Лекции по математике (ТХФИ11) / 1 семестр_Лекция комплексные числа
Определение. Комплексным числом z называется выражение 
, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, которая определяется соотношением:
При этом число a называется действительной частью числа z (a = Re z), а b— мнимой частью (b = Im z).
Если a =Re z =0, то число z будет чисто мнимым, если b = Im z = 0, то число z будет действительным.
Определение. Числа 
и 
называются комплексно – сопряженными.
Определение. Два комплексных числа 
и 
называются равными, если соответственно равны их действительные и мнимые части:
Определение. Комплексное число равно нулю, если соответственно равны нулю действительная и мнимая части.
Понятие комплексного числа имеет геометрическое истолкование. Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел за счет включения множества мнимых чисел. Комплексные числа включают в себя все множества чисел, которые изучались ранее. Так натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные числа являются, вообще говоря, частными случаями комплексных чисел.
Если любое действительное число может быть геометрически представлено в виде точки на числовой прямой, то комплексное число представляется точкой на плоскости, координатами которой будут соответственно действительная и мнимая части комплексного числа. При этом горизонтальная ось будет являться действительной числовой осью, а вертикальная — мнимой осью.
Таким образом, на оси Оx располагаются действительные числа, а на оси Оy – чисто мнимые.
С помощью подобного геометрического представления можно представлять числа в так называемой тригонометрической форме.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Из геометрических соображений видно, что 
. Тогда комплексное число можно представить в виде:
Такая форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
При этом величина r называется модулем комплексного числа, а угол — аргументом комплексного числа.
.
Из геометрических соображений видно:
Очевидно, что комплексно – сопряженные числа имеют одинаковые модули и противоположные аргументы.
Действия с комплексными числами.
Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.
1) Сложение и вычитание.
2) Умножение.
В тригонометрической форме:
, 
С случае комплексно – сопряженных чисел:
В тригонометрической форме:
4) Возведение в степень.
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:
,
где n – целое положительное число.
Это выражение называется формулой Муавра. (Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т.д. углов.
Пример. Найти формулы sin2 и cos2.
Рассмотрим некоторое комплексное число 
Тогда с одной стороны 
.
По формуле Муавра: 
Приравнивая, получим 
Т.к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
Получили известные формулы двойного угла.
5) Извлечение корня из комплексного числа.
Возводя в степень, получим:
Отсюда: 
Таким образом, корень n – ой степени из комплексного числа имеет n различных значений для k=0,1. n-1.
Показательная форма комплексного числа.
Рассмотрим показательную функцию 
Можно показать, что функция w может быть записана в виде:
Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее.
Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:
1) 
2) 
3) 
где m – целое число.
Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:
Для комплексно – сопряженного числа получаем:
Из этих двух уравнений получаем:
Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.
Если представить комплексное число в тригонометрической форме:
и воспользуемся формулой Эйлера: 
Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.
Разложение многочлена на множители.
Определение. Функция вида f(x) 
называется целой рациональной функцией от х.
Теорема Безу. (Этьенн Безу (1730 – 1783) – французский математик)
При делении многочлена f(x) на разность x – a получается остаток, равный f(a).
Доказательство. При делении многочлена f(x) на разность x – a частным будет многочлен f1(x) степени на единицу меньшей, чем f(x), а остатком – постоянное число R.
Переходя к пределу при х a, получаем f(a) = R.
Следствие. Если, а – корень многочлена, т.е. f(a) = 0, то многочлен f(x) делится на (х – а) без остатка.
Определение. Если уравнение имеет вид Р(х) = 0, где Р(х) – многочлен степени n, то это уравнение называется алгебраическим уравнением степени n.
Теорема. (Основная теорема алгебры) Всякая целая рациональная функция f(x) имеет, по крайней мере, один корень, действительный или комплексный.
Теорема. Всякий многочлен n – ой степени разлагается на n линейных множителей вида (x – a) и множитель, равный коэффициенту при x n .
Теорема. Если два многочлена тождественно равны друг другу, то коэффициенты одного многочлена равны соответствующим коэффициентам другого.
Если среди корней многочлена встречаются кратные корни, то разложение на множители имеет вид:
ki — кратность соответствующего корня.
Отсюда следует, что любой многочлен n – ой степени имеет ровно n корней (действительных или комплексных).
Это свойство имеет большое значение для решения алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений и играет важную роль в анализе функций.
Рассмотрим несколько примеров действий с комплексными числами.
Пример. Даны два комплексных числа 
. Требуется а) найти значение выражения 
в алгебраической форме, б) для числа 
найти тригонометрическую форму, найти z 20 , найти корни уравнения 
Очевидно, справедливо следующее преобразование:
Далее производим деление двух комплексных чисел:
Получаем значение заданного выражения: 16(-i) 4 = 16i 4 =16.
б) Число 
представим в виде 
, где
Тогда 
.
Для нахождения 
воспльзуемся формулой Муавра.
Если 
, то 
Подставляя последовательно k=0, k=1 и k=2 и производя вычисления получим 3 значения корня кубического.
Что такое комплексные числа
Первый урок по комплексным числам. Сегодня мы разберём:
-
и зачем она нужна; ; ; ; ; .
Если же вас интересует тригонометрическая форма записи комплексного числа, либо извлечение корней из комплексных чисел — этим темам посвящены отдельные уроки.
Сегодня — лишь самое главное. Но не самое простое.:)
0. Краткая вводная
Когда-то нам хватало натуральных чисел:
Всё было прекрасно: «У тебя 5 бананов, у меня ещё 3 — итого у нас 5 + 3 = 8 бананов». Сумма двух натуральных чисел всегда даёт новое натуральное число (говорят, что операция сложения замкнута на множестве натуральных чисел).
Но вот на сцену выходит вычитание — и натуральных чисел стало недостаточно. Например разность 3 − 5 = −2 уже не будет натуральным. Так появились целые числа (натуральные, им противоположные и ноль):
Дальше к делу подключились операции умножения и деления. Да, произведение двух целых чисел всё ещё целое, но вот деление приводит к образованию дробей. Например, 1 : 2 или 5 : 4 уже нельзя записать целым числом. Так появилось множество рациональных чисел или множество дробей:
Это был настоящий триумф для древней математики, и в тот момент казалось, что ничего больше уже изобрести нельзя. Да и зачем?
Проблема пришла откуда не ждали. В какой-то момент классическое умножение «разрослось» до возведения в степень:
Тут-то и выяснилось, что возведение рационального числа в натуральную степень всё ещё будет рациональным числом. Но вот обратная операция — извлечение корня — выносит нас за пределы рациональных чисел:
\[\sqrt<2>=1,41421. \notin \mathbb\]
Так появилось множество действительных чисел — множество бесконечных десятичных дробей, которые могут быть периодическими (и тогда это обычное рациональное число) и непериодическими (такие числа называют иррациональными, и их неизмеримо больше).
Казалось бы: ну вот теперь точно всё! Что ещё нужно для счастья? Проблема в том, что на множестве действительных чисел нельзя извлечь даже самый простой квадратный корень из отрицательного числа:
Однако законы физики (особенно электродинамика и вообще всё, где есть слово «динамика») как бы намекали, что множество содержательных процессов протекает там, где привычные корни не извлекаются. А значит, следует расширить множество действительных чисел так, чтобы такие корни всё же извлекать.
И тут открылись врата в Ад.
1. Комплексная единица
Начнём с ключевого определения.
Определение. Комплексная единица — это число $i$, которое при возведении в квадрат даёт −1:
\[<^<2>>=-1\]
Очевидно, комплексная единица не является привычным нам действительным числом: $i\notin \mathbb
Однако в остальном это такое же число, как и все остальные. Комплексные единицы можно складывать, умножать, их можно комбинировать с «нормальными» числами:
В последнем примере мы сгруппировали слагаемые и провели подобные — совсем как с многочленами. Нельзя напрямую сложить действительное число и комплексную единицу, поскольку сущность числа $i$ нам не ясна. Но привести подобные — всегда пожалуйста.
И это первое замечательное свойство комплексной единицы. По сути, работать с ней — всё равно что работать с многочленом. Просто вместо переменной $x$ теперь будет $i$. Ну и помним, что $<^<2>>=-1$, что ещё больше упрощает жизнь:
Обратите внимание: запись $1+i$ является окончательной, её нельзя упростить. Точно так же нельзя упростить многочлен $kx+b$, например. И тут мы плавно переходим к следующему пункту.
2. Стандартная форма записи комплексных чисел
А теперь всё по-взрослому.
Определение. Комплексное число — это любое число вида
\[z=a+bi\]
где $a$ и $b$ — действительные числа. При этом число $a$ называют действительной частью комплексного числа (пишут $a=\operatorname
\left( z \right)$), а число $b$ — мнимой частью (пишут $b=\operatorname \left( z \right)$).
Часто комплексные числа обозначают именно буквой $z$. Хотя это совсем необязательно. И выглядит это примерно так:
\[\begin
Запись вида $z=a+bi$ называется стандартной формой записи комплексного числа. Всякое действительно число можно представить в виде комплексного с нулевой мнимой частью:
\[\begin
И напротив: существуют «чисто мнимые» числа, у которых вообще нет действительной части. Та же комплексная единица, например:
Таким образом, действительные числа являются частным случаем комплексных. Подобно тому как рациональные числа являются частным случаем действительных (в конце концов, рациональные числа — те же десятичные дроби, но с дополнительным условием: они периодические).
2.1. Равенство комплексных чисел
Важно понимать, что пара чисел $a$ и $b$ однозначно задаёт комплексное число. Не существует двух разных представлений одного и того же числа $z$.
Поэтому имеет смысл следующее определение.
Поскольку от перестановки слагаемых сумма не меняется (сложение чисел — настолько суровая операция, что какие-то там «комплексные единицы» никак не нарушают его коммутативности), мы можем записать:
А вот перестановка мнимой и действительной части (если эти части разные) немедленно ведёт к нарушению равенства:
Подобно тому как точки с координатами (5; 7) и (7; 5) — это разные точки координатной плоскости, вот так и числа $5+7i$ и $7+5i$ — это разные числа. Помните об этом.:)
К координатной плоскости мы ещё вернёмся. А пока определим правила сложения и вычитания комплексных чисел.
3. Сложение и вычитание комплексных чисел
Выше мы проводили аналогию между комплексными числами и многочленами. Идём по этому пути дальше и вспоминаем, что многочлены можно складывать, группируя слагаемые и приводя подобные:
Точно так же можно определить и сложение (да и вычитание) двух комплексных чисел. Всё просто:
Не нужно учить эти формулы. Дальше будут формулы умножения и деления — они ещё сложнее. Нужно понять ключевую идею: мы работаем с комплексными числами точно так же, как с многочленами. С небольшим дополнением: все степени комплексной единицы выше первой «сжигаются» прямо по определению самой единицы:
Небольшое замечание. В отличие от математики 5—6 классов, в серьёзной «взрослой» алгебре нет такого понятия как «вычитание». Зато есть понятие противоположного элемента и алгебраической суммы:
Всё это в полной мере относится и к комплексным числам. Там тоже есть противоположные:
\[z=a+bi\Rightarrow -z=\left( -a \right)+\left( -b \right)\cdot i\]
Есть ноль (нейтральный элемент по сложению):
\[\begin
В общем, множество комплексных чисел — это абсолютно «нормальное» множество с понятной операцией сложения. Буквально через пару минут мы определим и умножение, но сначала давайте всё-таки запишем определение самого множества комплексных чисел.
Определение. Множество комплексных чисел — это множество чисел вида $z=a+bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, $<^<2>>=-1$ — комплексная единица.
Записывается это так:
\[\mathbb
=\left\< a+bi|a,b\in \mathbb ;<^<2>>=-1 \right\>\]
Не пугайтесь, когда увидите подобную запись где-нибудь в учебнике алгебры. По сути, это краткая запись всего того, о чём мы говорили выше. Ничего нового мы здесь не узнали.
А вот что действительно представляет интерес — сейчас узнаем.:)
4. Геометрическая интерпретация комплексных чисел
Итак, комплексное число — это просто конструкция вида $a+bi$. И такая конструкция однозначно определяется парой действительных чисел $\left( a;b \right)$. Такую пару ещё называют упорядоченной. К примеру, (3; 17) и (17; 3) — это разные пары, которые задают разные комплексные числа.
Такие упорядоченные пары удобно рассматривать как координаты точек. По горизонтали (ось абсцисс) мы будем отмечать действительную часть числа, а по вертикали (ось ординат) — мнимую.
Определение. Комплексная плоскость — декартова система координат, где по горизонтали отмечается действительная часть комплексного числа, а по вертикали — мнимая.
Рассмотрим несколько примеров. Отметим на комплексной плоскости числа:
Как видим, привычные нам действительные числа располагаются по горизонтали — на оси абсцисс. Они состоят только из действительной части. Таким числом является $<
А ещё есть «чисто мнимые» комплексные числа, у которых вообще нет действительной части. Они располагаются по вертикали — на оси ординат. Таким числом является, например, $<
4.1. Ещё раз о сложении и вычитании
Такое представление чисел — в виде точек на комплексной плоскости — называется геометрической интерпретацией. Числа в таком виде удобно складывать и вычитать. По сути, всё сводится к сложению обычных векторов.
Допустим, мы хотим сложить два числа:
Отметим эти числа на комплексной плоскости, построим векторы из начала координат с концами в отмеченных точках, а затем просто сложим эти векторы (по правилу треугольника или параллелограмма — как пожелаете):
Координаты новой точки: (6; 2). Следовательно, сумма равна:
Аналогичный результат можно получить и алгебраически:
Как видим, алгебраические выкладки заняли гораздо меньше времени и места. Уже хотя бы потому что не потребовалось чертить систему координат.:)
Зачем же тогда нужна комплексная плоскость и геометрическая интерпретация? Всё встанет на свои места буквально через пару уроков, когда мы рассмотрим тригонометрическую форму записи комплексных чисел, а также будем извлекать из этих чисел корни.
А чтобы подготовиться к этим урокам, рассмотрим ещё два ключевых определения.
5. Комплексно-сопряжённые и модуль числа
Для начала вспомним школьную алгебру. Работа с многочленами, 7-й класс:
Важное замечание: в роли $a$ и $b$ может выступать что угодно. Например, в 8-м классе мы использовали сопряжённые для избавления от иррациональности в знаменателе:
В математических классах с помощью сопряжённых искали обратные числа, чтобы затем решать сложные показательные и логарифмические уравнения:
Теперь настало время комплексных чисел. В них тоже можно ввести понятие сопряжённых.
5.1. Комплексно-сопряжённые
Определение. Пусть дано комплексное число $z=a+bi$. Тогда комплексно-сопряжённым называется число
\[\overline
=a-bi\] Комплексно-сопряжённые числа отмечаются чертой сверху.
Рассмотрим несколько примеров:
\[\begin
Видим, что комплексно-сопряжённое к «чисто мнимому» числу есть число, ему противоположное. А комплексно-сопряжённое к действительному числу есть само это число.
Зачем нужны комплексно-сопряжённые? Вспомним всё ту же формулу разности квадратов:
Итак, произведение числа на комплексно-сопряжённое даёт сумму квадратов действительной и мнимой части. Это ключевое свойство комплексно-сопряжённых, и оно позволяет нам рассмотреть следующее определение.
5.2. Модуль комплексного числа
Снова вспомним школьную алгебру. Модуль действительного числа определяют так:
\[\left| a \right|=\left\ < \begin
Ключевая идея: модуль числа — это всегда неотрицательная величина, равная расстоянию от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта. Но всё это происходит на числовой прямой. На комплексной плоскости к делу подключается теорема Пифагора.
Определение. Модуль комплексного числа — это величина, которая обозначается $\left| z \right|$ и считается по формуле:
\[\left| z \right|=\sqrt<<^<2>>+<^<2>>>\]
Вновь обратимся к геометрической интерпретации:
Красным отмечен прямоугольный треугольник с катетами $\left| a \right|$ и $\left| b \right|$. По теореме Пифагора его гипотенуза как раз равна $\left| z \right|$:
Таким образом, модуль комплексного числа — это расстояние от начала координат до точки, соответствующей этому числу. В частности, при $b=0$ мы получаем классическое определение модуля для действительных чисел:
\[b=0\Rightarrow \left| z \right|=\sqrt<<^<2>>>\]
Получается, что на множестве комплексных чисел нельзя ввести привычные нам понятия «больше» или «меньше». Поскольку каждое число характеризуется двумя независимыми параметрами (действительной и мнимой частью), нет универсальной меры, нет отношения порядка.
- Поменяли работу — на новой зарплата выше, но коллектив хуже. Что важнее?
- Ушли из универа — теперь есть время на работу, но нет формального образования. И вновь: что важнее?
Модуль числа нам пригодится в следующем уроке. А вот комплексно-сопряжённые мы будем применять уже сейчас.
6. Умножение и деление комплексных чисел
Комплексные числа можно не только складывать и вычитать, но даже умножать и делить друг на друга.
6.1. Умножение
С умножением ничего особенного.
Определение. Пусть даны два комплексных числа: $<
_<1>>=a+bi$ и $< _<2>>=c+di$. Тогда их можно умножить: \[\begin
< _<1>>\cdot < _<2>> & =\left( a+bi \right)\left( c+di \right)= \\ & =ac+bc\cdot i+ad\cdot i+bd\cdot <^<2>>= \\ & =\left( ac-bd \right)+\left( ad+bc \right)\cdot i\end \] Как видим, произведение комплексных чисел вновь даёт комплексное число.
Как и в случае со сложением, не нужно учить эти формулы наизусть. Лучше просто потренироваться и понять сам механизм:
\[\begin
Достаточно решить 10—15 таких примеров — и никакие специальные формулы и определения вам больше не понадобятся. То же самое и с делением.
6.2. Деление
Финальный бросок — попробуем разделить одно комплексное число на другое. Разумеется, делитель не должен быть нулём, иначе частное не определено.
Саму формулу не нужно запоминать. Достаточно лишь отметить для себя, что мы умножили числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряжённое к знаменателю. Само деление можно выполнять напролом:
Тем не менее, даже после основательной тренировки умножение и особенно деление комплексных чисел остаётся трудоёмкой операцией, где можно допустить множество ошибок. Поэтому для таких операций (а также для кое-чего гораздо более серьёзного) математики придумали другую форму записи комплексных чисел — тригонометрическую. С ней мы и познакомимся на следующем уроке.:)
Комплексные числа — роль комплексных чисел в науке
Математика оперирует понятием действительные числа, но часто этого недостаточно, чтобы провести все операции и решить все уравнения. Поэтому математиками было введено понятие комплексные числа, более широкое понятие, чем действительные.
Чтобы решить простые примеры из натуральных чисел, не нужны новые понятия. Но вот чтобы найти решение уравнения с буквенными обозначениями, нужно использовать комплексные числа. Комплексное число — это число двухмерного вида, которое отличается от обычных своим составом: в нем есть действительная и мнимая часть. Его вид — z = a+bi, где i — это и есть такая самая мнимая единица. Представить в реальности комплексное число так же, как натуральное, невозможно, зато его можно записать с помощью обычной оси координат, геометрическим способом.
Понятие комплексных чисел
Комплексные числа — основное понятие не только математики. Их применяют для построения математических моделей волн и колебаний в смежных дисциплинах. Поэтому тема комплексные числа входит в основной блок физики для студентов физико-математических вузов.
Комплексные числа как математический термин появились в 16 веке. Уже тогда итальянские математики ввели в обиход эти числа и формальное решение уравнения, которое сводилось к извлечению квадратного корня из минус 1. Сначала такие числа получили название мнимых, затем им дали названия комплексные числа. Интересно, что сам математик, который ввел их в научное употребление, решил, что они бесполезны и никому не нужны, так как имеют парадоксальную сущность. Он даже назвал их софистическими числами, показывая всю их нестандартность. Это действительно был научный парадокс — квадратный корень из минус единицы был бессмысленным числом, но если сложить два таких числа, то результат получается вполне реальным. Из-за неясной сущности комплексных чисел, их необычного вида ученые считали их даже чем-то мистическим, “прибежищем божественного духа”.
Первые применения комплексных чисел
Впервые применять комплексные числа в решениях уравнений начали Лейбниц и Бернулли. Лейбницу же принадлежит утверждение, что комплексное число — не что иное, как логарифм отрицательного числа. Эйлер и Даламбер развили понятие комплексных чисел и стали широко применять в смежных дисциплинах. Они открыли несколько полезных свойств комплексных чисел и выяснили их удобство в решении задач по геодезии, составлению карт, гидродинамики.
Однако несмотря на все достижения, математики опасались широко использовать комплексные числа в повседневной практике, считая их ненастоящими и фантастичными. Вносило путаницу само словосочетание “мнимая единица”. Математики рассуждали так — ведь не существует квадрата, сторона которого равна минус одному? Но почему тогда вычисления с такими ненастоящими числами приводят к вполне осязаемому и правильному результату?
Поэтому главная задача математики того времени — либо принять комплексные числа, как некие допущения, либо объяснить их существование. Существенный вклад в изучение комплексных чисел внес немецкий математик Гаусс, давший их обоснование с точки зрения арифметики и нашел способ записать их геометрически.
Гиперкомплексные числа
Активнее всего над теорией комплексных чисел работал математик Гамильтон, который расширил их понятие и ввел новый термин — гиперкомплексные числа.
Основная задача, которую успешно решает комплексное число, — любое уравнение имеет решение, даже если для этого придется извлечь корень из отрицательного числа. Если принять, что любое действительное число — это точка на оси координат, а комплексное число тоже можно отложить на оси координат, получим, что оно — не более чем расширение понятия действительного числа, а действительные числа — это элемент множества комплексных чисел.
Для комплексных чисел нельзя сказать: больше оно или меньше, поэтому между ними нельзя поставить знак неравенства. Основное правило комплексных чисел — они равны тогда, когда равны обе их части, и мнимая, и действительная. Если числа отличаются только своей мнимой частью, они получают название сопряженных.
Тригонометрическая формулировка комплексных чисел
Комплексные числа записывают методами алгебры, и тогда с ними можно выполнять разные арифметические действия: складывать между собой, вычитать, получать произведение, делить и возводить в степень. Однако если говорить об извлечении корня, выполнить это действие над алгебраической формой нельзя. Для этого у числа должна появиться тригонометрическая форма, согласно которой комплексное число — точка на плоскости между осями координат.
Аргумент комплексного числа — это угол, образуемый между вектором (это и есть геометрическое начертание комплексного числа) и осью координат. Длина вектора — модуль комплексного числа. У каждого комплексного числа есть две важнейшие характеристики — модуль и аргумент. Причем модуль — это всегда положительное и действительное число. Иногда он равняется нулю, но если вектор состоит из точки 0. А вот аргумент — любое число, с плюсом или минусом.
Над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, можно выполнять арифметические действия. Например, умножение — чтобы умножить комплексные числа между собой, складывают числовые значения аргументов и перемножают модули. Можно возвести их в натуральную степень — это действие производится по формуле Муавра. Согласно ей, чтобы возвести в натуральную степень комплексное число, нужно посчитать произведения аргумента и показателя степени, а его модуль возвести в эту степень. Эта же формула работает и для отрицательных чисел.
Комплексное число можно записать не только с помощью средств алгебры и тригонометрии, но и показательной форме. Именно в таком виде они используются в электротехнике. Эту форму изобрел и предложил математик Эйлер, который записал комплексное число как число со степенью с комплексным показателем. В этой форме можно производить любые операции — сложение, вычитание, деление, умножение, возведение в степень и извлечение из него.
Урок 38. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами
3) действия с комплексными числами и действия над ними.
Глоссарий по теме
Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа.
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.
Два комплексных числа z = a + bi и 
= a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z,
Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.
Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2 i называется комплексное число z, определяемое равенством:
Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.
Основная литература:
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.
Дополнительная литература:
Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = —1.
Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.
Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа. При этом выполняются условия:
б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:
в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:
Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.
Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0
Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.
Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.
Два комплексных числа z = a + bi и 
= a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.
Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.
Определение. Суммой комплексных чисел z1 = a1 + b1 i и z2 = a2 + b2i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z1 и z2, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z1 и z2, то есть z = (a1 + a2) + (b1 + b2) i.
Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0
Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Вычитание.
Определение. Вычесть из комплексного числа z1 комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z + z2 =z1.
Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.
Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i).
(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i.
Определение. Произведением комплексных чисел z1=a1+ b1 i и z2=a2+b2i называется комплексное число z, определяемое равенством:
Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:
3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:
4º. z · 
= (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2 — действительное число.
На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.
В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.
Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).
1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3⋅ (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i =
= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.
2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) =
= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
Определение. Разделить комплексное число z1 на комплексное число z2, значит найти такое комплексное число z, что z · z2 = z1.
Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z2 ≠ 0 + 0i.
На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.
Пусть z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i, тогда 
В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.
Пример 4. Найти частное
5) Возведение в целую положительную степень.
а) Степени мнимой единицы.
Пользуясь равенством i 2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:
i 4 = i 2 i 2 = 1,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.
Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .
Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.
Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17 ) · i 23 .
i 36 = (i 4 ) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4⋅ 4+1 = (i 4 ) 4 ⋅ i = 1 · i = i.
i 23 = i 4⋅ 5+3 = (i 4 ) 5 ⋅ i 3 = 1 · i 3 = — i.
(i 36 + i 17 ) · i 23 = (1 + i) (- i) = — i + 1= 1 – i.
б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.
Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3⋅ 4 2 ⋅ 2i + 3⋅ 4⋅ (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
Стоит отметить. что с помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.
Пример 7. Решите уравнения:
а) x 2 – 6x + 13 = 0; б) 9x 2 + 12x + 29 = 0.
Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b 2 – 4ac.
Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6) 2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения находим по формулам
б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b 2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,
Находим корни уравнения:
Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.
Разбор решения заданий тренировочного модуля
№1. Тип задания: единичный выбор
Вычислите сумму (2 + 3i)+ (5 – 7i).
- 7 +4i
- 7 — 4i
- 6 — 3i
- 6 + 3i
Решение: 2 + 3i + 5 — 7i = (2 + 5) + (3 — 7)i = 7 — 4i.
Можем сделать вывод, что верный ответ
№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.