Какие величины называются скалярными приведите примеры

12 самых важных примеров скалярной величины

примеры скалярных величин они присутствуют в повседневной жизни. Это те физические величины, которые определяются только действительным числом, которое выражает его меру в сопровождении соответствующих единиц.

Напротив, векторная величина — это величина, которая, помимо наличия действительного числа и единиц измерения, также требует полного определения адреса и смысла..

Наиболее распространенные примеры скалярных величин ежедневно используются большинством людей. Среди этих примеров — время, температура, масса и длина объекта..

12 основных примеров скалярных величин

1- длина

Длина состоит из измерения объекта с учетом его протяженности по прямой линии. Единица измерения, используемая в Международной системе единиц измерения (SIU), является метром и обозначается буквой m..

Например, длина линейки следующего изображения составляет 30 см..

2- Масса

В физике масса определяется как количество вещества в теле. Наиболее часто используемой единицей измерения является килограмм, который обозначается в кг..

Например, масса коробки составляет 4 кг..

3- Время

Одним из наиболее распространенных применений является использование времени. Это может быть измерено в секундах, минутах и часах. Это количество, которое используется для измерения интервала, в котором происходят события.

Например, продолжительность футбольного матча составляет 90 минут..

4- Температура

Это физическая величина, которая измеряет количество тепла или холода объекта или окружающей среды.

Единицей измерения являются градусы Цельсия, хотя обычно используются и другие шкалы, например, градусы Фаренгейта или градусы Кельвина..

Одно из самых больших применений — знать температуру окружающей среды; это зависит от одежды, которая будет использоваться в данный момент.

5- Электрический ток

Эта скалярная величина представляет поток электрического заряда, который перемещает материал. Этот поток обусловлен движением нагрузок внутри указанного материала..

Единица измерения, используемая для электрического тока, — это ампера, и она обозначается буквой А.

Это скалярное количество можно найти на этикетках электрических приборов, где указано количество ампер, с которыми они работают..

6- сила света

Сила света — это световой поток в определенном направлении, излучаемый единицей телесного угла. Единицей измерения является кандела, обозначаемая формой CD.

Ежедневно яркость — это то, что называется яркостью. Это присутствует в таких объектах, как лампочка, телефон или любой объект, который излучает свет.

7- Количество вещества

Единицей измерения, которая используется для измерения количества вещества, является моль. Это очень важная скалярная величина в области химии.

Один моль содержит число частиц Авогадро, а его масса — его атомная или молекулярная масса, выраженная в граммах..

8- Давление

Давление является скалярной физической величиной, которая измеряет силу в перпендикулярном направлении на единицу площади..

Используемая единица измерения — Паскаль и обозначается слогом Па или просто буквой Р.

Примером является давление окружающей среды, то есть вес, который воздушная масса атмосферы оказывает на вещи.

9- Энергия

Энергия определяется как способность вещества действовать химически или физически. Используемая единица измерения — джоуль (джоуль) и обозначается буквой J.

10- Объем

Объем — это мера пространства трех измерений, занимаемых телом. Обычно измеряется в кубических метрах и обозначается м³.

Например, емкость для молока может вместить 900 см³.

11- частота

Частота — это количество раз или повторений явления или периодического события, выполненных в данной единице времени.

Единицей измерения, используемой для этого скалярного количества, является герц или герц, и она обозначается буквами Hz..

Например, молодой человек может слышать звуки от 20 до 20 000 Гц. Когда звук выходит из этой группы, люди не могут его воспринимать.

12- Плотность

Это связь, которая существует между массой объекта и объемом, который он занимает. Ваша единица измерения может составлять, например, килограммы на кубический метр «кг / м³».

Два объекта одинаковой формы и размера могут иметь разную плотность. Один может быть свинцом, а другой пробкой, будучи первым более плотным, чем второй.

Скаляр (математика) — Scalar (mathematics)

A скаляр — это элемент поля , который используется для определения векторного пространства. Величина, описываемая несколькими скалярами, например имеющая направление и величину, называется вектором.

В линейной алгебре действительные числа или другие элементы поля называются скалярами. и связаны с векторами в векторном пространстве с помощью операции скалярного умножения, в которой вектор можно умножить на число, чтобы получить другой вектор. В более общем плане векторное пространство может быть определено с использованием любого поля вместо действительных чисел, например комплексных чисел. Тогда скаляры этого векторного пространства будут элементами связанного поля.

A операция скалярного произведения — не путать со скалярным умножением — может быть определена в векторном пространстве, что позволяет умножить два вектора для получения скаляра. Векторное пространство, снабженное скалярным произведением, называется внутренним пространством произведения.

Реальный компонент кватерниона также называется его скалярной частью .

Этот термин также иногда используется неформально означать вектор, матрицу, тензор или другое обычно «составное» значение, которое фактически сводится к единственному компоненту. Так, например, произведение матрицы 1 × n и матрицы размера n × 1, которое формально является матрицей 1 × 1, часто называют скалярным .

Термин скалярная матрица используется для обозначения матрицы формы kI, где k — скаляр, а I — единичная матрица.

Содержание

1 Этимология
2 Определения и свойства
- 2.1 Скаляры векторных пространств
- 2.2 Скаляры как компоненты вектора
- 2.3 Скаляры в нормированных векторных пространствах
- 2.4 Скаляры в модулях
- 2.5 Масштабное преобразование
- 2.6 Скалярные операции (информатика)
Этимология

Слово скаляр происходит от латинского слова scalaris, прилагательной формы слова scala (латинское слово «лестница»), от которого английский словесная шкала тоже идет. Первое зарегистрированное использование слова «скаляр» в математике встречается в Франсуа Виэте в «Аналитическом искусстве» (In artem analyticem isagoge) (1591):

Величины, которые восходят или нисходят пропорционально в соответствии с их природой. от одного вида к другому могут называться скалярными терминами. (латинское: Magnitudines quae ex genere ad genus sua vi пропорциональный адсендант vel нисходящий, vocentur Scalares.)

Согласно цитате в Оксфорде Словарь английского языка первое зарегистрированное использование термина «скаляр» в английском языке произошло с W. Р. Гамильтон в 1846 году, имея в виду действительную часть кватерниона:

Алгебраически действительная часть может принимать, в соответствии с вопросом, в котором она встречается, все значения, содержащиеся на одной шкале прогрессии чисел от отрицательной до положительной бесконечности; поэтому мы будем называть его скалярной частью.

Определения и свойства

Скаляры — это действительные числа, используемые в линейной алгебре, в отличие от векторов. На этом изображении показан евклидов вектор. Его координаты x и y являются скалярами, как и его длина, но v не является скаляром.

Скаляры векторных пространств

Векторное пространство определяется как набор векторов, набор скаляров и операция скалярного умножения, которая переводит скаляр k и вектор v в другой вектор k v . Например, в координатном пространстве скалярное умножение k (v 1, v 2,…, vn) <\ displaystyle k (v_ <1>, v_ <2>, \ dots, v_ )> дает (kv 1, kv 2,…, kvn) <\ displaystyle (kv_ <1>, kv_ <2>, \ dots, kv_ )> . В (линейном) функциональном пространстве kƒ — это функция x ↦ k (ƒ (x)).

Скаляры могут быть взяты из любого поля, включая рациональные, алгебраические, действительные и комплексные числа, а также конечные поля.

Скаляры как компоненты вектора

Согласно основной теореме линейной алгебры, каждое векторное пространство имеет базис. Отсюда следует, что каждое векторное пространство над скалярным полем K изоморфно координатному векторному пространству, где координаты являются элементами K. Например, каждое вещественное векторное пространство размерности n изоморфно n-мерному реальному пространству R.

Скаляры в нормированных векторных пространствах

В качестве альтернативы векторное пространство V может быть оснащено функцией norm, которая присваивает каждому вектору v в V скаляр || v ||. По определению, умножение v на скаляр k также умножает его норму на | k |. Если || v || интерпретируется как длина v, эту операцию можно описать как масштабирование длины v на k. Векторное пространство, снабженное нормой, называется нормированным векторным пространством (или нормированным линейным пространством).

Норма обычно определяется как элемент скалярного поля K V, что ограничивает последнее поле, поддерживающее понятие знака. Более того, если V имеет размерность 2 или больше, K должно быть замкнуто под квадратный корень, а также четыре арифметических операции; таким образом, рациональные числа Q исключаются, но допускается поле surd. По этой причине не каждое пространство скалярных произведений является нормированным векторным пространством.

Скаляры в модулях

Когда требование, чтобы набор скаляров формировал поле, ослабляется так, что ему нужно только формировать кольцо (так, чтобы, например, деление скаляров не нужно определять или скаляры не обязательно должны быть коммутативными ), результирующая более общая алгебраическая структура называется модулем.

. В этом случае «скаляры» могут быть сложными объектами. Например, если R — кольцо, векторы пространства произведения R могут быть преобразованы в модуль с матрицами n × n с элементами из R в качестве скаляров. Другой пример взят из теории многообразий, где пространство секций касательного расслоения образует модуль над алгеброй вещественных функций на коллектор.

Масштабирующее преобразование

Скалярное умножение векторных пространств и модулей является частным случаем масштабирования, разновидностью линейного преобразования.

Скаляр

Скаляр (от лат. scalaris — ступенчатый) — величина (возможно переменная, то есть функция), каждое значение которой может быть выражено одним числом (чаще всего подразумевается вещественное число).

При смене системы координат скаляр остаётся неизменным (инвариантным), в отличие, например, от компонентов вектора, которые могут быть разными у одного и того же вектора в разных системах координат.
- В абстрактной алгебре — элемент основного поля (например, поля вещественных или комплексных чисел).
- В тензорном исчислении — тензор валентности (0,0), при замене базиса системы координат не меняется.
- В современной физике, подразумевающей пространственно-временной подход, под скаляром обычно имеется в виду пространственно-временной скаляр, лоренц-инвариантная величина, не меняющаяся при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (а в общей теории относительности и других метрических теориях гравитации — скаляр остается неизменным также и при переходе к неинерциальным системам отсчёта). В этом отличие от ньютоновской физики, где под скаляром понимается обычный скаляр обычного трёхмерного пространства (так, энергия в ньютоновском смысле — скаляр, а в пространственно-временном — лишь компонента четырёхмерного вектора).
Содержание

Примеры

Важно заметить, что понятие скаляра довольно сильно связано с контекстом. Так, в общепринятом контексте современной физики часть приведённых величин скалярными не являются. [1]

Ошибочные примеры

Типичным примером величины, выражающейся одним числом, но не являющейся скаляром, является одна из координат вектора в каком-то произвольно выбранном базисе (при почти любом изменении базиса координата не останется неизменной, она, таким образом, не инвариант) [2] .

То же касается координаты тензора любой другой валентности (кроме нулевой).

Ещё одним примером величины, не являющейся, строго говоря, скаляром, является псевдоскаляр (хотя на практике иногда, исходя из соображений удобства или краткости, разграничения между скалярами и псевдоскалярами могут и не проводить, если это не существенно для изложения).

См. также

Примечания
1. ↑ 12 Среди приведённых величин большинство являются скалярами лишь в весьма ограниченных контекстах. Так, хотя длина или площадь, понимаемые как длина и площадь, определённые для основного пространства рассматриваемой теории, несомненно, являются хорошими примерами скаляров, тем не менее, обычные (то есть рассматриваемые в рамках обычного трёхмерного пространства) длина и площадь, а также время — являются скалярами только в классической (ньютоновской) физике (см. замечание о современной физике в статье выше), так как основное пространство современных физических теорий по умолчанию обычно включает как минимум четырёхмерное пространство-время. В общеупотребительном современном понимании скалярами из перечисленного являются масса, 4-мерная длина — интервал (а трёхмерная длина — нет!), 4-мерная (но не трёхмерная!) площадь, также — «инварианты» электромагнитного поля: E²-H², E·H. А время и энергия, например, являются не скалярами, первое — компонентой вектора 4-мерного перемещения, вторая — компонентой 4-вектораэнергии-импульса. Вообще же говоря, если идёт речь о физике, чтобы не ошибиться в понимании применения термина ‘скаляр’ надо выяснить контекст: идёт ли речь об «обычном» трёхмерном пространстве или о пространственно-временной формулировке.
2. ↑ Речь идёт именно о координате в произвольном базисе, который можно менять. Тем не менее, координата определённого вектора в определённом фиксированном базисе — скаляр. Это внешне немного напоминает казуистику, но на самом деле просто подчёркивает тот факт, что настоящий скаляр остаётся инвариантным при любом изменении базиса (иногда класс преобразований базиса, для которых требуется инвариантность скаляра, ограничивают, но всё же этот класс остаётся достаточно широким; строго же говоря, даже если этот класс широк, если речь идёт об инварианте ограниченного класса преобразований, обычно его именно так и называют, не употребляя термина ‘скаляр’.
Ссылки
- Найти и оформить в виде сносок ссылки на авторитетные источники, подтверждающие написанное.
- Абстрактная алгебра
Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Скаляр» в других словарях:

скаляр — а, м. scalaire <лат. scalaris ступенчатый < scalae лестница. Величина, в противоположность вектору, определяемая числовым значением без указания направления. БАС 1. Скалярный ая, ое. Скалярные величины. Уш. 1940: Лекс. СИС 1937: скаля/ры;… … Исторический словарь галлицизмов русского языка

скаляр — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] скаляр Величина, каждое значение которой может быть выражено одним (как правило, действительным) числом; по… … Справочник технического переводчика

СКАЛЯР — (от латинского scalaris ступенчатый) (скалярная величина), величина, каждое значение которой (в отличие от вектора) может быть выражено одним (действительным) числом, вследствие чего совокупность значений скаляра можно изобразить на линейной… … Современная энциклопедия

СКАЛЯР — (от лат. scalaris ступенчатый) (скалярная величина) величина, каждое значение которой (в отличие от вектора) может быть выражено одним (действительным) числом, вследствие чего совокупность значений скаляра можно изобразить на линейной шкале… … Большой Энциклопедический словарь

СКАЛЯР — СКАЛЯР, математическое число, имеющее только величину, в отличие от ВЕКТОРА, который имеет еще и направление. Масса и энергия являются скалярными величинами, тогда как вес и сила представлены векторными величинами … Научно-технический энциклопедический словарь

СКАЛЯР — величина, значение которой характеризуется действительным числом (без учета направления). Напр., температура, концентрация и т.п. Геологический словарь: в 2 х томах. М.: Недра. Под редакцией К. Н. Паффенгольца и др.. 1978 … Геологическая энциклопедия

Скаляр — [scalar] величина, каждое значение которой может быть выражено одним (как правило, действительным) числом; по отношению к вектору, который можно рассматривать как многомерную величину, С. величина одномерная. Скалярная (числовая) функция одной… … Экономико-математический словарь

СКАЛЯР — величина, каждое значение которой может быть выражено одним действительным числом без учёта направления млн. другой какой либо оценки в выбранной системе единиц, напр. длина, площадь, объём, плотность, работа, температура и др … Большая политехническая энциклопедия

скаляр — (лат. scalaris ступенчатый) мат. величина, характеризуемая только числовым значением (напр., длина, объем, масса, плотность); ср. вектор. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009. скаляр скаляра, м. [от латин. scalaris – ступенчатый]… … Словарь иностранных слов русского языка

скаляр — а; м. [лат. scalaris ступенчатый] Матем. Величина, имеющая только числовое значение. ◁ Скалярный, ая, ое. С ые величины. * * * скаляр (от лат. scalaris ступенчатый) (скалярная величина), величина, каждое значение которой (в отличие от вектора)… … Энциклопедический словарь

Скалярные и векторные величины и действия над ними в физике с примерами

В 7-м и 8-м классах мы рассматривали различные физические величины. Для одних величин достаточно знать их числовое значение и единицу измерения. Например, масса

На рисунках 14, а и 14, б девочка действует на санки силой, имеющей одно и то же числовое значение. Но в первом случае санки лишь немного погрузились в снег, а во втором — пришли в движение. Значит, сила определяется не только числовым значением, но и направлением. Сила — величина векторная.

Векторной величиной является и скорость движения тел (рис. 15), и многие другие физические величины.

Что нужно знать о векторных величинах (векторах)

Векторы характеризуются модулем и направлением в пространстве

Модулем вектора называется его числовое значение.

Вектор изображают в виде направленного отрезка (стрелки). Стрелка указывает, куда направлен вектор (рис. 14, 15). Длина стрелки характеризует модуль вектора (рис. 16). Над буквенным обозначением вектора ставят стрелку, например:

Модуль вектора обозначают той же буквой, но без стрелки над ней или символом Например, модуль вектора на рисунке 16 равен

Модуль любого (не равного нулю) вектора — число положительное.

Векторы равны между собой, если равны их модули и одинаковы направления

Равные векторы лежат на одной и той же прямой или на параллельных прямых и направлены в одну и ту же сторону. На рисунке 17 Однако, несмотря на равенство модулей, так как у векторов различные направления.

Угол между векторами

Чтобы найти угол между векторами (рис. 18, а), нужно совместить их начала (рис. 18, б). Если направления векторов одинаковы, то (рис. 18, в), если противоположны, то (рис. 18, г).

Умножение вектора на число

Произведение вектора на число есть вектор Чему в равен его модуль? Куда направлен вектор

Модуль вектора равен

Если то вектор направлен так же, как вектор а если то противоположно ему.

На рисунке 19 показаны результаты умножения вектора на 2, на 0,5, на (-3) и на (-1) соответственно.

Противоположные векторы

Вектор называется противоположным вектору если У векторов одинаковые модули, но противоположные направления (рис. 19, а, г).

Сложение векторов

В 7-м классе вы складывали силы, направленные или одинаково, или в противоположные стороны. Результатом сложения в первом случае была сила, модуль которой равен а во втором

То же самое получается и при сложении векторов (рис. 20). Если они направлены одинаково (рис. 20, а), то их сумма имеет модуль Если же направления векторов противоположны (рис. 20, б), то модуль их суммы Обратите внимание: в последнем случае вектор направлен так, как вектор с большим модулем (т. е. как вектор ).

А как сложить векторы, направленные под любым углом друг к другу? Для этого можно использовать любое из двух следующих далее правил.

Правило параллелограмма

Совместим начала векторов (рис. 21, а), сохраняя их направления (рис. 21, б). Построим параллелограмм ABCD, принимая векторы за его стороны. Сумма векторов есть вектор совпадающий с диагональю АС параллелограмма: (см. рис. 21, б).

Правило треугольника

Совместим конец вектора с началом вектора сохраняя их направления (рис. 21, в). Вектор проведенный из начала вектора в конец вектора равен сумме (см. рис. 21, в).

Из рисунков 21, б и 21, в ясно, что правило треугольника и правило параллелограмма дают одинаковые результаты. А как найти разность векторов?

Вычитание векторов

Пусть начала векторов совмещены (рис. 22). Проведем вектор из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора Вектор есть искомая разность: Докажите с помощью построения, что Такой способ вычитания векторов очень удобен.

Правило многоугольника

Чтобы найти сумму нескольких векторов (например, ), каждый следующий вектор нужно проводить из конца предыдущего (рис. 23). Замыкающий вектор проведенный из начала первого вектора в конец последнего есть сумма данных векторов:

Правило многоугольника следует из правила треугольника.

Модуль суммы векторов

Не путайте модуль суммы векторов, т. е. и сумму их модулей Равенство выполняется только для одинаково направленных векторов (см. рис. 20, а на с. 13). Во всех остальных случаях т. е. модуль суммы векторов меньше суммы их модулей. Так получается потому, что в любом треугольнике (см. рис. 21, в) длина одной стороны меньше суммы длин двух других сторон. Проверьте это на примерах.

Нуль-вектор

Пусть вектор равен вектору Тогда их разность т. е. нуль-вектору.

Главные выводы:
1. Векторные величины характеризуются модулем и направлением, скалярные — только числовым значением.
2. Сумму двух векторов находят по правилу параллелограмма или треугольника.
3. Разность двух векторов находят, проводя вектор из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого (при совмещенных началах векторов).
4. Разность векторов можно найти как сумму
5. Произведение вектора на число есть вектор При направления векторов совпадают, а при — противоположны. Модуль вектора равен
Скалярные и векторные величины

К пониманию того, что для описания природы нужно использовать язык математики, ученые пришли давно. Собственно, некоторые разделы математики и были созданы для того, чтобы описывать природу кратким и доступным языком. Так, для определения мгновенной скорости, работы переменной силы, объема тел неправильной формы и т. д. были созданы дифференциальное и интегральное исчисления. Для более наглядного описания физических процессов научились строить графики функций, а для быстрой обработки результатов эксперимента придумали методы приближенных вычислений. Вспомним скалярные и векторные величины, без которых вам не обойтись при изучении курса физики 10 класса.

Физические величины, используемые в физике для количественной характеристики физических явлений и объектов, делятся на два больших класса: скалярные величины и векторные величины.

К скалярным величинам, или скалярам (от лат. scalaris — ступенчатый), относятся величины, которые определяются только значением. Например, масса тела — скалярная величина, и если мы говорим, что масса тела равна двум килограммам (m=2 кг), то полностью определяем эту величину. Сложить две скалярные физические величины означает сложить их значения, представленные в одинаковых единицах. Понятно, что складывать можно только однородные скаляры (например, нельзя складывать массу и время, плотность и работу и т. д.).

Для определения векторных величин важно знать не только их значения, но и направления. Вектор (от лат. vector — носитель) — это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий и длину, и направление. Длину направленного отрезка называют модулем вектора. Обозначают векторные величины буквами греческого и латинского алфавитов, над которыми ставят стрелки, или полужирными буквами. Например, скорость записывают так: v или ; модуль вектора скорости соответственно обозначают как v.

Правила сложения (вычитания) векторов отличаются от правил сложения (вычитания) скалярных величин.

Сумму двух векторов находят по правилу параллелограмма или по правилу треугольника (рис. 3.1, 3.2). Как найти сумму нескольких векторов, показано на рис. 3.3, как найти разность двух векторов, показано на рис. 3.4.

В результате умножения векторной величины на скалярную величину k получается вектор (рис. 3.5).

Обратите внимание! Единица произведения векторной и скалярной величин определяется как произведение единицы одной величины на единицу другой. Например, нужно найти перемещение самолета, который в течение 0,5 ч летит на север со скоростью 500 км/ч. Вектор перемещения: . Поскольку t > 0, то вектор перемещения будет направлен в ту же сторону, что и вектор скорости , а модуль вектора перемещения будет равен: s v = =t 500 км /ч⋅ = 0 5, ч к 250 м.

Как найти проекции вектора на оси координат

Осуществлять математические операции с векторами гораздо сложнее, чем со скалярами, поэтому, решая задачи, от векторных физических величин переходят к их проекциям на оси координат.

Пусть вектор лежит в плоскости XОY (рис. 3.6). Опустим из точки А (начало вектора ) и точки В (конец вектора ) перпендикуляры на ось ОX. Основания этих перпендикуляров — точки — проекции точек А и В на ось ОX, а отрезок — проекция вектора на ось ОX. Проекцию вектора обозначают той же буквой, что и вектор, с указанием оси в нижнем индексе, например: . Если из начала и конца вектора провести перпендикуляры к оси ОY, получим отрезок — проекцию вектора на ось ОY ( ). Знак проекции вектора зависит от направлений вектора и оси координат. Если от проекции начала вектора до проекции его конца нужно двигаться в направлении оси координат, то проекция вектора на эту ось считается положительной, а если наоборот, то проекция вектора считается отрицательной (см. рис. 3.6).

В общем случае проекцию вектора находят обычными геометрическими методами (рис. 3.7, а). На практике часто приходится иметь дело со случаями, когда вектор параллелен или перпендикулярен оси координат.

Если вектор параллелен оси координат, а его направление совпадает с направлением оси, то его проекция на эту ось положительна и равна модулю вектора (рис. 3.7, б). Если направление вектора противоположно направлению оси координат, то его проекция на эту ось равна модулю вектора, взятому с противоположным знаком (рис. 3.7, в). Если же вектор перпендикулярен оси координат, то его проекция на эту ось равна нулю (рис. 3.7, г). Очень важным свойством проекций является то, что проекция суммы двух векторов (рис. 3.8) или нескольких векторов на координатную ось равна алгебраической сумме проекций этих векторов на данную ось.

Именно это свойств позволяет заменять в уравнении векторные величины их проекциями — скалярными величинами и далее решать полученное уравнение обычными алгебраическими методами.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Похожие публикации: