,15. Коэффициент передачи с ОС

Относительная статическая ошибка составит

Учитывая, что введение положительной ОС увеличивает коэффициент передачи и статическую ошибку в 10 раз, получим Kqc = 60 и А К ос/Kqq = 50 %. Введение отрицательной ОС уменьшает коэффициент передачи и статическую ошибку в 1,9 раза, поэтому Кос = 3,16 и AKqc/Kqc = 2,6%.

Необходимо отметить, что при положительной ОС возникает опасность неустойчивости работы системы, она переходит в релейный режим работы.

Таким образом, анализируя коэффициент передачи системы с ОС, все элементы связи заменили одним эквивалентным элементом. При этом новый элемент должен обладать определенной статической характеристикой. Возникает естественный вопрос: какой вид имеет эта характеристика? Чтобы ответить на него, рассмотрим процесс формирования статической характеристики двух последовательно включенных элементов. Эта статическая характеристика определяется двумя способами: аналитическим и графическим. Пусть первый элемент Э| имеет статическую характеристику, которая описывается уравнением Г, = К_хХ_х, для второго элемента Э₂ имеем К₂ = -К₂Х₂ + В. Схема включения элементов показана на рис. 5.10, г, а статические характеристики двух элементов приведены на рис. 5.10, д.

Согласно рис. 5.10, д значения переменной К, равняются значениям переменной Х₂ (К, = У₂). Следовательно, если уравнение, описывающее статическую характеристику первого элемента, подставить в уравнение, определяющее статическую характеристику второго элемента, то получим общее уравнение для двух элементов

где В — максимальное значение выходного параметра.

Графически это представляется в следующем виде (рис. 5.10, е): строится система координат К, — Х_х. Вдоль оси Y, проводится ось Х₂ и перпендикулярно этой оси — ось Y₂. Оси Х_х и У₂ располагаются на одной прямой. Повернем ось Х_х на 90° вниз, и она займет положение оси Х. Оси Х и Y_x (Х₂) лежат на одной прямой.

Разделим ось Х_х на равные отрезки, которые отмечены цифрами 1, 2, 3 и т.д. Ось Х будет иметь аналогичную шкалу. Из точек 1, 2, 3. // проведем вертикальные линии, пересекающие функцию в точках А|, /. С|, . . Из этих точек проведем горизонтальные прямые, пересекающие вторую функцию в точках А_ъ В₂, С₂, . . Из них построим вертикальные прямые, проходящие в системе координат Y₂ OX. Из точек Г, 2′, 3′, . проведем горизонтальные линии, пересекающие вертикальные линии. Точки пересечения имеют маркировку А₃, В₃, С₃. В результате образуются замкнутые контуры: 1 — А_х — А₂—Л₃— Г— 1; 2 — В_х — В₂— /?₃—2′ — 2 и т.д. Соединим точки A_h B_h С₃. Эта линия будет статической характеристикой двух последовательно включенных элементов. Аналогичным образом можно построить общую статическую характеристику для трех элементов (см. рис. 5.10, д). Этот процесс позволяет определить общую статическую характеристику для трех основных элементов системы автоматического регулирования: датчика, регулятора и исполнительного механизма с регулирующим органом (рис. 5.10, ж). При практической реализации этого метода определения общей статической характеристики необходимо обращать внимание на равенство масштабов совмещенных осей.

Таким образом, систему автоматического регулирования можно представить в виде двух элементов (звеньев): объекта регулирования и регулятора. Эти два звена включены встречно-параллельно. Каждое звено имеет свою статическую характеристику. Эти характеристики должны взаимодействовать друг с другом таким образом, чтобы получилась рабочая точка системы. Оптимальное взаимодействие характеристик возможно только при их пересечении,

Рис. 5.11. Статические характеристики объекта и регулятора:

а — взаимно-перпендикулярное положение статических характеристик объекта и цепи обратной связи; б — взаимодействие статических характеристик объекта (О) и обратной связи (Р); в — аппроксимация нелинейных статических характеристик; г — характеристики объекта и регулятора, рабочая точка и динамический диапазон как показано на рис. 5.11, а. Если прямая 2является характеристикой объекта, то прямая 1 — характеристикой регулятора. Положим, объект имеет линейную передаточную характеристику с коэффициентом К> тогда

где В — максимальное значение выходного параметра Y.

Передаточная функция регулятора также линейна и описывается уравнением

В этой формуле существует линейная связь между входными и выходными величинами.

Рассмотрим другой случай, когда объект описывается уравнением

а характеристика регулятора — выражением

Подставим это выражение в предыдущее и получим

В этом выражении также существует линейная зависимость между входной и выходной величинами.

Полученные выражения дают основание утверждать, что для анализа системы неважно, какие характеристики имеют объект и регулятор. Главное то, что эти характеристики должны пересекаться в одной точке, которая является рабочей. Задатчик (см. рис. 5.11, а), подключенный к регулятору, управляет положением рабочей точки, перемещая ее по статической характеристике объекта. Это перемещение возможно только за счет изменения угла наклона статической характеристики регулятора.

При пересечении характеристик образуется угол, близкий к прямому. Это идеальный случай. Система имеет максимальную статическую стабильность. Если угол находится в диапазоне

90. 60°, то стабильность хорошая, в диапазоне 60. 30° — удовлетворительная. При плохой стабильности угол находится в диапазоне 30. 0°.

Ранее были приведены статические характеристики, имеющие разные углы наклона к осям координат. Такое положение характеристики не является обязательным условием стабильности рабочей точки. Можно получить удовлетворительные результаты, когда характеристики имеют одинаковые углы наклона (рис. 5.11, б). Эти характеристики также пересекаются. Если характеристика объекта описывается выражением

а характеристика регулятора — выражением

то их пересечение даст уравнение вида

В этом случае нормальная работа системы зависит от произведения К_]К_2у которое должно быть меньше единицы КК₂ 1. В идеальном случае D- 1. Поскольку можно принять, что ДУре, = АТ, (ДЛ’об) 1 / 2 , а ДУрсг = К₂&Х1>_Г, крутизна каждой из этих характеристик определяется коэффициентами К и К₂. В результате получим

Меняя в этом выражении отношение коэффициентов К_у/К_ъ можно регулировать величину D и тем самым получить значение D= 1. Если при расчетах динамического диапазона получается значение Д не равное единице, то целесообразно в цепь между датчиком и регулятором поставить усилительное звено с коэффициентом К_ус, что приведет к выравниванию значения коэффициента D:

Коэффициент Кус может принимать значения К_ус 1.

Статическое и астатическое регулирование

По тому есть ли ошибка системы автоматического управления в установившемся режиме или нет, САР можно поделить на две категории: статические и астатические. Давайте подробней рассмотрим каждую из них.

Статическая система автоматического управления (регулирования)

Схема такого устройства показана ниже:

Рассмотрим подробно работу автоматического регулятора стабилизации уровня воды h в бассейне. Данная система состоит из поплавка, который непосредственно влияет на задвижку, и такой принцип регулирования носит название прямого управления. Здесь поплавок жестко связан с задвижкой, которая контролирует подачу воды в бассейн. Принцип работы этой системы довольно прост – чем быстрее убывает вода из бассейна, тем ниже поплавок, что соответствует более сильному открытию задвижки и более быстрому наполнению бассейна. Стоит отметить некоторые характерные особенности статических систем:

• Статическая САР может достигать равновесия при различных значения регулируемой величины;
• Соответствующему положению регулирующего органа соответствует значение регулируемой величины;
• Контур регулирования состоит из звеньев, которые должны реализовывать зависимость x_вых = f(x_вх);

Астатическая система автоматического управления

Если добавить в эту же систему электродвигатель, который будет приводить в движение задвижку, регулирующую поток воды, такая система превратится в астатическую. Схема показана внизу:

Если воды в бассейне становится больше определенного уровня, поплавок поднимается и замыкает контакт, после чего в работу вступает электрический двигатель, который вращает заслонку в нужном направлении (в данном случае закрывает). Когда же вода вытекает, поплавок опускается, контакт размыкается и двигатель начинает вращаться в другую сторону, открывая задвижку. Главным отличием астатической системы от статической в том, что при окончании переходного процесса, в не зависимости от изменений внешнего воздействия, ошибка системы равна нулю. Это значит что при заданном объеме воды в бассейне, например 200 л, после окончания набора воды там будет 200 л, а не 190 л. Поплавок с заслонкой связывают так, чтобы при фиксированном положении поплавка заслонка могла находится в любом положении.

Можно выделить такие характерные особенности астатических систем:

• При значении регулируемой величины равной заданной система достигает равновесия;
• При одном и том же значении регулируемой величины регулирующий орган должен иметь возможность занимать любое положение;

В реальных астатических системах при выполнении первого условия сталкиваются с определенной погрешностью. Это связано с тем, что датчик обратной связи (чувствительный элемент) не идеален и имеет свою погрешность при измерении. Также в контур регулирования нужно вводить астатическое звено, в приведенном примере таким звеном является электродвигатель. Астатическое звено находится в равновесии если на него не воздействуют внешние силы и выходят с этого состояние только при наличии какого – либо воздействия. Применительно к двигателю – это наличие – отсутствие питающего напряжения. Когда

воды в бассейне достаточно, напряжение с якоря снято, двигатель не вращается (звено находится в состоянии покоя), как только уровень воды уменьшится, поплавок переместится, к якорю электродвигателя приложится напряжение нужной полярности и он начнет влиять на положение задвижки (астатическое звено будет выведено из состояния равновесия).

Различие статических и астатических САР по отношению к задающим и возмущающим воздействиям

А различия есть. В статических САР, при различных значениях возмущающих величин, будет различное значение регулируемых величин. В астатических САР значение такой ошибки всегда будет постоянной и абсолютно не зависящей от значения возмущающего сигнала.

По отношению к управляющему же воздействию в статических системах присутствует постоянная ошибка, величина которой будет зависеть от величины управляющего сигнала. В астатических САР по окончанию переходного процесса ошибка будет равна нулю.

Ниже показаны переходные процессы в статических и астатических САР по отношению к управляющему g(t) воздействию:

ε(t) – ошибка регулирования, х(t) – выходная величина системы : 1- САР статическая; 2 –САР астатическая.