Шкала. Координатный луч
С помощью линейки можно начертить различные геометрические фигуры, например, отрезок. У отрезка есть длина, ее тоже можно измерить с помощью линейки. Если посмотреть на самую обычную линейку, то видно, что на ней отмечены черточки, каждой из которых соответствует какое-то число.
Определение цены деления
Обычно с помощью линейки измеряется длина в сантиметрах, но на самых обычных канцелярских приборах есть еще более маленькие черточки между отметинами для миллиметров.
Посмотрим на картинку:
На рисунке изображены линейки. Можно увидеть, что между 0 и 1 на разных линейках находится разное количество столбиков.
Например, если посмотреть на нижнюю линейку, то можно увидеть 1 штрих между 0 и 1. Понятно, что ему соответствует длина в половину сантиметра. В таком случае говорят, что шкале соответствует цена деления в 0,5 сантиметра или 5 миллиметров.
У линейки номер два цена деления равна 0,2 сантиметра, а у номера один — 0,1 сантиметра.
Цена деления − это значение величины, которое соответствует разности двух ближайших отметок на этой шкале.
Примеры приборов с разной ценой деления
Мы сталкиваемся с разными приборами на протяжении всей жизни. Мы измеряем температуру, давление, скорость и другие величины с помощью них. У всех этих приборов есть своя цена деления.
Например, выше изображен термометр. Этот прибор измеряет температуру (это видно, поскольку на приборе написано обозначение ℃ для градусов Цельсия). Его цена деления составляет 2℃.
Как это определить? Допустим, возьмем первые две большие отметки: 0 и 20. Между ними находится 10 промежутков (черточек всегда на 1 меньше). После этого из 20 вычитается 0, в результате получается 20, а 20 делится на 10. Результатом вычисления являются 2 градуса Цельсия.
Еще один пример − это спидометр. Он измеряет скорость. На приборе написано, что скорость измеряется в км/ч. Цена деления составляет 10 км/ч.
Построение координатного луча
Все представленные приборы нужны для измерения физических величин. Они имеют конечную шкалу.
Математик тоже может создать свою шкалу, причем бесконечную.
Начертим луч ОХ произвольной длины. Букве О будет соответствовать число 0, так как это начало шкалы. На произвольном расстоянии от О поставим букву А и ей в соответствие число 1.
Теперь от точки А отложим отрезок равный ОА и поставим точку В. Ей в соответствие поставим число 2.
На луче можно бесконечно откладывать отрезки равные ОА.
Словарик терминов
Полученную шкалу называют координатным лучом, отрезок ОА − это единичный отрезок, а О − это начало отсчета.
Пример координатного луча:
На рисунке точке С соответствует 3. В таком случае говорят, что число 3 является координатой точки С. Записывается: С (3).
Когда отмечают точку, говорят: “Отметим точку с координатой, равной…”. Можно сказать короче: “отметим число…”.
Итог: что нам теперь известно?
У приборов есть цена деления. Она может быть выражена в разных единицах измерения. У математиков тоже есть своя шкала, которая называется координатным лучом. У координатного луча есть начало отсчета и единичный отрезок. У точек, которые лежат на координатном луче, есть координаты.
Шкалы, координаты
Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.
Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.
Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).
Рисунок 1. Измерительная линейка.
Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.
Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).
Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.
Каждой ваше пожертвование увеличивает количество полезной и интересной информации на сайте Easy-Math.ru!
Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.
Чтобы узнать цену деления шкалы , нужно:
1. взять любые два значения на шкале (лучше брать соседние, обозначенные числами),
2. найти разность между ними,
3. посчитать количество делений шкалы, которые находятся между выбранными нами значениями,
4. результат деления числа, полученного в пункте 2, на число, полученной в пункте 3, и будет ценой деления данной шкалы.
Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.
Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.
Рисунок 2 Цена деления шкалы
Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?
Конечно же разную! Хоть столбик этих двух термометров и находится на высоте двух делений над значением 20, цена этих делений разная . Левый термометр показывает температуру 22°C (читается как двадцать два градуса Цельсия), а правый — 24°C.
Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:
- левый термометр – 10:10=1°C;
- правый термометр – 20:10=2°C.
Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.
Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки
Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.
Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.
Рис. 3. Луч с началом в точке O
Отметим на этом луче отрезок произвольной длины OP . Справа от него отметим равный ему отрезок PR , и продолжим отмечать далее подобным образом отрезки, равные отрезку OP , до тех пор, пока не закончится нарисованный нами луч. В итоге у нас получится следующее.
Рис. 4. Луч с равными отрезками
Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).
Отрезок OR у нас состоит из двух отрезков: OP и PR , то есть OR = OP + PR . А так как по условиям нашего построения PR = OP , то мы можем записать, что OR = OP + OP , или OR = 1 + 1 = 2 .
Поставим возле точки R найденное нами значение длины отрезка OR , то есть, число 2 .
Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.
Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами
Покажу еще раз на примере точки S :
так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),
подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:
Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.
Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.
Рис. 6. Координатный луч
Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.
Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.
Равные отрезки , на которые мы разбили луч, – это деления шкалы .
Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.
Другими словами, единичный отрезок можно назвать ценой деления .
Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.
Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.
Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.
Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка
Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).
Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.
Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.
На числовом луче можно отобразить какое угодно число n , принадлежащее натуральному ряду. Для этого на нем отмечают точку (к примеру, A ) на расстоянии n единичных отрезков от точки отсчета O . При этом число n называют координатой точки A и записывают в виде A ( n ), что читается как «точка A с координатой n » .
Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.
Для примера отметим на координатном луче точки A , B , C и определим их координаты.
Рис. 8. Координаты точек
Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).
В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.
Как читать показания линейки
Соавтор(ы): Jessie Antonellis-John. Джесси Антонеллис-Джон — преподаватель математики и естественных наук из Юго-Западного Орегонского муниципального коллджа. Имеет более 10 лет опыта, специализируется на составлении учебных программ. Получила степень PhD по педагогике и педагогическому образованию в Аризонском университете, степень магистра педагогики в Западном губернаторском университете и степень бакалавра по астрофизике в Колледже Маунт-Холиок. Является соавтором нескольких журнальных статей для рецензируемых профессиональных изданий.
Погрешности измерений, представление результатов эксперимента
Определяется несовершенством методов и допущениями в методике.
Погрешность теории (модели)
Определяется теоретическими упрощениями, степенью соответствия теоретической модели и реальности.
Погрешность оператора
Определяется субъективным фактором, ошибками экспериментатора.
Примеры значащих цифр:
0,403 – три значащих цифры, величина определена с точностью до тысячных.
40,3 – три значащих цифры, величина определена с точностью до десятых.
40,300 – пять значащих цифр, величина определена с точностью до тысячных.
В простейших измерениях инструментальная погрешность прибора является основной.
В таких случаях физическую величину измеряют один раз, полученное значение берут в качестве истинного, а абсолютную погрешность считают равной инструментальной погрешности прибора.
Примеры измерений с абсолютной погрешностью равной инструментальной:
- определение длины с помощью линейки или мерной ленты;
- определение объема с помощью мензурки.
Пример получения результатов прямых измерений с помощью линейки:
 |
Измерим длину бруска линейкой, у которой пронумерованы сантиметры и есть только одно деление между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: \begin Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,00\pm 0,25)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,25><4,00>\cdot 100\text<%>=6,25\text<%>\approx 6,3\text <%>$$ |
 |
Теперь возьмем линейку с n=9 мелкими делениями между пронумерованными делениями. Цена деления такой линейки: \begin Результат измерений: $$ L=L_0\pm d=(4,15\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительная погрешность: $$ \delta=\frac<0,05><4,15>\cdot 100\text<%>\approx 1,2\text <%>$$ |
Второе измерение точнее, т.к. его относительная погрешность меньше.
п.5. Абсолютная погрешность серии измерений
Измерение длины с помощью линейки (или объема с помощью мензурки) являются теми редкими случаями, когда для определения истинного значения достаточно одного измерения, а абсолютная погрешность сразу берется равной инструментальной погрешности, т.е. половине цены деления линейки (или мензурки).
Гораздо чаще погрешность метода или погрешность оператора оказываются заметно больше инструментальной погрешности. В таких случаях значение измеренной физической величины каждый раз немного меняется, и для оценки истинного значения и абсолютной погрешности нужна серия измерений и вычисление средних значений.
Пример расчета истинного значения и погрешности для серии прямых измерений:
Пусть при измерении массы шарика с помощью рычажных весов мы получили в трех опытах следующие значения: 99,8 г; 101,2 г; 100,3 г.
Инструментальная погрешность весов d = 0,05 г.
Найдем истинное значение массы и абсолютную погрешность.
Составим расчетную таблицу:
| № опыта | 1 | 2 | 3 | Сумма |
| Масса, г | 99,8 | 101,2 | 100,3 | 301,3 |
| Абсолютное отклонение, г | 0,6 | 0,8 | 0,1 | 1,5 |
Сначала находим среднее значение всех измерений: \begin
Затем считаем абсолютное отклонение каждого опыта как модуль разности \(m_0\) и измерения. \begin
Поэтому абсолютная погрешность измерения массы: \begin
п.6. Представление результатов эксперимента
Как найти результат прямого измерения, мы рассмотрели выше.
Результат косвенного измерения зависит от действий, которые производятся при подстановке в формулу величин, полученных с помощью прямых измерений.
- абсолютная погрешность их суммы равна сумме абсолютных погрешностей
- абсолютная погрешность их разности также равна сумме абсолютных погрешностей
- относительная погрешность их произведения равна сумме относительных погрешностей
- относительная погрешность их частного также равна сумме относительных погрешностей
- относительная погрешность квадрата \(a^2\) равна удвоенной относительной погрешности
- относительная погрешность куба \(a^3\) равна утроенной относительной погрешности
- относительная погрешность произвольной натуральной степени \(a^n\) равна
Вывод этих формул достаточно сложен, но если интересно, его можно найти в Главе 7 справочника по алгебре для 8 класса.
п.7. Задачи
Задача 1. Определите цену деления и объем налитой жидкости для каждой из мензурок. В каком случае измерение наиболее точно; наименее точно?
Составим таблицу для расчета цены деления:
| № мензурки | a, мл | b, мл | n | \(\triangle=\frac |
| 1 | 20 | 40 | 4 | \(\frac<40-20><4+1>=4\) |
| 2 | 100 | 200 | 4 | \(\frac<200-100><4+1>=20\) |
| 3 | 15 | 30 | 4 | \(\frac<30-15><4+1>=3\) |
| 4 | 200 | 400 | 4 | \(\frac<400-200><4+1>=40\) |
Инструментальная точность мензурки равна половине цены деления.
Принимаем инструментальную точность за абсолютную погрешность и измеренное значение объема за истинное.
Составим таблицу для расчета относительной погрешности (оставляем две значащих цифры и округляем с избытком):
| № мензурки | Объем \(V_0\), мл | Абсолютная погрешность \(\triangle V=\frac<\triangle><2>\), мл |
Относительная погрешность \(\delta_V=\frac<\triangle V> |
| 1 | 68 | 2 | 3,0% |
| 2 | 280 | 10 | 3,6% |
| 3 | 27 | 1,5 | 5,6% |
| 4 | 480 | 20 | 4,2% |
Наиболее точное измерение в 1-й мензурке, наименее точное – в 3-й мензурке.
Ответ:
Цена деления 4; 20; 3; 40 мл
Объем 68; 280; 27; 480 мл
Самое точное – 1-я мензурка; самое неточное – 3-я мензурка
Задача 2. В двух научных работах указаны два значения измерений одной и той же величины: $$ x_1=(4,0\pm 0,1)\ \text<м>,\ \ x_2=(4,0\pm 0,03)\ \text <м>$$ Какое из этих измерений точней и почему?
Мерой точности является относительная погрешность измерений. Получаем: \begin
Ответ: \(\delta_2\lt \delta_1\), второе измерение точней.
Задача 3. Две машины движутся навстречу друг другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч.
Цена деления спидометра первой машины 10 км/ч, второй машины – 1 км/ч.
Найдите скорость их сближения, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Абсолютная погрешность скорости каждой машины равна инструментальной, т.е. половине деления спидометра: $$ \triangle v_1=\frac<10><2>=5\ (\text<км/ч>),\ \ \triangle v_2=\frac<1><2>=0,5\ (\text<км/ч>) $$ Показания каждого из спидометров: $$ v_1=(54\pm 5)\ \text<км/ч>,\ \ v_2=(72\pm 0,5)\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения равна сумме скоростей: $$ v_0=v_<10>+v_<20>,\ \ v_0=54+72=125\ \text <км/ч>$$ Для суммы абсолютная погрешность равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых. $$ \triangle v=\triangle v_1+\triangle v_2,\ \ \triangle v=5+0,5=5,5\ \text <км/ч>$$ Скорость сближения с учетом погрешности равна: $$ v=(126,0\pm 5,5)\ \text <км/ч>$$ Относительная погрешность: $$ \delta_v=\frac<5,5><126,0>\cdot 100\text<%>\approx 4,4\text <%>$$ Ответ: \(v=(126,0\pm 5,5)\ \text<км/ч>,\ \ \delta_v\approx 4,4\text<%>\)
Задача 4. Измеренная длина столешницы равна 90,2 см, ширина 60,1 см. Измерения проводились с помощью линейки с ценой деления 0,1 см. Найдите площадь столешницы, абсолютную и относительную погрешность этой величины.
Инструментальная погрешность линейки \(d=\frac<0,1><2>=0,05\ \text<см>\)
Результаты прямых измерений длины и ширины: $$ a=(90,20\pm 0,05)\ \text<см>,\ \ b=(60,10\pm 0,05)\ \text <см>$$ Относительные погрешности (не забываем про правила округления): \begin