1.4. Пассивный и активный двухполюсники. Теорема об активном двухполюснике
Двухполюсником называется часть электрической цепи любой сложности и произвольной конфигурации, выделенная относительно двух зажимов (двух полюсов).
Двухполюсник, не содержащий источников энергии или содержащий скомпенсированные источники (суммарное действие которых равно нулю), называется пассивным. Если в схеме двухполюсника имеются нескомпенсированные источники, он называется активным. На схеме двухполюсник обозначают прямоугольником с двумя выводами (рис. 1.14). Это обозначение можно условно рассматривать как коробку, внутри которой находится электрическая цепь.
Рис. 1.14. Пассивный (а) и активный (б) двухполюсники
Пассивный двухполюсник является потребителем энергии и может быть заменен эквивалентным сопротивлением, величина которого равна входному сопротивлению двухполюсника (см., например, рис. 1.15).
.
Рис. 1.15. Замена пассивного двухполюсника сопротивлением
Активный двухполюсник ведет себя как генератор. Находящиеся внутри него нескомпенсированные источники отдают энергию во внешнюю цепь (рис. 1.16, а). Можно попытаться подобрать источник энергии с ЭДС ЕЭ и внутренним сопротивлением RЭ, который будет эквивалентен двухполюснику, то есть будет создавать во внешней цепи тот же самый ток (рис. 1.16, б).
Полученный генератор должен быть эквивалентен двухполюснику в любом режиме, в том числе и в режимах холостого хода и короткого замыкания. Источники энергии, входящие в состав активного двухполюсника, в режиме холостого хода создают на его зажимах напряжение UХ (рис. 1.17, а), а при коротком замыкании вызывают ток IK (рис. 1.17, б).
Рис. 1.16. Замена активного двухполюсника эквивалентным генератором
Из схем, приведенных на рис. 1.17, следует:
откуда 
Рис. 1.17. Холостой ход (а) и короткое замыкание (б) активного двухполюсника
Итак, любой активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным генератором, ЭДС которого ЕЭ равна напряжению холостого хода двухполюсника, а внутреннее сопротивление RЭ напряжению холостого хода, деленному на ток короткого замыкания.
Это утверждение и есть теорема об активном двухполюснике (эквивалентном генераторе).
Пример 1.4. Заменить активный двухполюсник, выделенный пунктиром на рис. 1.18, а, эквивалентным генератором (рис. 1.18, б). Численные значения параметров цепи составляют: Е1 = 200 В, Е2 = 100 В, R1 = 50 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 20 Ом.
Рис. 1.18. Замена активного двухполюсника эквивалентным генератором
Р е ш е н и е. Напряжение холостого хода, определяющее величину ЭДС эквивалентного генератора, можно найти по схеме на рис. 1.19, а любым известным способом.
Рис. 1.19. Режимы холостого хода (а) и короткого замыкания (б)
Воспользуемся, например, методом контурных токов. Принимая в качестве контурных токи I1Х для левого контура и I3Х для правого, записываем контурные уравнения, из которых определяем контурные токи:
Напряжение холостого хода – это напряжение между точками m и n. Оно равно падению напряжения на сопротивлении R3:
75 В.
Таким образом, ЭДС эквивалентного генератора ЕЭ = 75 В.
Применим теперь метод узловых потенциалов.
Принимая потенциал узла n равным нулю (n = 0), для узла m запишем узловое уравнение:
(1.12)
где 
0,02 См; 
0,05 См; 
0,05 См.
Из уравнения (1.12) имеем:
75 В.
Получили тот же самый результат.
Приступаем к расчету режима короткого замыкания. Ток IK в схеме на рис. 1.19, б найдем методом наложения. При действии только первой ЭДС ее ток проходит по первой ветви и, минуя вторую и третью ветви, замыкается по проводнику, закорачивающему зажимы двухполюсника:
4 А.
Аналогично находим ток, вызываемый второй ЭДС:
5 А.
Ток в третьей ветви равен нулю, так как она закорочена. Поэтому
IK = I1K + I2K = 9 A.
В соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе
8,33 Ом.
Теорема об активном двухполюснике (эквивалентном генераторе). Виды простейшей схемы замещения активного двухполюсника
В теореме доказывается вид простейшей схемы замещения активного двухполюсника. На рис. 2.6, а изображены активный двухполюсник и его внешняя цепь (/н — ток, отдаваемый двухполюсником во внешнюю цепь; Un — напряжение на его зажимах). Согласно этой теореме активный двухполюсник по отношению к его внешней цепи можно заменить двумя элементами, включенными последовательно: идеальным источником ЭДС Еэ и резистором R> (рис. 2.6, б). Формулировка теоремы следующая.
Рис. 2.6. К теореме об активном двухполюснике:
а — общее изображение нагруженного активного двухполюсника; б — последовательная схема замещения активного двухполюсника; в — параллельная схема замещения активного двухполюсника
Теорема об активном двухполюснике. Любой активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным генератором, ЭДС которого Е3равна напряжению на разомкнутых зажимах данного активного двухполюсника, а внутреннее сопротивление R3 — его входному сопротивлению [4].
Режим разомкнутых зажимов активного двухполюсника называется режимом холостого хода, при этом напряжение на его зажимах обозначается t/xx. Таким образом, условия эквивалентности схем на рис. 2.6, а и б следующие:
Несложно от последовательной схемы замещения активного двухполюсника (см. рис. 2.6, б) перейти к эквивалентной параллельной схеме (рис. 2.6, в), где /кэ = /кз — ток короткого замыкания; R3 — входное сопротивление активного двухполюсника.
Метод эквивалентного генератора
Метод эквивалентного генератора рационально применять в случае необходимости определения тока (напряжения, мощностн и др.) только одной ветви сложной электрической цепи.
Для этой цели разбивают сложную электрическую цепь на две части — на сопротивление R, ток которого 
Активным этот двухполюсник называют потому, что в нем имеется источник ЭДС. Этот активный двухполюсник обладает определенной ЭДС 
Ток в резисторе с сопротивлением R определяют по закону Ома
Таким образом, определение тока 
сводится к вычислению ЭДС эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления 
.
Величина ЭДС определяется любым методом расчета цепей постоянного тока относительно точек А а В при разомкну-клеммах, т. е. в режиме холостого хода. Практически эту ЭДС о измерить вольтметром, подключенным к клеммам А и В холостом ходе.
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора 
выявляется относительно точек А и В после предварительной смены всех источников сложной схемы эквивалентного генера-а их внутренними сопротивлениями.
Практически для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора измеряют амперметром ток между точки А и В работающего двухполюсника при коротком замыкании так как сопротивление амперметра настолько мало, что им можно пренебречь. Тогда
где 
— напряжение холостого хода, 
— ток короткого замыкания.
Такой метод практического определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора 
называется методом хо-ого хода и короткого замыкания. Расчет параметров эквивалентного генератора, его ЭДС и внутреннего сопротивления 
, рассматриваются в примерах 4.12 4.13.
Пример 4.12
Определить ток в сопротивлении 
, подключенном к точкам А В электрической цепи (рис. 4.8а) примера 4.6 методом эквивалентного генератора.
Решение
Для определения тока 
в сопротивлении 
определим ЭДС эквивалентного генератора 
(рис. 4.16а) и его внутреннее сопротивление 
(рис. 4.166) при холостом ходе, т. е. разомкнутой цепи (между точками А и В).
Знак «минус» обусловлен тем, что источники в схеме включены встречно и потенциал в точке А больше потенциала в точке В, так как 
(см. пример 4.6).
Следовательно, 
Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора
Искомый ток 
Такой же ток получен в примере 4.6 на сопротивлении 
Пример 4.13
В схеме рис. 4.17а сопротивления плеч моста равны 
Сопротивление гальванометра Rr = 98,33 Ом, ЭДС источника 
. Методом эквивалентного генератора определить в ветви гальванометра (между точками А и В).
Решение
Для определения тока в цепи гальванометра 
методом эквивалентного генератора необходимо вычислить ЭДС эквивалентного генератора 
между точками А и В (рис. 4.176) и внутреннее сопротивление эквивалентного генератора 
относительно точек А и В при присутствии гальванометра, заменив в схеме (рис. 4.17в) источник ЭДС 
его внутренним сопротивлением ( 
= 0) равным нулю.
Для определения ЭДС эквивалентного генератора 
принимают потенциал точки С схемы (рис. 4.176) равным нулю, т. е. фс=о.
При замене источника ЭДС 
его внутренним сопротивлением, равным нулю, замыкаются накоротко точки С и D схемы (рис. 4.17в). При этом (рис. 4.17г) сопротивления 
соединены между собой параллельно. Также параллельно соединены между собой сопротивления 
. Между точками А и В сопротивления 
соединены последовательно. Следовательно, сопротивление эквивалентного генератора относительно точек А и В будет равно
Тогда ток в ветви с гальванометром, который направлен из точки В в точку А, т. е. из точки с большим потенциалом в точку с наименьшим потенциалом (рис. 4.17а), будет равен
Метод эквивалентного генератора (активного двухполюсника)
Все методы, рассмотренные ранее, предполагали расчет токов одновременно во всех ветвях цепи. Однако в ряде случаев бывает необходимым контролировать ток в одной отдельно взятой ветви. В этом случае применяют для расчета метод эквивалентного генератора.
Пусть дана некоторая электрическая цепь, которую заменим активным двухполюсником (рис. 3.10), оставив только ветвь 
в которой необходимо рассчитать ток.
Сначала, введем в ветвь 
два источника ЭДС 
и 
одинаковые по величине и противоположно направленные:
Затем, используя принцип наложения, данную цепь представим суммой двух цепей. В первой оставим все источники активного двухполюсника и источник ЭДС 
Вторая цепь представляет собой пассивный двухполюсник, имеющий входное сопротивление 
и источник ЭДС 
Рис. 3.10. Преобразование исходного двухполюсника в сумму двух цепей
На основании принципа наложения ток ветви 
Поскольку 
и они могут быть любые по величине, то подберем их значения такими, чтобы ток 
был равен нулю. Для этого выберем 
Напряжение на зажимах источника в режиме холостого хода численно равно его ЭДС. Тогда активный двухполюсник с источником 
может быть представлен в виде, представленном на рис. 3.11:
Рис. 3.11. Схема замещения активного двухполюсника
В этой схеме ЭДС 
численно равна 
активного двухполюсника, и, следовательно, ток:
Таким образом, ток в ветви 
Пусть дана цепь (рис. 3.12), в которой необходимо рассчитать ток 
методом эквивалентного генератора.
Рис. 3.12. Исходная цепь
1. Разомкнем ветвь с сопротивлением 
или примем 
2. Зададим положительное направление 
и для произвольно выбранных положительных направлений токов. Например, для первого контура запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:
3. Токи 
и 
в преобразованной схеме по рис. 3.13 рассчитываем любым известным методом, например, методом контурных токов
Тогда 
4. Определим эквивалентное сопротивление пассивного двухполюсника. Для этого мысленно закоротим все источники ЭДС исходной цепи, оставляя в схеме для реальных источников их внутренние сопротивления.
В образовавшейся схеме пассивного двухполюсника невозможно определить эквивалентное сопротивление относительно зажимов 
так как нет последовательно-параллельного соединения приемников, поэтому необходимо выполнить преобразование какого-либо участка цепи из «треугольника» в «звезду» или выполнить обратное преобразование.
Преобразуем, например, «треугольник» сопротивлений 
в «звезду» 
При этом получится схема с последовательно-параллельным соединением приемников (рис. 3.14).
Рис. 3.14. Схема пассивного двухполюсника
Сопротивления этой схемы будут:
Входное сопротивление цепи 
относительно зажимов 
и 
запишем в виде:
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
№8 Пассивный и активный двухполюсники. Теорема об активном двухполюснике.
Двухполюсником называется часть электрической цепи любой сложности и произвольной конфигурации, выделенная относительно двух зажимов (двух полюсов).
Двухполюсник, не содержащий источников энергии или содержащий скомпенсированные источники (суммарное действие которых равно нулю), называется пассивным. Если в схеме двухполюсника имеются нескомпенсированные источники, он называется активным. На схеме двухполюсник обозначают прямоугольником с двумя выводами (рис. 8.1). Это обозначение можно условно рассматривать как коробку, внутри которой находится электрическая цепь.
Рис. 8.1 — Пассивый (а) и активный (б) двухполюсники
Пассивный двухполюсник является потребителем энергии и может быть заменен эквивалентным сопротивлением, величина которого равна входному сопротивлению двухполюсника (см., например, рис. 8.2).
Рис. 8.2 — Замена пассивного двухполюсника сопротивлением
Активный двухполюсник ведет себя как генератор. Находящиеся внутри него нескомпенсированные источники отдают энергию во внешнюю цепь (рис. 8.3, а). Можно попытаться подобрать источник энергии с ЭДС ЕЭ и внутренним сопротивлением RЭ, который будет эквивалентен двухполюснику, то есть будет создавать во внешней цепи тот же самый ток (рис. 8.3, б).
Полученный генератор должен быть эквивалентен двухполюснику в любом режиме, в том числе и в режимах холостого хода и короткого замыкания. Источники энергии, входящие в состав активного двухполюсника, в режиме холостого хода создают на его зажимах напряжение UХ (рис. 8.4, а), а при коротком замыкании вызывают ток IK (рис. 8.4, б).
Рис. 8.3 — Замена активного двухполюсника эквивалентным генератором
Из схем, приведенных на рис. 8.4, следует:
Рис. 8.4 — Холостой ход (а) и короткое замыкание (б) активного двухполюсника
Итак, любой активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным генератором, ЭДС которого ЕЭ равна напряжению холостого хода двухполюсника, а внутреннее сопротивление RЭ напряжению холостого хода, деленному на ток короткого замыкания.
Это утверждение и есть теорема об активном двухполюснике (эквивалентном генераторе).
Пример 1.4. Заменить активный двухполюсник, выделенный пунктиром на рис. 8.5, а, эквивалентным генератором (рис. 8.5, б). Численные значения параметров цепи составляют: Е1 = 200 В, Е2 = 100 В, R1 = 50 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 20 Ом.
Рис. 8.5 — Замена активного двухполюсника эквивалентным генератором
Р е ш е н и е. Напряжение холостого хода, определяющее величину ЭДС эквивалентного генератора, можно найти по схеме на рис. 8.6, а любым известным способом.
Рис. 8.6 — Режимы холостого хода (а) и короткого замыкания (б)
Воспользуемся, например, методом контурных токов. Принимая в качестве контурных токи I1Х для левого контура и I3Х для правого, записываем контурные уравнения, из которых определяем контурные токи:
Напряжение холостого хода – это напряжение между точками m и n. Оно равно падению напряжения на сопротивлении R3:
Применим теперь метод узловых потенциалов.
Принимая потенциал узла n равным нулю (φn = 0), для узла m запишем узловое уравнение:
Из уравнения (1.12) имеем:
Получили тот же самый результат.
Приступаем к расчету режима короткого замыкания. Ток IK в схеме на рис. 8.6, б найдем методом наложения. При действии только первой ЭДС ее ток проходит по первой ветви и, минуя вторую и третью ветви, замыкается по проводнику, закорачивающему зажимы двухполюсника: