Что называется нелинейным элементом электрической цепи

1.5. Нелинейные электрические цепи

Нелинейная электрическая цепь это электрическая цепь, содержащая один или несколько нелинейных элементов [ 1 ] .

Нелинейный элемент это элемент электрической цепи, параметры которого зависят от определяющих их величин (сопротивление резистивного элемента от тока и напряжения, ёмкость емкостного элемента от заряда и напряжения, индуктивность индуктивного элемента от магнитного потока и электрического тока).

Таким образом, вольт–амперная u ( i ) характеристика резистивного элемента, вебер–амперная ψ( i ) характеристика индуктивного элемента и кулон–вольтная q ( u ) характеристика емкостного элемента имеют вид не прямой линии (как в случае линейного элемента), а некой кривой, обычно определяемой экспериментально и не имеющей точного аналитического представления.

Нелинейная электрическая цепь обладает рядом существенных отличий от линейной и в ней могут возникать специфические явления

1.5. Нелинейные электрические цепи

Рис. 1.28. УГО нелинейных резистивного, индуктивного и емкостного элементов

(например гистерезис), поэтому этого методы расчёта линейных цепей к нелинейным цепям неприменимы. Особо следует отметить неприменимость к нелинейным цепям метода наложения (суперпозиции).

Важно понимать, что характеристики реальных элементов никогда не бывают линейными, однако в большинстве инженерных расчётов они, с допустимой точностью, могут считаться линейными.

Все полупроводниковые элементы (диоды, транзисторы, тиристоры и т. д.) являются нелинейными элементами.

Условные графические обозначения нелинейных резистивного, индуктивного и емкостного элементов приведены на рис. 1.28 . На выносной площадке мажет указываться параметр, вызывающий нелинейность (например температура для терморезистора)

1.5.2. Параметры нелинейных элементов

Нелинейные элементы характеризуются статическими ( R ст , L ст , и C ст ) и дифференциальными ( R д , L д , и C д ) параметрами.

Статические параметры нелинейного элемента определяются как отношение ординаты выбранной точки характеристики к её абсциссе (рис. 1.29 ).

Статические параметры пропорциональны тангенсу угла наклона прямой, проведённой через начало координат и точку, для которой производится расчёт. Для примера на рис. 1.29 получим:

F ст = y A = m y tg α, x A m x

где α–– угол наклона прямой, проведённой через начало координат и рабочую точку A ;

m y и m x –– масштабы по осям ординат и абсцисс соответственно.

1. Основные положения

Рис. 1.29. К определению статических и дифференциальных параметров

F ст = y A , F диф = dy x A dx

Отсюда статические параметры резистивного, индуктивного и емкостного элементов будут иметь следующий вид:

Дифференциальные параметры нелинейного элемента определяются как отношение малого приращения ординаты выбранной точки характеристики к малому приращению её абсциссы (рис. 1.29 ).

Дифференциальные параметры пропорциональны тангенсу угла наклона касательной в рабочей точке характеристики и осью абсцисс. Для примера на рис. 1.29 получим:

F диф = dy = m y tg β, dx m x

где β –– угол наклона касательной в рабочей точке B характеристики и осью абсцисс;

m y и m x –– масштабы по осям ординат и абсцисс соответственно. Отсюда дифференциальные параметры резистивного, индуктив-

ного и емкостного элементов будут иметь следующий вид:

1.5. Нелинейные электрические цепи

1.5.3. Методы расчёта нелинейных цепей

Нелинейность параметров элементов усложняет расчёт цепи, поэтому в качестве рабочего участка стараются выбрать либо линейный, либо близкий к нему участок характеристики и рассматривают, с допустимой точностью, элемент как линейный. Если же это невозможно или нелинейность характеристики является причиной выбора элемента (особенно это характерно для полупроводниковых элементов), то применяют специальные методы расчёта –– графический , аппроксимации

( аналитической и кусочно–линейной ) и ряд других. Рассмотрим эти методы более подробно.

Идея метода состоит в построении характеристик элементов цепи (вольт–амперной u ( i ), вебер–амперной ψ( i ) или кулон–вольтной q ( u )), а затем, путём их графических преобразований (напр. сложения), получения соответствующей характеристики для всей цепи или её участка.

Графический метод расчёта является наиболее простым и наглядным в применении, обеспечивая в основной массе расчётов необходимую точность, однако он применим для небольшого количества нелинейных элементов в цепи и требует аккуратности при проведении графических построений.

Пример расчёта нелинейной цепи графическим методом для последовательного соединения линейного и нелинейного резистивных элементов приведён на рис. 1.30 , а , для параллельного –– на рис. 1.30 , б .

При расчёте последовательной цепи в одних осях строятся характеристики всех рассчитываемых элементов (для рассматриваемого примера это u нэ ( i ) для нелинейного резистора R нэ и u лэ ( i ) для линейного R лэ ). Характер изменения общего напряжения в цепи u ( i ) определяется путём сложения характеристик нелинейного u нэ ( i ) и линейного u лэ ( i ) элементов u ( i ) = u нэ ( i ) + u лэ ( i ). Сложение производится при одинаковых значении тока (для i = i 0 : u 0 = u нэ 0 + u лэ 0 , см. рис. 1.30 , а .).

Расчёт параллельной цепи производится аналогично, только характеристика всей цепи строится путём сложения токов, при постоянном напряжении (для u = u 0 : i 0 = i нэ 0 + i лэ 0 , см. рис. 1.30 , б .).

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Элементы электрической цепи, параметры которых зависят от тока, протекающего через них, или напряжения на их зажимах, называются нелинейными, а цепи, в состав которых входит хотя бы один нелинейный элемент, называются нелинейными цепями. Практически все реальные элементы электрических цепей в той или иной степени обладают нелинейными свойствами, однако в технике наиболее широкое применение нашли элементы, выполненные на основе полупроводниковых материалов. Диоды, транзисторы, вари- сторы, тиристоры и т.д. — все эти элементы обладают ярко выраженными нелинейными свойствами. Например, характеристика варистора описывается уравнением / = ки а , где к и а — коэффициенты, зависящий от конструкции и материала элемента, т.е. вари- стор, как и все перечисленные выше полупроводниковые элементы, является нелинейным резистором.

Процессы в нелинейных цепях описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, причем к расчету нелинейных цепей неприменим принцип суперпозиции.

Классификация нелинейных элементов

К сожалению, в подавляющем числе случаев физические процессы, определяющие характеристики нелинейных элементов (НЭ), настолько сложны, что не удается установить для них аналитические выражения. Поэтому при описании свойств НЭ прибегают к графическому или табличному представлению нелинейных зависимостей, полученных экспериментальным путем. Однако графический, и тем более табличный способ описания нелинейных свойств элементов обладают существенными недостатками — они имеют ограниченные точность и диапазон представленных характеристик.

Основными нелинейными элементами в электротехнике являются нелинейный резистор, нелинейная катушка и нелинейный конденсатор (рис. 18.1).

Параметры нелинейного резистора задаются вольт-амперной характеристикой (ВАХ) U = /(/), нелинейной индуктивности — вебер-

Рис. 18.1. Основные нелинейные элементы: а — нелинейный резистор; б — нелинейная катушка индуктивности; в — нелинейный конденсатор

амперной характеристикой |/=/(/), где |/ — потокосцепление, параметры нелинейного конденсатора задаются кулон-вольтной характеристикой q — f (U), где q — заряд конденсатора.

Нелинейные элементы можно разделить на следующие группы:

• • инерционные и безынерционные. Инерционными называются элементы, характеристики которых зависят от скорости изменения входного воздействия;
• • симметричные и несимметричные. Симметричными называются элементы, характеристики которых не зависят от направления определяющих их величин. Такие элементы называют еще обратимыми или взаимными;
• • элементы с однозначной или неоднозначной характеристиками. Однозначной называется характеристика, у которой каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции и наоборот. В случае неоднозначной характеристики одному значению аргумента может соответствовать два или более значения функции или наоборот;
• • двухполюсные и многополюсные. К последним относятся, например, биполярные или полевые транзисторы. Характерной особенностью многополюсных элементов является то, что в общем случае их свойства определяются целым семейством характеристик. Примеры вольт-амперных характеристик нелинейных резисторов

изображены на рис. 18.2.

На рисунке ВАХ нелинейных элементов представлены как I = f(U), ане?/ = /(/), т.е. как ампер-вольтные характеристики. Так принято отображать параметры элементов в электронике. В дальнейшем будем использовать и вольт-амперные, и ампер-вольтные характеристики.

Симметричную ВАХ имеют, например, варисторы (рис. 18.2, а), несимметричная ВАХ характерна для выпрямительных диодов (рис. 18.2, б), неодназначная — для туннельных диодов (рис. 18.2, в).

Примером нелинейной катушки индуктивности может служить катушка, намотанная на сердечник, выполненный из электротехни-

Рис. 18.2. Вольт-амперные характеристики нелинейных резисторов: а — симметричная; б — несимметричная; в — неоднозначная

ческой стали или феррита. Магнитные свойства этих сердечников имеют существенно нелинейный характер. Сердечники в катушках применяются для увеличения магнитного поля, создаваемого катушкой (т.е. увеличения L), а катушки, намотанные на ферритовые сердечники, называют дросселями.

Нелинейные резисторы и конденсаторы изготавливают, как правило, из полупроводниковых материалов, таких, например, как кремний, германий и их соединения. Примером нелинейного конденсатора может служить варикап, т.е. диод, в котором используется свойство р-п-перехода создавать заряд на границе изолирующего (обедненного) слоя полупроводника.

Нелинейные электрические цепи

Законы Кирхгофа в первой форме записи (

Приведение нелинейных цепей к линейным

Такое приведение можно сделать, если нелинейные элементы цепи работают в узком диапазоне напряжений и токов, где соответствующие участки вольтамперных характеристик близки к прямым.

Пусть это, например, имеет место для участков ab и cd характеристик 1 и 2 (рис. 4.1) нелинейных резисторов R₁ и R₂ цепи рис. 4.2, а. Так как продолжения этих прямых составляют с осью токов углы и пересекают ось напряжений в точках , уравнения прямых получают следующий вид:

где R₁₁ и R₁₂ — дифференциальные сопротивления этих резисторов, имеющие постоянные значения на участках ab и cd; k — масштабный коэффициент.
Следовательно, каждый такой нелинейный элемент может быть представлен в виде эквивалентной схемы, состоящей из последовательного соединения — резисторов R₁₁ или R₁₂ и источника напряжения U₀₁ или — U₀₂ включенного навстречу внешнему напряжению, так как последнее должно преодолеть напряжение этого источника.

В результате нелинейная цепь рис. 4.2, а заменяется линейной цепью рис. 4.2, б. Так как при принятом положительном направлении напряжение U₀₂ второго источника отрицательно, его направление совпадает с напряжением U всей цепи. Полученная цепь рис. 4.2, б рассчитывается обычными методами. Решение будет правильным только в том случае, если токи I₁ и I₂ не выйдут за пределы участков ab и cd (см. рис. 4.1).

Графические методы расчета нелинейных цепей

Вольтамперная характеристика одиночного нелинейного резистора (см. рис. 1.9—1.11) сразу позволяет определить ток по заданному напряжению или напряжение по заданному току. При последовательном соединении любого числа нелинейных и линейных резисторов вольтамперная характеристика всей цепи строится путем суммирования ординат характеристик отдельных резисторов в соответствии с зависимостью

На рис. 4.3 показано такое построение для двух последовательно соединенных резисторов. По характеристике всей цепи для заданного значения напряжения U’ определяется соответствующий ему ток I’, а по Рис. 4.3 нему — напряжения участков цепи.

Если нужно определить ток и напряжения на участках цепи из двух приемников только при одном значении напряжения U всей цепи, нет надобности строить вольтамперную характеристику всей цепи, следует лишь отложить горизонталь для заданного значения U, а oт нее вниз — характеристику U₂ (I) (рис. 4.4, а). Её пересечение с характеристикой U₁(I) даст рабочую точку и определит тем самым ток I’ цепи и напряжения U’₁ и U’₂ на участках.

Рис. 4.4, а иллюстрирует также графическое решение задачи определения тока и напряжения цепи при питании нелинейного резистора с вольтамперной характеристикой U_l (I) от источника напряжения с нелинейной внешней характеристикой U₂ (I).

При параллельном соединении нескольких линейных и нелинейных резисторов вольтамперная характеристика всей цепи строится путем суммирования абсцисс характеристик, т. е. токов отдельных резисторов:

На рис. 4.5 показано такое построение для двух параллельно соединенных резисторов. По характеристике для всей цепи для любого заданного тока I определяется напряжение U’, а по нему — токи I₁‘ и I₂‘ участков цепи.

Для определения токов ветвей только при одном значении тока I всей цепи можно применить упрощенное построение, аналогичное рис. 4.4, а и показанное на рис. 4.4, б для резисторов с теми же вольтамперными характеристиками. Характеристика U (I₂) строится влево от вертикали для заданного значения I. Ее пересечение с характеристикой U (I₁) определяет напряжение U’ цепи и токи I₁‘ и I₂‘ на ее участках.

При смешанном соединении, например при расчете цепи рис. 4.6, а, также строится вольтамперная характеристика всей цепи по характеристикам отдельных резисторов (рис. 4.6, б). С помощью суммирования абсцисс, т. е. токов I2 и I₃, строится характеристика параллельного разветвления U₂₃ (I₁), затем, суммируя ординаты этой характеристики и характеристики U_l (I₁), т. е. напряжения U₂₃ и U₁ строят характеристику U(I₁) всей цепи. По этой характеристике для заданного напряжения U’ определяется ток I’₁ цепи,
после чего по характеристикам U_l (I₁) и U₂₃ (I₁), находят напряжения участков, а для напряжения U’₂₃ по характеристикам U₂ (I₂) и U₃(I₃) — токи

Совершенно аналогичны построения, если цепь со смешанным соединением, помимо линейных и нелинейных резисторов, содержит источники электрической энергии, например источники напряжения, вольтамперные характеристики которых без учета внутренних сопротивлений представляют собой прямые, параллельные оси абсцисс.

Их ординаты и следует алгебраически просуммировать с ординатами
вольтамперных характеристик участков (в том числе внутренних сопротивлений), соединенных последовательно с этими источниками, чтобы получить полные характеристики ветвей. При этом необходимо соблюдать правило знаков. Так как напряжение всей ветви должно преодолевать э. д. с. включенного в ветвь источника, то при э. д. с., направленной навстречу току (рис. 4.7, а), нужно при суммировании брать ее с положительным знаком (рис. 4.7, б), и наоборот.

После построения аналогичных характеристик для всех ветвей подобно предыдущему постепенно строится характеристика всей цепи и по заданному ее напряжению обратным построением определяются напряжения и токи всех ветвей цепи. Аналогичным образом решаются задачи при заданных источниках тока.

Если любая сложная цепь содержит одну нелинейную ветвь, для расчета может быть применен метод эквивалентного источника энергии: вся цепь, кроме нелинейной ветви, заменяется эквивалентным источником напряжения или тока, после чего задача сводится к только что рассмотренной задаче последовательного или параллельного соединения двух элементов — нелинейной ветви и внутреннего сопротивления (проводимости) эквивалентного источника. Это позволит определить ток или напряжение нелинейной ветви, после чего может быть рассчитана линейная часть цепи.

Метод последовательных приближений

Этот метод, называемый также итерационным, является приближенным аналитическим способом решения нелинейных алгебраических уравнений.
В качестве примера рассматривается расчет простой цепи рис. 4.8, состоящей из резистора с нелинейным сопротивлением R(I) с заданной вольтамперной характеристикой, питаемого от источника напряжения с заданной постоянной э. д. с. и нелинейной внешней характеристикой, из которой может быть получена вольтамперная характеристика его внутреннего сопротивления R_B. Вольтамперные характеристики могут быть заданы не графически, а аналитически.

Расчет этой цепи может быть произведен по уравнению

где n — порядковый номер приближения.

Задавшись произвольно нулевым приближением тока I₀, по вольтамперным характеристикам находят соответствующие ему напряжения: U₀ на внешнем сопротивлении R₀ и U_0B на внутреннем сопротивлении R_0B. Затем определяют эти сопротивления и суммарное сопротивление цепи:

а из исходного уравнения — первое приближение тока

Исходя из этого значения тока, весь ход расчета повторяется для определения второго приближения I₂ и так до тех пор, пока из-за сходимости итерационного процесса результат не начнет практически повторяться.

Как известно из математики, итерация в зависимости от вида характеристик может дать расходящийся процесс. Тогда сходимость можно получить на основе исходного уравнения для другой величины, например для напряжения на приемнике:

В случае сложной цепи, например моста с двумя нелинейными резисторами (рис. 4.9), исходные уравнения могут быть составлены по методу контурных токов. При этом контуры должны быть выбраны так, чтобы контурный ток нелинейных ветвей одновременно был их действительным током. В противном случае действительный ток нельзя находить путем алгебраического суммирования проходящих по нелинейной ветви двух контурных токов, так как принцип наложения для нелинейных сопротивлений неприменим.

Правильный выбор контурных токов показан на рис. 4.9. Здесь токи нелинейных участков цепи
Тогда система уравнений получает вид:

Если нелинейное сопротивление R₂(I₂) с увеличением тока убывает, a R₃(I₃) — возрастает, можно показать, что для обеспечения сходимости итерационного процесса из этой системы уравнений надо найти ток I₃ = I_A и напряжение U₂ = R₂I_B = R₂I₂ выразив их через все постоянные заданные величины и нелинейные сопротивления R₂ и R₃. Результаты расчетов целесообразно вносить в табл. 4.1,
из которой видны последовательность и способ получения отдельных величин.
Таблица 4.1

Закончив вычисления после практической сходимости итерационного процесса и определив тем самым напряжения и токи нелинейных
участков цепи, на основе законов Кирхгофа определяют напряжения
и токи всех линейных участков, например ток I₁ из уравнения

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

В автоматике, электронике и радиотехнике широко применяются элементы электрических цепей, имеющие нелинейную зависимость между током и напряжением U = f(I).

Электрическая цепь, в которую входят нелинейные элементы, называется нелинейной.

Нелинейную вольт-амперную характеристику имеют электровакуумные приборы (см. рис. 2.6), фотоэлементы (см. рис. 2.7), газоразрядные приборы (см. рис. 2.8—2.10), полупроводниковые приборы (см. рис. 2.15).

Большую группу нелинейных элементов представляют нелинейные сопротивления: терморезисторы, варисторы, бареттеры и др.

В данной главе рассмотрены принципы решения некоторых задач расчета электрических цепей с нелинейными элементами на основе их вольт-амперных характеристик.

Эквивалентные схемы простейших нелинейных цепей

Для нелинейных электрических цепей остаются справедливыми законы Ома и Кирхгофа. Однако рассмотренные ранее методы расчета для нелинейных цепей непосредственно применить нельзя.

Аналитический расчет нелинейной цепи можно выполнить при условии, что вольт-амперные характеристики нелинейных элементов выражаются относительно простыми уравнениями I = f(U). Например, для электронной лампы известна зависимость I = kU 3/2 . Кроме того, характеристики некоторых нелинейных элементов в определенном интервале изменения напряжения и тока прямолинейны или близки к прямой. В таких случаях можно составить для нелинейного элемента эквивалентную схему замещения с линейными элементами и ввести ее в аналитический расчет.

В других случаях схемы замещения остаются нелинейными, но с их помощью достигаются упрощения схем нелинейных цепей.

Статическое и динамическое сопротивления нелинейного элемента

У нелинейных элементов различают статическое и динамическое сопротивления (рис. 6.1, а).

Статическим сопротивлением в данной точке a вольт-амперной характеристики называют отношение напряжения к току, соответствующих этой точке:

где m_u и m — масштабы напряжения и тока; m_R = m_u /m_i — масштаб сопротивления.

Динамическое сопротивление в точке a определяется отношением бесконечно малых приращений напряжения dU и тока dI:

Динамическое сопротивление пропорционально тангенсу угла наклона касательной к вольт-амперной характеристике в точке a.

Рис. 6.1. Вольт-амперная характеристика и схема замещения нелинейного элемента

Приведение нелинейных цепей к линейным

Если продолжить линейный участок h-b-a характеристики до пересечения с осью напряжения, то он пересечет ее в точке f.

Отрезок в принятом масштабе напряжений выражает постоянное напряжение U₀. Нетрудно заметить, что в любой точке h прямолинейной части вольт-амперной характеристики напряжение складывается из постоянного напряжения U₀ и изменяющейся части, определяемой произведением тока и динамического сопротивления IR_дин, т. е. прямая выражается уравнением

На основании уравнения (6.3) нелинейный элемент можно представить схемой последовательного соединения э. д. с. Е₀ = U₀ и динамического сопротивления R_дин (рис. 6.1, б). При этом

Аналогичную схему замещения можно получить для нелинейного элемента с вольт-амперной характеристикой, обращенной выпуклостью к оси токов (рис. 6.2, а). Э. д. с. Е₀ в этом случае будет направлена по направлению тока. На примере данной характеристики покажем, что нелинейный элемент можно представить схемой параллельного соединения источника тока и динамической проводимости G_дин.

В линейной части характеристики ток можно представить в виде суммы

Этому равенству соответствует схема замещения рис. 6.2, б.

Рис. 6.2. Вольт-амперная характеристика и схема замещения нелинейного элемента

Рис. 6.3. Вольт-амперные характеристики и схемы замещения нелинейного двухполюсника

После замены нелинейных элементов эквивалентными схемами замещения с линейными элементами нелинейную цепь можно рассчитать одним из методов, применяемых для расчета линейных цепей.

Нелинейный активный двухполюсник

Нелинейный элемент, вольт-амперная характеристика которого не проходит через начало координат (рис. 6.3, а), можно представить схемой последовательного соединения постоянной э. д. с. и нелинейного сопротивления.

Если характеристику нелинейного элемента перенести так, чтобы она проходила через начало координат, то получится зависимость I(U) нелинейного сопротивления эквивалентной схемы, в которую кроме этого нелинейного сопротивления последовательно включен источник э. д. с. Е₀.
Эквивалентная схема рис. 6.3, б представляет собой активный нелинейный двухполюсник, для которого справедливо уравнение по второму закону Кирхгофа. В данном случае

Эту схему вводить в аналитический расчет нельзя, так как она остается нелинейной в отличие от схемы рис. 6.1, б или 6.2, б, но ее можно использовать для упрощения более сложной схемы, в которую она входит как часть.
В некоторых случаях полезно или необходимо обратное построение: по известной вольт-амперной характеристике нелинейного сопротивления и величине э. д. с. Е последовательно с ним включенного источника строят вольт-амперную характеристику активного нелинейного двухполюсника (рис. 6.3, в).

Графический расчет нелинейных электрических цепей

Многие нелинейные элементы, применяемые в практике, имеют вольт-амперные характеристики, у которых нет линейных участков, и уравнения для их аналитического выражения.

Расчет цепей, содержащих такие элементы, осуществляется графическими методами, которые применимы при любом виде вольт-амперных характеристик и дают результаты достаточной точности.
Исходные данные для расчета (вольт-амперные характеристики элементов цепи) задаются в виде графиков или таблиц.

Задачу определения тока одного элемента по напряжению этого элемента или обратную задачу решают просто: заданную величину отмечают на оси координат, находят соответствующую ей точку кривой, а затем на другой оси определяют искомую величину.
Рассмотрим, как решаются такие задачи, когда несколько элементов соединены между собой в нелинейной цепи.

Последовательное соединение двух нелинейных элементов

Для расчета такой цепи (рис. 6.4, а) заданные вольт-амперные характеристики элементов и I(U₁) и I(U₂) строят в общей системе координат (рис. 6.4, б).
Далее строят вольт-амперную характеристику I(U) всей цепи, выражающую зависимость тока в цепи от общего напряжения.
Ток I обоих участков цепи одинаков, а общее напряжение U = U₁ + U₂.

Для построения общей вольт-амперной характеристики достаточно сложить абсциссы исходных кривых I(U₁) и I(U₂).

Проведем прямую, параллельную оси абсцисс и соответствующую току I₁. Отрезки 1-2 и 1-3 в выбранном масштабе выражают напряжения U₁, U₂ на участках. Сложив эти отрезки, на той же прямой получим точку 4 общей вольт-амперной характеристики.

Для других значений тока аналогично найден еще ряд точек, через которые проведена общая вольт-амперная характеристика.

Построение вольт-амперных характеристик (рис. 6.4, б) является подготовительным этапом для решения различных задач, относящихся к подобным цепям. Требуется, например, определить ток в цепи и напряжения U₁ и U₂ на участках, если общее напряжение U известно.

На оси абсцисс находим точку 5, определяющую напряжение U (отрезок 0-5 в масштабе напряжений выражает напряжение в цепи). Через нее проводим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с общей вольт-амперной характеристикой I(U) в точке 4. Из точки 4 проводим линию, параллельную оси абсцисс. Отрезок 5-4 выражает ток в цепи, а отрезки 1-2 и 1-3 — напряжения на участках (соответственно U₁ и U₂).

Параллельное соединение двух нелинейных элементов

При параллельном соединении двух нелинейных элементов (рис. 6.5, а) к ним приложено одно и то же напряжение U, а ток в неразветвленной части цепи равен сумме токов в ветвях: I = I₁ + I₂.

Для построения общей вольт-амперной характеристики I(U) нужно для ряда значений U сложить ординаты вольт-амперных характеристик элементов, как показано на рис. 6.5, б. При напряжении U₁ (отрезок 0-1) сумма отрезков 1-2 (ток I₁) и 1-3 (ток I₂) равна отрезку 1-4 (ток I).

Предположим, что по заданному значению U = U₁ нужно определить токи в ветвях и общий ток I. На оси абсцисс откладываем отрезок 0-1, выражающий напряжение U₁, и через точку 1 проводим линию, параллельную оси ординат. Определяем точки 2, 3, 4 пересечения прямой с вольт-амперными характеристиками. Отрезки 1-2, 1-3, 1-4 в масштабе токов выражают токи в цепи I₁, I₂, I.

Аналогично решают задачи при параллельном соединении нелинейного элемента с линейным, а также при большем числе линейных и нелинейных элементов.

Смешанное соединение нелинейных элементов

При смешанном соединении нелинейных элементов графический расчет цепи производится методом «свертывания» схемы: в соответствии со схемой соединения элементов складываются их вольт-амперные характеристики.
Рассмотрим решение этой задачи применительно к схеме рис. 6.6, а.

Рис. 6.4. К расчету нелинейной электрической цепи при последовательном соединении элементов

Рис. 6.5. К расчету нелинейной электрической цепи при параллельном соединении элементов

Рис. 6.6. К расчету нелинейной электрической цепи при смешанном соединении элементов

По заданным характеристикам I₂(U₂), I₃(U₃) параллельно соединенных элементов строится вольт-амперная характеристика участка цепи между точками b, c.
Для примера на рис. 6.6, б при напряжении U₂ (отрезок 0-1) определены токи I₂ (отрезок 1-2) и I₃ (отрезок 1-3), а затем ток I₁ = I₂ + I₃ (отрезок 1-4).

Далее строим вольт-амперную характеристику I₁(U) всей цепи, учитывая, что участок цепи между точками b, c включен последовательно с нелинейным элементом на участке a-b. Для примера при токе I₁ (отрезок 0-7) определены напряжения U₁ (отрезок 7-5) и U₂ (отрезок 7-4), а также общее напряжение U = U₁ + U₂ (отрезок 7-6).

После построения вольт-амперных характеристик порядок решения задачи зависит от ее условия. Пусть задано напряжение в цепи. Требуется определить токи в схеме и напряжения на участках.

Отложив на оси абсцисс отрезок 0-11, выражающий напряжение U, проведем линию 11-6 параллельно оси ординат до пересечения с кривой I₁(U). Отрезком 11-6 определяется ток I₁ в неразветвленной части цепи. Прямая, параллельная оси абсцисс, проведенная через точку 6, пересекает кривые I₁(U₁) и I₂(U₂) в точках 5 и 4. Отрезками 7-4 и 7-5 определяются напряжения U₂ и U₁ на участках. Напряжение U₂ — общее для параллельно соединенных участков с токами I₂ и I₃. Для определения этих токов через точку 4 проводится прямая, параллельная оси ординат. Пересечение этой прямой с кривыми I₂(U₂) и I₃(U₂) в точках 2 и 3 дает отрезки 1-2 и 1-3, определяющие токи I₂ и I₃.

Рис. 6.7. К задаче 6.6

Задача 6.6.

Для поддержания постоянным тока нагрузки при колебаниях входного напряжения U последовательно с нагрузочным резистором R_н = 1 Ом (рис. 6.7, а) включен бареттер Б, вольт-амперная характеристика которого дана в табл. 6.2.

U, В	0	0,5	1	2	4	6	8	10	12	14
I, А	0	1	1,6	2	2,1	2,15	2,2	2,25	2,5	3,2

Построить график изменения тока в цепи при изменении входного напряжения
Решение. Определим ток в цепи и напряжение на участках графически. Для этого на одном чертеже построим вольт-амперные характеристики бареттера и нагрузочного резистора (рис. 6.7, б), выбрав предварительно масштабы по обеим осям.

Для построения на миллиметровой бумаге рекомендуются масштабы:
напряжений m_u = 2 В/см; токов m_i = 1 А/см.
Вольт-амперная характеристика нагрузочного резистора — прямая, проходящая через начало координат под углом α к оси токов (см. пунктир Oa на рис. 6.7,6). Определим угол

Ток в цепи и падение напряжения U₁ связаны между собой двумя зависимостями: вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента I(U₁) и уравнением которое при постоянной величине R_н изображается на графике прямой. Точка пересечения этой прямой с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента на графике определяет величины I и U₁, удовлетворяющие обеим зависимостям.

Построим указанную прямую при заданной величине R_н = 1 Ом и входном напряжении V = 8 В. Для этого определим положение точек, в которых прямая пересекается с осями координат:
при I = 0

при U₁ = 0

Прямая, построенная по двум точкам, пересекается с вольт-амперной характеристикой нелинейного элемента в точке b.

Спроектируем эту точку на оси координат и найдем величины тока и напряжения на участках: I = 2.2 А; U₁ = 5,8 В; U₂ = 2,2 В. Аналогично находим те же величины для других напряжений U, для чего прямую перемещаем параллельно самой себе (на рис. 6.7, б показаны такие характеристики для U = 6 и 10 В).

График I(U) для заданной цепи построен на рис. 6.7, в. Из графика видно, что при изменении входного напряжения в пределах от 5до 13 В ток в цепи остается практически постоянным.

Примеры упрощения схем нелинейных цепей

Расчеты разветвленных нелинейных электрических цепей при наличии в схеме произвольного количества элементов представляют значительные трудности. В зависимости от вида схемы принимается тот или другой путь расчета, но во всех случаях основой является систематическое упрощение схемы. Рассмотрим некоторые конкретные примеры.

Цепь с двумя узлами

Между двумя узлами 1 и 2 (рис. 6.8) включены три ветви, две из которых представляют собой последовательное соединение нелинейного сопротивления и постоянной э. д. с.

Рис. 6.8. Схема нелинейной электрической цепи с двумя узлами

Рис. 6.9. К расчету нелинейной электрической цепи с двумя узлами

Нелинейные сопротивления заданы вольт-амперными характеристиками I₁(U₁); I₂(U₂); I₃(U₃) (рис. 6.9).

Построение кривых I₁(U_1.2) и I₂(U_1.2) проводится так: для ряда значений тока определяют разность э. д. с. и соответствующих значений напряжения; через полученные точки проводят кривые. Кривая I₃(U_1.2) совпадает с заданной кривой I₃(U₃), так как U_1.2 = U₃.

Далее строится кривая (I₁ + I₂)(U_1.2); для ряда значений U_1.2 определяют сумму токов I₁ + I₂, которая согласно первому закону Кирхгофа равна I₃ : I₁ + I₂ = I₃.
Поэтому точка 3, в которой пересекаются кривые (I₁ + I₂) и I₃(U₃), определяет величину тока I₃ (отрезок 3-4). Опустив перпендикуляр к оси U через точку 3, находят другие величины: ток I₁ — отрезок 1-4; ток I₂ — отрезок 2-4; напряжение U_1.2 — отрезок 0-4.

Заметим, что кривая (I₁ + I₂)(U_1.2) является вольт-амперной характеристикой нелинейного активного двухполюсника, эквивалентного двум ветвям исходной схемы. Построение этой кривой означает замену двух ветвей (1 и 2) одной ветвью, что является упрощением заданной схемы. Нетрудно представить, что такой путь можно применить при наличии в схеме большего числа ветвей и постепенно привести ее к схеме простейшего активного нелинейного двухполюсника.

Цепь с одним нелинейным сопротивлением

Предположим, что в разветвленную цепь входит несколько линейных элементов, в том числе источники э. д. с., и одно нелинейное сопротивление (рис. 6.10, а). Ветвь с нелинейным сопротивлением можно выделить, а оставшуюся линейную часть представить в виде активного двухполюсника.
Включим в нелинейную ветвь э.д.с. E’ такой величины, чтобы ток в ней уменьшился до нуля. Для активного линейного двухполюсника такое состояние является режимом холостого хода, поэтому Е’ = U_x, где U_x — напряжение холостого хода.

Для того чтобы получить ток, т. е. возвратиться к первоначальному режиму, можно в нелинейную ветвь включить еще одну э. д. с. Е», равную по величине Е’, но направленную ей встречно (рис. 6.10., б). Можно сказать, что ток в нелинейной ветви вызывает только э. д. с. Е», а остальные э. д. с. (Е’ и активного двухполюсника) тока не вызывают и их можно из схемы исключить, накоротко замкнув точки, к которым эти источники присоединены.
В результате получается схема последовательного соединения пассивного линейного двухполюсника с активным нелинейным двухполюсником (рис. 6.10, в).

Отсюда следует порядок расчета первоначально заданной нелинейной цепи: 1) определяют напряжение холостого хода и входное сопротивление линейного двухполюсника (рис. 6.10, г); 2) находят, например графически, ток и напряжение в нелинейной ветви; 3) определяют токи в линейной части цепи, считая сопротивление нелинейной ветви R = U/I постоянным.

Рис. 6.10. К расчету разветвленной электрической цепи с одним нелинейным элементом

Цепь с двумя нелинейными сопротивлениями

В сложную цепь могут входить два нелинейных сопротивления, которые простым преобразованием не приводятся к одному сопротивлению (рис. 6.11, а).
Упрощение и расчет такой цепи можно осуществить в следующем порядке. Выделим нелинейные сопротивления, а оставшуюся часть цепи представим активным линейным четырехполюсником, у которого к первичным и вторичным зажимам присоединено по одному нелинейному сопротивлению.
В каждой нелинейной ветви можно провести преобразования, такие же как на рис. 6.10, и провести аналогичные рассуждения (рис. 6.11, б). В данном случае линейный четырехполюсник можно представить Т-образной схемой замещения и получить схему с двумя узлами, изображенную на рис. 6.11, в.

Рис. 6.11. К расчету разветвленной электрической цепи с двумя нелинейными элементами

Затем надо определить сопротивления Т-схемы четырехполюсника и решить задачу так, как указано в начале этого параграфа. При необходимости от Т-схемы четырехполюсника известными способами можно перейти к исходной схеме, считая при этом сопротивления нелинейных ветвей постоянными, так как токи в них найдены.

Подобный путь применяют для расчета цепей с тремя (и более) нелинейными сопротивлениями.

Метод последовательных приближений

Суть этого метода заключается в предварительном выборе ожидаемого результата и последовательной его проверке и уточнении.
Рассмотрим метод на примере относительно простой цепи последовательного соединения двух нелинейных сопротивлений рис. 6.4, а. Даны напряжение на зажимах цепи и вольт-амперные характеристики нелинейных элементов.

Ток в цепи по закону Ома

где n — порядковый номер приближения.
Первое значение тока I₁ в цепи выбирают ориентировочно, если имеются для этого какие-то основания, а если их нет, то произвольно. По вольт-амперным характеристикам определяют напряжения на нелинейных элементах U₁ и U₂ и затем по закону Ома — сопротивления R₁ и R₂:

По формуле (6.6) находят второе приближение тока:

По найденной величине тока I₂ и вольт-амперным характеристикам снова определяют напряжения на нелинейных элементах и их сопротивления, а затем опять находят ток и так до тех пор, пока результат на начнет практически повторяться. Обычно достаточно точный ответ достигается после 4-5 повторений расчета, если процесс приближений обладает сходимостью. В случае расходящегося процесса задачу следует решать на основе уравнения для другой величины [вместо (6.6)], например для напряжения на одном из нелинейных элементов

Задача 6.7.

Лампа накаливания включена параллельно с линейным резистором R₂ = 30 Ом (рис. 6.12, а). Построить зависимость эквивалентного сопротивления R_эк цепи от напряжения U на его зажимах.
Методом последовательных приближений определить напряжение U при токе в неразветвленной части цепи I = 5 А. Вольт-амперная характеристика лампы задана в табл. 6.3.

U, В	0	20	40	60	80	100	120
I, А	0	0,6	1,1	1,5	1,85	2,15	2,4

Решение. Построим вольт-амперные характеристики элементов цепи. На рис. 6.12, б: I₁(U) — характеристика лампы и I₂(U) — характеристика резистора R₂. Сложив ординаты этих характеристик при различных значениях напряжения, получим вольт-амперную характеристику всей цепи, т. е. зависимость тока в неразветвленной части цепи от приложенного напряжения I(U). Эквивалентное сопротивление схемы найдем как отношение R_эк = U/I для различных значений приложенного напряжения.
Результаты вычислений приведены на графике рис. 6.12, б.

Нелинейные электрические цепи постоянного тока

Нелинейными называются цепи, в которые включены нелинейные элементы (нэ).

Элемент электрической цепи, сопротивление которого зависит от чины и направления тока в нем или от напряжения, называется нелинейным. Нелинейными такие элементы называются потому, что их вольт-амперная характеристика (т. е. зависимость тока от напряжения, приложенного к элементу) — нелинейная. Виды нелинейной зависимости показаны рис. 5.26, 5.36, 5.46 и др.

Примерами нелинейных элементов могут служить электронные газонаполненные лампы, полупроводниковые приборы, ламп накаливания и пр. нелинейную цепь наряду с нелинейными элементами могут быть включены линейные. Сопротивление линейных элементов практически не зависит от тока или напряжения (резистор). Вольт-амперная характеристика линейного элемента — прямая линия, ходящая через начало координат, точку О (рис. 5.1).

Вторую точку (точку А) для построения вольт-амперной характеристики линейного элемента определяют вычислением тока Г в линейном менте при произвольно выбранном напряжении U’, приложенном к этому элементу, т.е. , где — заданное сопротивление линейного элемента — величина постоянная, аналитический расчет нелинейных цепей весьма сложен, так как противление нелинейного элемента — непостоянная величина, зависящая от величины тока. Таким образом, в уравнении закона Ома две переменные величины. Поэтому при расчете линейных цепей к нелинейным элементам не применим закон а ни для участка, ни для замкнутой нелинейной цепи.

Для расчета нелинейных цепей рационально использовать графо-аналитический метод, который предусматривает построение суммарной вольт-амперной характеристики цепи. По суммарной характеристике и характеристикам элементов определяются искомые величины (обычно токи и напряжения).

Построение суммарной вольт-амперной характеристики нелинейной цепи зависит от схемы соединения элементов нелинейной цепи и производится по заданным вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов и построенным характеристикам линейных элементов, если они включены в цепь.

Кроме того, если в нелинейной цепи имеется линейный элемент, то расчет нелинейной цепи можно производить построением так называемой нагрузочной характеристики (рис. 5.36).

Неразветвленная нелинейная цепь

В неразветвленной нелинейной электрической цепи все элементы соединены последовательно и по всем элементам проходит одинаковый ток (рис. 5.2а).

Для расчета цепи с последовательно соединенными нелинейными элементами по заданным вольт-амперными характеристикам этих элементов строится суммарная вольт-амперная характеристика нелинейной цепи (рис. 5.26).

При последовательном соединении элементов для построения суммарной вольт-амперной характеристики суммируются абсциссы (напряжения) вольт-амперных характеристик элементов при различных токах (например, в точках 1, 2, 3, 4 рис. 5.26).

Зная напряжение, приложенное к цепи (), по суммарной вольт-амперной характеристике (точка А) определяем ток в нелинейной цепи (). Этот ток создает падение напряжения на пер-элементе U₁ (точка С) и на втором элементе U₂ (точка В). и же задан ток в рассматриваемой цепи, то по суммарной вольт-амперной характеристике можно найти напряжение цепи (точка А) и напряжение на элементах (точки С и В). нелинейных элементов различают статическое и динамиков сопротивления.

Статическое сопротивление — это сопротивление нелинейного элемента в режиме работы цепи, т. е. сопротивление нелинейного элемента в определенной точке его вольт-амперной характеристики.

Вычислить статические сопротивления нелинейных элементов в режиме работы рассматриваемой цепи, т. е. сопротивления для С и В вольт-амперных характеристик (при токе рис 5.26), можно следующим образом:

Динамическое сопротивление нелинейных элементов () в режиме работы цепи определяется как

где бесконечно малое приращение напряжения (определяет-по вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов чек С и В), a dl — бесконечно малое приращение тока у этих чек.

Вели в неразветвленную нелинейную цепь включен линейный элемент с заданным сопротивлением R, то для расчета такой нелинейной цепи можно произвести суммирование абсцисс (напряжений) всех элементов цепи, включая линейный, построив предварительно его вольт-амперную характеристику в той же системе ординат (рис. 5.1).

По суммарной вольт-амперной характеристике нелинейной пи определяется режим работы цепи и ее элементов. Для расчета нелинейной цепи с последовательно включенным линейным элементом с сопротивлением R (рис. 5.3а) можно воспользоваться построением нагрузочной характеристики рис. 5.36).

Нагрузочная характеристика представляет собой прямую линию, проведенную через две точки А и В (рис. 5.36). Точка А расположена на оси ординат (ток). Точка В- на оси абсцисс (напряжение).

Построение нагрузочной характеристики осуществляется с использованием двух уравнений (5.3 и 5.4) для рассматриваемой цепи в системе координат

Откуда

Точка В соответствует величинам (см. (5.3)). Точка А соответствует величинам (см. (5.4)). При построении в тех же координатных осях заданной вольт-амперной характеристики нелинейного элемента отмечается точка пересечения С этих характеристик, которая является единственно возможной при заданном режиме работы цепи:

• отрезок DC — ток цепи ,
• отрезок OD — напряжение на нелинейном элементе ,
• отрезок DB — напряжение на линейном элементе

Такой метод расчета неразветвленных нелинейных цепей называется методом пересечений.

На рис. 5.36 можно проследить изменения режима работы цепи () при изменениях напряжения сети U’ (пунктирные линии). На том же рисунке показаны изменения режима работы цепи при изменении сопротивления линейного элемента R (перемещение точки С’ на рис. 5.36).

Если точка А, соответствующая измененному значению напряжения сети U’ или сопротивления линейного элемента R (см. (5.4)), выходит за пределы графика (рис. 5.36), то определяют , который нагрузочная характеристика (прямая) составляет вертикалью, проведенной из точки В (на оси U), соответствующей напряжению сети U’, т. е.

— принятый на графике масштаб тока; — принятый на графике масштаб напряжения; U» — произвольно выбранное напряжение (например, U’); I» — ток, соответствующий напряжению U» и сопротивлению R», т.е.:

Тогда нагрузочную характеристику из точки В доводят только до сечения с вольт-амперной характеристикой нелинейного мента (точка С’ рис. 5.36) и определяют режим работы цепи, соответствующий измененному значению сопротивления линейного элемента R или напряжения сети V.

Разветвленная нелинейная цепь

В разветвленной нелинейной электрической цепи нелинейные менты могут быть соединены параллельно. При параллельном соединении нелинейных элементов напряжение на всех элементах будет одинаковым.

Для расчета цепи с параллельным соединением нелинейных ментов (рис. 5.4а) строится суммарная вольт-амперная характеристика цепи по заданным вольт-амперным характеристикам нелинейных элементов, при этом суммируются ординаты (токи), соответствующие различным значениям напряжений (точки 1, 2, 3, 4 на рис. 5.46).

При заданном значении тока в неразветвленной части нелинейной цепи Г по суммарной вольт-амперной характеристике (точка А) можно определить напряжение цепи U’. Это напряжение создает ток в первом элементе (точка С) и во втором элементе (точка В).

Если задано напряжение U’, приложенное к элементам, то по суммарной вольт-амперной характеристике определяется ток в неразветвленной части цепи (точка А), а по вольт-амперным характеристикам элементов определяются токи (точки С и В рис. 5.46).

Включение в нелинейную цепь линейного элемента не меняет характера и порядка расчета.

Нелинейная цепь со смешанным соединением элементов

Расчет нелинейной цепи при смешанном соединении элементов (в общем виде) рассмотрен на примере 5.1 (рис. 5.5).

Пример 5.1

По заданному напряжению цепи U’ требуется определить токи , напряжения на участках (рис. 5.5а), а также сопротивления нелинейных элементов в заданном режиме работы цепи. Заданы вольт-амперные характеристики нелинейных элементов (рис. 5.56) и сопротивление линейного элемента .

Решение

По заданному сопротивлению Я линейного элемента строится вольт-амперная характеристика этого элемента (см. рис. 5.1). Линейный элемент с сопротивлением включен параллельно с нелинейным элементом , и суммарная вольт-амперная характеристика для участка АВ цепи (AB) строится так же, как на рис. 5.46 суммируются ординаты (токи) характеристик и R).

Участок АВ соединен последовательно с нелинейным элементом . Суммарная вольт-амперная характеристика цепи (I) строится так же, как на рис. 5.26.

Напряжение цепи U’, по суммарной характеристике цепи К) определяется ток в неразветвленной части цепи рис. 5.56). Этот ток создает падение напряжения (точка С) и на параллельном участке (точка Е).

Напряжение на участке АВ (U_AB) в разветвленной цепи создает А (точка D) и (точка L).

Определив напряжения и токи нелинейных элементов, можно определить статические сопротивления этих элементов в заданном режиме работы цепи

Таким образом, по вольт-амперным характеристикам соединен-смешанно элементов и их суммарным характеристикам можно определить все параметры нелинейной цепи (), если задан хотя бы один из этих параметров (рис. 5.56).

Стабилизаторы тока и напряжения

Есть такие нелинейные элементы, вольт-амперная характеристика которых имеет участки, параллельные оси абсцисс или оси ординат (рис. 5.6). Такие нелинейные элементы применяют в качестве стабилизаторов тока (рис. 5.6а) и стабилизаторов напряжения ис. 5.66).

В качестве стабилизатора тока можно использовать, например бареттер (стальная нить в атмосфере водорода). На участке В’В’ (рис. 5.6а) характеристика бареттера почти параллельна оси абсцисс. Если бареттер включить последовательно с участком (io цепи (рис. 5.8), то ток цепи почти не изменяется при изменении напряжения или сопротивления (рис. 5.6а) — бареттер стабилизирует ток в цепи.

Эффективность стабилизации характеризует коэффициент стабилизации, показывающий, во сколько раз относительное изменение тока меньше относительного изменения напряжения :

Для стабилизации напряжения применяют газоразрядные или полупроводниковые (кремниевые) стабилизаторы. Рабочий участок В’В» вольт-амперной характеристики стабилизатора напряжения почти параллелен оси ординат (рис. 5.66). Стабилизатор напряжения включается параллельно сопротивлению , на котором он стабилизирует напряжение.

Последовательно с разветвленным участком (ab) включается балластное сопротивление (рис. 5.7). Как видно из рис. 5.66, изменение балластного сопротивления в определенных пределах от почти не вызывает изменения напряжения на стабилизаторе и, следовательно, на нагрузке R (U_aь на рис. 5.7).

Пример 5.2

Для стабилизации напряжения и тока накала электронной лампы (4 В; I А) включен бареттер Б (рис. 5.8а), вольт-амперная характеристика которого приведена на рис. 5.86.

Определить все токи и напряжения на бареттере U₁ и нити накала U₂, если напряжение сети , а сопротивление . Определить пределы изменения напряжений сети, при которых ток цепи остается практически неизменным.

Решение

Масштаб напряжения на графике

Масштаб тока на графике принят

Нагрузочная характеристика строится в координатах:

, где сопротивление нити накала лампы Ом.

Следовательно, точка пересечения вольт-амперной характеристики бареттера и нагрузочной характеристики В (рис. 5.86) сет координаты , а ток цепи . Напряжение R , а токи

Нагрузочная характеристика проведена под углом к оси орди-т. е.

Нагрузочные характеристики, соответствующие пределам изменил напряжений сети, при которых ток цепи остается практики неизменным (), проводятся параллельно основной нагрузочной характеристике под углами к оси ординат.

Таким образом, как следует из графиков рис. 5.86, эти напряжения соответственно равны

Определение нелинейных электрических цепей переменного тока

Нелинейные элементы

Нелинейными электрическими цепями переменного тока называются цепи, в состав которых входят один или несколько нелинейных сопротивлений (нелинейных элементов) переменного тока.

Характерной чертой нелинейных элементов переменного тока являются нелинейная вольт-амперная, кулон-вольтовая, вебер-амперная и другие характеристики.

Переменному току оказывают сопротивление активные сопротивления, индуктивности и емкости. В соответствии с этим нелинейные сопротивления переменного тока могут быть разделены на три группы: 1) группа нелинейных активных сопротивлений; 2) группа нелинейных индуктивных сопротивлений; 3) группа нелинейных емкостных сопротивлений.

Каждая из этих групп сопротивлений подразделяется на управляемые и неуправляемые.

1. В качестве управляемых нелинейных активных сопротивлений широкое распространение получили электронные и полупроводниковые приборы, магнитные усилители и другие устройства. Неуправляемыми нелинейными активными сопротивлениями являются электрическая дуга, полупроводниковые выпрямители, лампы накаливания и др. Нелинейные элементы этой группы способствуют созданию несинусоидальных токов в электрических цепях.
2. Под нелинейными индуктивными сопротивлениями, или иначе нелинейными индуктивностями, понимают катушки с ферромагнитными сердечниками, для которых зависимость магнитного потока в сердечнике от тока в катушке нелинейна. Катушка с ферромагнитным сердечником в цепи переменного тока искажает форму кривой тока, т. е. является генератором несинусоидального тока. Катушку со стальным сердечником называют дросселем (рис. 19.4).
3. Для нелинейных конденсаторов зависимость заряда Q на обкладках от напряжения, приложенного к конденсатору, нелинейна. Нелинейные конденсаторы называют варикоидами или вари капами. Пространство между обкладками нелинейного конденсатора заполнено сегнетодиэлектриком, диэлектрическая проницаемость которого зависит от напряженности электрического поля между обкладками конденсатора. Сегнетодиэлектрики обладают гистерезисом, т.е. отставанием изменения электрического смещения в диэлектрике от изменения электрического поля в нем.

Такие явления, как выпрямление переменного тока в постоянный, стабилизация напряжения, умножение и деление частоты, получение сигналов различной формы и т. д., можно получить только в нелинейных цепях переменного тока.

В настоящей главе рассматривается работа двух нелинейных элементов: вентили (1-я группа нелинейных активных сопротивлений) и катушки с ферромагнитным сердечником (2-я группа нелинейных индуктивных сопротивлений).

Выпрямители — источники несинусоидального тока

Выпрямителями называют аппараты, преобразующие переменный ток в постоянный.

Основным элементом любого выпрямителя является электрический вентиль. Электрический вентиль обладает малым сопротивлением в прямом направлении и большим в обратном направлении. Вентиль имеет нелинейную вольт-амперную характеристику (рис. 19.1), поскольку обладает практически односторонней проводимостью. Графическое изображение электрического вентиля в электрических схемах и положительное направление прямого напряжения и тока показано на рис. 19.1а.

Вентиль, сопротивление которого в прямом направлении равно нулю, а в обратном — бесконечно большое, считается идеальным вентилем. Характеристика идеального вентиля дана на рис. 19.1б. Вентиль, сопротивлением которого в прямом направлении пренебречь нельзя, а обратным током можно пренебречь, имеет вольт-амперную характеристику, изображенную на рис. 19.1в. Вольт-амперная характеристика реального полупроводникового вентиля изображена на рис. 19.1г.

Как видно, если к реальному вентилю приложено увеличивающееся по величине обратное напряжение то его ток в обратном направлении увеличивается незначительно. Однако когда это обратное напряжение превышает номинальное обратный ток становится ощутимым и при некотором обратном предельном напряжении вентиль теряет свои вентильные свойства.

Основными параметрами вентилей наряду с вольт-амперной характеристикой являются допустимая температура, плотность тока и допустимое обратное напряжение.

В выпрямителях вентиль включается по различным схемам.

В схеме однополупериодного выпрямителя вентиль включается последовательно с потребителем R, ток которого необходимо выпрямить (рис. 19.2а).

Если к цепи, изображенной на рис. 19.2а, приложено синусоидальное напряжение (и обратным током вентиля можно пренебречь), то ток в положительный полупериод изменяется также по синусоидальному закону:

В течение же отрицательного полупериода напряжения тока в цепи нет, так как предполагается Таким образом, в рассматриваемой цепи создается однополупериодное выпрямление синусоидального тока (рис. 19.2б). При однополупериодном выпрямлении образуется значительная пульсация тока, т.е. большая переменная составляющая (гармоника) выпрямленного тока и незначительная величина среднего значения (постоянная составляющая) этого тока (см. кривую 5 таблицы 18.1).

Таким образом, на сопротивлении R в результате выпрямления синусоидального напряжения и создается несинусоидальный ток и несинусоидальное напряжение

Если вентили включены по мостовой схеме (рис. 19.3а) и к мосту подведено синусоидальное напряжение то по сопротивлению потребителя R проходит несинусоидальный пульсирующий ток, полученный в результате двухполупериодного выпрямления (рис. 19.3б).

В положительный полупериод синусоидального напряжения и ток проходит через вентили 1, 2 и через потребитель слева направо (рис. 19.3а). В отрицательный полупериод напряжения и ток проходит через вентили 3, 4 и через потребитель также слева направо. Таким образом, ток через потребитель изменяется по величине, но не меняется по направлению (рис. 19.3б), т.е. через потребитель проходит пульсирующий ток, который складывается из постоянной составляющей и четных гармоник. Таким же будет и напряжение на потребителе (см. кривую 6 таблицы 18.1). При двухполупериодном выпрямлении постоянная составляющая несинусоидального тока и напряжения больше, чем при однополупериодном выпрямлении, а пульсации, т.е. гармоники, меньше.

При выпрямлении трехфазного тока (см. кривую 7 таблицы 18.1) несинусоидальный ток раскладывается на постоянную составляющую и гармоники, кратные трем, т. е. 3, 6, 9 и т.д. При этом постоянная составляющая тока (напряжения) на потребителе увеличивается, а пульсации уменьшаются (по сравнению с однофазным током). Для уменьшения пульсаций на потребителе в любой схеме соединения вентилей используются электрические фильтры (см. § 18.7).

Катушка с ферромагнитным сердечником

Наиболее распространенным нелинейным элементом переменного тока в электрических машинах, трансформаторах и других аппаратах является катушка со стальным сердечником (рис. 19.4).

Если магнитный поток в сердечнике изменяется по синусоидальному закону то при отсутствии рассеяния он индуктирует в катушке, расположенной на сердечнике, ЭДС самоиндукции

Если пренебречь активным сопротивлением катушки, то напряжение, приложенное к ней, равно по величине и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, определяемой по (11.9):

где , а действующее значение напряжения

или
Если к катушке со стальным сердечником приложено синусоидальное напряжение, то в сердечнике возникает синусоидальный магнитный поток.

Ток в катушке при этом оказывается несинусоидальным. Это связано с нелинейной зависимостью между магнитим потоком и током На рис. 19.5а показана петля гистере-1иса, изображающая эту зависимость.

Для каждого момента времени по петле гистерезиса находят значение тока и откладывают его на ординате магнитного потока (смотри пунктирные линии на рис. 19.5). При увеличении магнитного потока пользуются участком ab петли гистерезиса, при уменьшении — участком be и т. д.

Как видно (рис. 19.56), кривая тока при синусоидальном магнитном потоке несинусоидальна.

Кривая намагничивания ферромагнитного материала (рис. 8.3) выражает зависимость индукции В в ферромагнитном материале от напряженности Я магнитного поля в катушке. Напряженность Н в катушке пропорциональна току I в катушке. Магнитный поток в ферромагнитном материале связан с напряжением , приложенным к катушке, прямой пропорциональностью (19.1). Следовательно, основную кривую намагничивания ферромагнитного материала магнитопровода можно считать вольт-амперной характеристикой катушки с сердечником из ферромагнитного материала (рис. 8.3), если изобразить ее в координатах и I (рис. 19.5в). Таким образом, катушка с ферромагнитным сердечником является нелинейным элементом переменного тока, т. е. источником несинусоидальности.

Мощность потерь. Векторная диаграмма катушки со стальным сердечником

При расчете цепи катушки со стальным сердечником несинусоидальный намагничивающий ток часто заменяют эквивалентным синусоидальным, который имеет то же действующее значение, что и несинусоидальный. При этой замене пользуются поправочным коэффициентом зависящим от формы кривой тока, которая в свою очередь зависит от максимального значения индукции в сердечнике

Значение коэффициента для электротехнической стали при индукции, не превышающей принимается равным единице. При больших значениях магнитной индукции поправочный коэффициент можно найти по графику (рис. 19.6).

При синусоидальном токе векторная диаграмма для катушки (без активного сопротивления) со стальным сердечником (без рассеяния) может быть построена как для идеальной индуктивности (рис. 11.4б), т. е. ток отстает от напряжения на угол 90°.

Если учесть потери на циклическое перемагничивание в сердечнике и на вихревые токи т.е. потери в стали то ток в катушке со стальным сердечником отстает от напряжения на угол (рис. 19.7а). При этом появляется активная составляющая тока

совпадающая по фазе с напряжением, и реактивная составляющая тока

Реактивная составляющая тока, совпадающая по фазе с магнитным потоком и намагничивающая сердечник, называется намагничивающим током катушки.

Угол на который ток опережает по фазе магнитный поток Ф (рис. 19.7а), называется углом потерь

Потери в стали (магнитные потери) можно определить выражением

где G — масса ферромагнитного сердечника, кг; — удельная мощность потерь в стали, Вт/кг.

Удельную мощность потерь вычисляют по формуле

где — потери в стали при индукции 1 Тл и частоте — максимальное значение индукции.

Значения для различных марок электротехнической стали даны в Приложении 8.

Если не пренебрегать активным сопротивлением катушки R, то падение напряжения на этом сопротивлении совпадает по фазе с током На активном сопротивлении возникают потери мощности, которые являются электрическими потерями и называются потерями в меди Эти потери складываются с магнитными и создают суммарные потери в катушке со стальным сердечником Суммарные потери Р влияют на угол потерь и на активную составляющую тока катушки так как

Большая часть магнитного потока, т. е. основной поток Ф, замыкается в сердечнике, а незначительная часть потока рассеивается (рис. 19.46). Поток рассеяния индуктирует в катушке ЭДС рассеяния где — индуктивность рассеяния. На преодоление ЭДС рассеяние в напряжении, приложенном к катушке, появляется составляющая которая опережает ток на угол 90°. Поток рассеяния совпадает по фазе с током.

Следовательно, напряжение на зажимах катушки со стальным сердечником складывается из напряжения создается основным магнитным потоком Ф, падения напряжения на активном сопротивлении катушки и напряжения т.е. Это выражение используется при построении векторной диаграммы катушки со стальным сердечником (рис. 19.7б).

Схема замещения

Эквивалентная схема катушки со стальным сердечником изображена на рис. 19.4в. На эквивалентной схеме выделены активное сопротивление R и индуктивное сопротивление рассеяния Оставшуюся катушку с сердечником можно считать идеальной.

Напряжение для идеальной катушки можно представить суммой падений напряжений на активном сопротивлении и индуктивном

Эти соображения легли в основу построения схемы замещения катушки со стальным сердечником (рис. 19.8а).

Реальная катушка (рис. 19.4а) и схема ее замещения (рис. 19.8б) при одинаковых напряжениях на зажимах U имеют одинаковые токи и мощности.

Активная составляющая тока определяет активную проводимость идеальной катушки а намагничивающий ток — реактивную проводимость На рис. 19.86 показана схема замещения катушки со стальным сердечником с учетом этих проводимостей.

Пример 19.1

На среднем стержне Ш-образного магнитопровода (рис. 19.9), выполненного из листовой стали Э42 (1512) с воздушным зазором расположена обмотка, к которой подведено напряжение U= 220 В при частоте 10 % объема сердечника заполнено изоляцией. Активным сопротивлением обмотки и рассеянием можно пренебречь. Размеры магнитопровода указаны в мм.

Определить число витков обмотки W, ток в обмотке потери в стали коэффициент мощности цепи coscp и угол потерь для того, чтобы создать максимальную магнитную индукцию в среднем стержне

Решение

По выражению (19.1) определяется число витков обмотки

где

— площадь сечения среднего стержня сердечника; — коэффициент заполнения сердечника сталью,

Расчет намагничивающего тока произведен по закону полного тока для половины симметричной магнитной цепи. Сечение всех участков половины магнитной цепи одинаковое (рис. 19.9) и определяется по формуле

Длина средней линии половины сердечника

Напряженность магнитного поля в магнитопроводе (Приложение 5) для стали Э42 (1512) так как действующее значение заданной индукции а в Приложении 5 указаны действующие значения магнитной индукции. Напряженность в воздушном зазоре будет равна

Поправочный коэффициент для максимальной индукции определяется из графика (рис. 19.6), Тогда намагничивающий ток определяется по формуле

Масса стали сердечника

где — плотность стали.

где так как для стали Э42 при толщине листов (Приложение 8).

Активная составляющая тока обмотки обусловлена этими потерями, т. е.

Ток в обмотке (рис. 19.7) будет равен

Коэффициент мощности цепи угол а угол потерь

Феррорезонанс

В цепи с нелинейной индуктивностью (катушка со стальным сердечником) существует нелинейная зависимость напряжения на индуктивности от тока (рис. 19.5в). Следовательно, резонанса напряжений, т. е. равенства напряжений на емкости и индуктивности , можно добиться изменением тока при последовательном соединении конденсатора и нелинейной индуктивности (рис. 19.10а).

Цепи, содержащие нелинейную индуктивность и линейную емкость, называют феррорезонансными, а явление равенства напряжений описанное выше, называют феррорезонансом.

Для объяснения явления феррорезонанса можно воспользоваться вольт-амперной характеристикой нелинейной индуктивности линейной емкости и линейного активного сопротивления

При построении суммарной вольт-амперной характеристики

рассматриваемой цепи исходят из того, что напряжение источника U уравновешивается суммой напряжений:

Из векторной диаграммы для рассматриваемой цепи (рис. 12.46) следует, что индуктивное напряжение U_L опережает по фазе ток на угол 90°, а емкостное напряжение U_c — отстает на 90 (Для упрощения несинусоидальные величины заменены эквивалентными синусоидальными, т. е. вольт-амперная характеристика нелинейной катушки U_L=f(I) аналогична характеристике, показанной на рис. 19.5в.) Следовательно,, реактивные напряжения U_L и U_c находятся в противофазе, т. е. U_p = U_L — U_c.

Величину емкости можно подобрать так, чтобы прямая U_c=f(I) пересекла кривую U_L=f(I). Точка их пересечения и является том кой феррорезонанса напряжений (U_L = U_c), при котором U_p = U_L — U_с =0. Следовательно, (U_p — реактивное напряжение цепи).

Из графика (рис. 19.106) следует, что с увеличением тока I напряжение U сначала растет (участок 0—2), затем уменьшается (участок 2—3), достигая минимального значения при феррорезонансе (точка 3), затем снова растет (участок 3—5).

Из того же графика видно, что при непрерывном увеличении напряжения источника U ток плавно увеличивается до значения и скачком увеличивается до , после чего продолжает плав но расти (участок 4—5).

При плавном уменьшении напряжения U ток уменьшается до и скачком уменьшается до /ь затем плавно падает до нуля (при U= 0).

Характерно, что при каждом скачке тока его фаза по отношению к напряжению Uизменяется на 180°, поэтому это явление называют «опрокидыванием фазы». «Опрокидывание фазы» в феррорезонансной цепи происходит потому, что до значения тока цепь имеет индуктивный характер, т. е. X_L > Х_с, а после значения тока — емкостной, т.е. X_L

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

3.1. Нелинейный элемент и воздействие на него единичного сигнала

Электрической цепью является совокупность элементов и устройств, соединенных проводами и предназначенных для производства, передачи и распределения электрической энергии.

Происходящие в ней электромагнитные процессы рассчитываются при помощи таких параметров, как сила тока, электродвижущая сила, напряжение, сопротивление, емкость и индуктивность. Различают линейные и нелинейные электрические цепи.

Линейные электрические цепи

Линейными электрическими цепями есть такие соединения элементов, когда сопротивление \(R\), индуктивность \(L\) и емкость \(C\) остаются постоянными и не зависят от силы тока и напряжения. Данные элементы являются линейными.

При независимом от напряжения и силы тока сопротивлении, линейную зависимость между этими параметрами показывает закон Ома:

Вольтамперная характеристика в данном случае будет представлена прямой линией. В том случае, когда индуктивность соленоида не зависима от силы тока, что проходит через нее, потокосцепление ψ будет прямо пропорционально данной силе тока:

При независимой от напряжения \(u_C\) емкости конденсатора C заряд конденсатора будет прямо пропорционален напряжению \(u_C\).

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Решение задач Контрольные работы Эссе

Но линейность вышеуказанных величин – это понятие условное, так как в реальных электрических цепях перечисленные элементы будут нелинейные. К примеру, при протекании электрического тока по резистору, он греется, вследствие чего увеличивается его сопротивление.

Так как в обычном рабочем режиме такие изменения незначительны, ими попросту пренебрегают, считая данные элементы линейными.

Транзисторы, которые функционируют в режиме, когда их вольтамперные характеристики представлены прямыми линиями, условно тоже приравниваются к линейным.

Значит, линейные электрические цепи – это цепи, что включают только линейные элементы. Для их описания используют линейные уравнения.

Нелинейные сопротивления

Введение.

Среди многочисленных полупроводниковых приборов, используемых в настоящее время, видное место принадлежит нелинейным полупроводниковым резисторам (НПР), отличительной особенностью которых является значительная зависимость величины их электрического сопротивления от температуры окружающей среды и величины приложенного напряжения.

НПР находят широкое применение в разнообразных современных электронных и электротехнических схемах и оборудовании. В ряде случаев такой прибор может заменить достаточно сложную электронную схему или существенно ее упростить. НПР завоевали широкое признание в связи с их преимуществами перед другими приборами, используемыми для аналогичных целей, такими как высокий уровень температурной чувствительности и уникально высокий уровень импульсной устойчивости (в широком диапазоне напряжений); малые габариты; предельная простота устройства (обычно – керамический диск); стабильность характеристик во времени, высокая надежность; отсутствие необходимости специального ухода за НПР во время эксплуатации, а также экономичность. Керамическая технология, используемая для их изготовления, позволяет варьировать характеристики в широких пределах и изготавливать изделия различных конструктивных исполнений.

В связи с эти актуальным представляется рассмотрение характеристик и свойств таких сопротивлений, а также методов расчета цепей в состав которых входят нелинейные сопротивления.

Нелинейные элементы. Их характеристики и свойства

Нелинейные резистивные элементы. Напомним, что нелинейными называются электрические цепи, у которых реакции и воздейстивие связаны нелинейными зависимостями. Подобные цепи содержат один или несколько приборов, замена которых линейными моделями приводит к недопустимому нарушению количественной и качественной картины колебаний в цепи.

Резистивными нелинейными цепями будем называть цепи, которые допустимо считать нелинейными безынерционными цепями. В соответствии с этим модель нелинейной резистивной цепи не содержит реактивных элементов. В нее входят хотя бы один нелинейный безынерционный резистивный двухполюсник или многополюсник, хотя бы один источник напряжения или тока и то или иное число резистивных сопротивлений.

Для построения многих функциональных узлов аппаратуры связи используется большой класс нелинейных двухполюсных полупроводниковых и электронных приборов, называемых диодами. Единственной электрической характеристикой диода является его вольт-амперная характеристика (ВАХ) — зависимость постоянного тока в диоде от постоянного напряжения на его зажимах i= F(u) при согласном выборе положительных направлений напряжения и тока. Отличительные особенности вольт-амперных характеристик некоторых типов диодов различного назначения и их условные (схемные) обозначения приведены на рис. Это характеристики полупроводниковых приборов: выпрямительного диода (рис. 1, а), стабилитрона (рис. 1, б), туннельного диода (рис. 1, в) и динистора (рис. 1, г). Характеристики рис. 1, а, б получили наименование однозначных, а рис. 1, в, г — многозначных, так как у них одному и тому же значению тока (рис. 1, в) или напряжения (рис. 1, г) соответствуют разные напряжения и токи.

Существуют и электронные приборы с подобными характеристиками.

В последующем, простоты ради, нелинейные резистивные двухполюсники будем называть нелинейными резисторами. Схемное изображение нелинейного резистора приведено на рис. 2. Некоторые из нелинейных резисторов относятся к числу управляемых нелинейных элементов. Управляющей величиной может быть, например, внешняя температура, давление или освещенность. Свойства таких резисторов определяются не одной, а семейством ВАХ, каждая из которых соответствует различным значениям управляющей величины.

Транзисторы, электронные лампы, тиристоры и некоторые другие полупроводниковые и электронные приборы могут рассматриваться как нелинейные резистивные четырехполюсники. Например, при включении транзистора рис. 3, а, являющегося трехполюсником, в электрическую цепь один из зажимов оказывается общим для пары входных и пары выходных зажимов транзистора. Поэтому транзистор принято рассматривать как четырехполюсник с двумя парами зажимов. На рис. 3, б показано такое включение транзистора по схеме с общим эмиттером.

Нелинейный четырехполюсник, как и линейный, описывается двумя уравнениями, которые связывают напряжения и токи на его входе и выходе. При анализе транзисторов часто используется следующая система уравнений:

Для включения транзистора по схеме с общим эмиттером (рис. 3, б) u1 =uБЭ — напряжение между базой и эмиттером, i2 = iК — ток коллектора, i1= iБ — ток базы и u2 = uКЭ -напряжение между коллектором и эмиттером.

Уравнения (1) и (2) изображаются в виде графиков. Так ui зависит от двух переменных i1 и u2 и, вообще говоря, его графическое изображение представляет собой поверхность в трехмером пространстве.

Так как начертить такую поверхность трудно, то функцию двух переменных изображают на плоскости в виде семейства характеристик: фиксируется одна переменная и непрерывно изменяется другая.

Графическое изображение уравнений (1) и (2) для транзистора в схеме с общим эмиттером показано на рис. 3, в и г. Это так называемые входная и выходная вольт-амперные характеристики. Принято говорить, что ВАХ транзистора управляются, током или напряжением. Так, выходная ВАХ транзистора в схеме с общим эмиттером управляется током базы.

ВАХ нелинейных полупроводниковых и электронных приборов находятся, как правило, в результате измерений и приводятся в соответствующих справочниках в виде усредненных графических зависимостей. Необходимость усреднения связана с большим (до 30 — 50% ) технологическим разбросом характеристик различных образцов прибора одного и того же типа. Эти характеристики являются статическими, т. е. характеристиками режима постоянного тока.

Для резистивных нелинейных элементов (НЭ) важным параметром является их сопротивление, которое в отличие от линейных резисторов не является постоянным, а зависит от того, в какой точке ВАХ оно определяется. Различают два вида сопротивлений: статическое и дифференциальное (динамическое). Статическое сопротивление Rcт определяется как (рис. 4)

где U0 — приложенное к НЭ постоянное напряжение; I0 — протекающий через НЭ постоянный ток. Это сопротивление постоянному току; оно характеризуется тангенсом угла наклона прямой, проходящей через начало координат и рабочую току (U0, I0) на ВАХ НЭ.

В силу предположения о резистивном характере цепи статические характеристики определяют одновременно и соотношения между мгновенными значениями напряжений и токов на внешних зажимах соответствующего нелинейного прибора.

Определим дифференциальное сопротивление RД как отношение приращения напряжения Du к приращению тока Di при небольшом смещении рабочей точки на ВАХ под воздействием переменного напряжения малой амплитуды (рис. 4):

Это сопротивление представляет собой сопротивление НЭ переменному току малой амплитуды. Обычно переходят к пределу этих приращений и определяют дифференциальное сопротивление в виде

Оно характеризуется тангенсом угла наклона касательной к ВАХ в рабочей точке.

Иногда удобно пользоваться понятием дифференциальной крутизны (имеющей смысл проводимости)

SД = GД = 1/RД = du/di

Нелинейные индуктивные элементы. Типичными динамическими нелинейными элементами электрической цепи являются катушки с сердечниками из ферромагнитных материалов — сплавов на основе металлов группы железа или их оксидов — ферритов. Нелинейность таких элементов обусловлена характеристикой намагничивания материала сердечника В(H). Поскольку в приближении теории магнитных цепей для замкнутого неразветвленного сердечника с постоянным сечением s и длиной l средней магнитной линии магнитный поток Ф пропорционален индукции В: Ф = Bs, а напряженность Н связана с током i в обмотке, имеющей w витков, соотношением Н = iw/l, то вид зависимости В(Н)предопределяет характер вебер-амперной характеристики катушки Y( i ) (Y=Фw — потокосцепление обмотки см. § 2). Типичная вебер-амперная характеристика индуктивного элемента приведена на рис. 10.5, а. В общем случае вид ВАХ индуктивного элемента определяется многими факторами, и она часто является неоднозначной. Например, при циклическом намагничивании сердечника зависимость Y( i ) имеет гистерезисный характер (рис. 5, б). В этом случае процесс перемагничивания сопровождается необратимыми потерями в сердечнике.

Нелинейный элемент индуктивности характеризуется согасно (8) статической индуктивностью Lст =Y/i и дифференциальной индуктивностью LД = dY/di, которые зависят от намагничивающего тока i.

Нелинейные емкостные элементы. Нелинейные емкостные элементы могут служить моделями конденсаторов, диэлектрическая проницаемость e которых является функцией от напряженности электрического поля Е в диэлектрике. Такие емкостные элементы описываются нелинейной вольт-кулоновой характеристикой — зависимостью заряда q от приложенного напряжения u. Подобными свойствами обладают, в частности, сегнетоэлектрики, вольт-амперные характеристики которых, аналогичны характеристикам ферромагнетиков (рис. 6, а); обратно смещенные р-n -переходы (рис. 6, б) и др.

Нелинейный элемент емкости характеризуется согласно (11) статической емкостью Сст = q/uc и дифференциальной емкостью Сд = dq/duc, которые зависят от приложенного напряжения uс.

На рис. 6, в, г, показан характер изменения дифференциальной емкости для вольт-кулонных характеристик, изображенных на рис. 6, а и б, соответственно.

Графические методы расчета цепей с нелинейными резистивными двухполюсниками

Задача нахождения начальных постоянных напряжений и токов на внешних зажимах нелинейных полупроводниковых или электронных приборов, входящих в электрическую цепь, сводится к задаче анализа режима постоянного тока в исследуемой цепи, т. е., к анализу нелинейной резистивной цепи с источниками постоянного напряжения или (и) тока. Решаются подобные задачи обычно с использованием графических построений.

Ниже рассматривается задача анализа режима постоянного тока в электрической цепи с одним нелинейным двухполюсником, — нелинейным резистивным элементом (НЭ). Его ВАХ считается известной и заданной графически.

Рассмотрим простейшую электрическую цепь, изображенную на рис. 7. В нее входят источник постоянного напряжения с задающим напряжением Uг, линейный резистивный элемент R и нелинейный резистивный элемент, в котором подлежат определению постоянные напряжение U = U0 и ток I = I0. Рассмотрим два случая НЭ: с однозначной и многозначной ВАХ.

Нелинейный резистивный элемент с однозначной характеристикой. Пусть однозначная ВАХ нелинейного резистивного элемента имеет вид, показанный на рис. 8, а.

Согласно ЗНК (рис. 7) напряжение U = Uг — RI, и ток в элементе R связан с напряжением U на зажимах НЭ зависимостью I = (Uг -U/R), представляющей собой прямую, проходящую через точки Uг на оси абсцисс и Uг/R- на оси ординат. Поскольку нелинейный и линейный элементы соединены последовательно, то ВАХ НЭ и прямая I = (Uг -U/R),определяющие один и тот же ток, удовлетворяются одновременно, чему на графиках рис. 8, в соответствует точка их пересечения. Она и определяет искомые значения постоянных напряжения U0 и тока I0 в нелинейном резисторе, или, как принято говорить, его рабочую точку.

Графические построения, связанные с решением задачи, всегда выполнимы, а найденное ее решение — единственное.

Рабочая точка нелинейного резистора изменяется как с изменением сопротивления R, так и с изменением задающего напряжения источника Uг. Изменение сопротивления R приводит к изменению наклона зависимости I = (Uг -U/R) и смещению рабочей точки на вольт-амперной характеристике нелинейного резистора (см. рис. 9, а). Изменение задающего напряжения на величину DUг вызывает перемещение той же зависимости параллельно самой себе и изменение тока и напряжения в нелинейном резисторе соответственно на величины DU и DI(см. рис. 9, б).

Напомним, что отношение бесконечно малого приращения тока к бесконечно малому приращению напряжения на нелинейном элементе, обусловленных смещением рабочей точки, называется дифференциальной проводимостью (крутизной), а обратное отношение — дифференциальным сопротивлением нелинейного резистора в его рабочей точке.

Отношение постоянных тока и напряжения в рабочей точке нелинейного резистора определяет его статистическую проводимость, а обратное отношение — статическое сопротивление резистора в его рабочей точке.

Статическая проводимость пассивного нелинейного резистора всегда положительна. Положительна и дифференциальная проводимость нелинейного резистора с однозначной вольт-амперной характеристикой в силу возрастающего характера последней. Заметим также, что статическая и дифференциальная проводимости линейного резистора не отличаются одна от другой.

Нелинейный резистивный элемент с многозначной характеристикой. Пусть многозначная ВАХ нелинейного резистивного элемента в схеме рис. 7 имеет вид, показанный на рис. 10, а. Это характеристика туннельного диода. Для нахождения рабочей точки на ВАХ резистивного НЭ. применим те же, что и выше, графические построения.