Какая формула выражает закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции Фарадея для начинающих

Что может быть лучше, чем вечером понедельника почитать про основы электродинамики. Правильно, можно найти множество вещей, которые будут лучше. Тем не менее, мы все равно предлагаем Вам прочесть эту статью. Времени занимает не много, а полезная информация останется в подсознании. Например, на экзамене, в условиях стресса, можно будет успешно извлечь из недр памяти закон Фарадея. Так как законов Фарадея несколько, уточним, что здесь мы говорим о законе индукции Фарадея.

Электродинамика – раздел физики, изучающий электромагнитное поле во всех его проявлениях.

Это и взаимодействие электрического и магнитного полей, электрический ток, электро-магнитное излучение, влияние поля на заряженные тела.

Здесь мы не ставим целью рассмотреть всю электродинамику. Упаси Боже! Рассмотрим лучше один из основных ее законов, который называется законом электромагнитной индукции Фарадея.

Майкл Фарадей (1791-1867)

История и определение

Фарадей, параллельно с Генри, открыл явление электромагнитной индукции в 1831 году. Правда, успел опубликовать результаты раньше. Закон Фарадея повсеместно используется в технике, в электродвигателях, трансформаторах, генераторах и дросселях. В чем суть закона Фарадея для электромагнитной индукции, если говорить просто? А вот в чем!

При изменении магнитного потока через замкнутый проводящий контур, в контуре возникает электрический ток. То есть, если мы скрутим из проволоки рамку и поместим ее в изменяющееся магнитное поле (возьмем магнит, и будем крутить его вокруг рамки), по рамке потечет ток!

Этот ток Фарадей назвал индукционным, а само явление окрестил электромагнитной индукцией.

Электромагнитная индукция – возникновение в замкнутом контуре электрического тока при изменении магнитного потока, проходящего через контур.

Формулировка основного закона электродинамики – закона электромагнитной индукции Фарадея, выглядит и звучит следующим образом:

ЭДС, возникающая в контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока Ф через контур.

А откуда в формуле минус, спросите Вы. Для объяснения знака минус в этой формуле есть специальное правило Ленца. Оно гласит, что знак минус, в данном случае, указывает на то, как направлена возникающая ЭДС. Дело в том, что создаваемое индукционным током магнитное поле направлено так, что препятствует изменению магнитного потока, который вызвал индукционный ток.

Для определения направления индукционного тока применяется знаменитое правило буравчика, или правило правой руки, оно же правило правого винта. Если ладонь правой руки расположить так, чтобы в неё входили силовые линии магнитного поля, а отогнутый большой палец направить по движению проводника, то четыре вытянутых пальца укажут направление индукционного тока.

Правило правой руки

Примеры решения задач

Вот вроде бы и все. Значение закона Фарадея фундаментально, ведь на использовании данного закона построена основа почти всей электрической промышленности. Чтобы понимание пришло быстрее, рассмотрим пример решения задачи на закон Фарадея.

И помните, друзья! Если задача засела, как кость в горле, и нет больше сил ее терпеть — обратитесь к нашим авторам! Теперь вы знаете где заказать курсовую работу. Мы быстро предоставим подробное решение и разъясним все вопросы!

• Контрольная работа от 1 дня / от 120 р. Узнать стоимость
• Дипломная работа от 7 дней / от 9540 р. Узнать стоимость
• Курсовая работа 5 дней / от 2160 р. Узнать стоимость
• Реферат от 1 дня / от 840 р. Узнать стоимость

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Закон электромагнитной индукции (закон Фарадея).

С целью выяснения физических причин, которые приводят к возникновению э.д.с. индукции, последовательно рассмотрим два случая.

1. Контур движется в постоянном магнитном поле.

Пусть контур с подвижной перемычкой длиной находится в магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура (см.Рисунок 26.2). Если двигать перемычку со скоростьювправо, то с такой же скоростью начнут двигаться и носители тока в перемычке – электроны. В результате на каждый электрон начинает

Рисунок 26.2

,

вызывающая перемещение электронов по перемычке вниз, т.е. потечет ток, направленный вверх.

Перераспределившиеся заряды создадут электрическое поле, которое возбудит ток и в остальных участках контура.

Это и есть индукционный ток.

Магнитная сила играет роль сторонней силы. Ей можно сопоставить эквивалентное поле сторонних сил

.

Электродвижущая сила, создаваемая этим полем, называется электродвижущей силой индукции . В нашем случае

.

Здесь знак «минус» поставлен потому, что стороннее поле направлено против положительного обхода контура, определяемого правилом правого винта. Произведениеесть скорость приращения площади контура (приращение площади в единицу времени), поэтому

,

где — приращение магнитного потока сквозь контур.

.

Полученный результат можно обобщить на случай произвольной ориентации вектора индукции магнитного поля относительно плоскости контура и на любой контур, движущийся (и/или деформируемый) произвольным образом в постоянном неоднородном внешнем магнитном поле.

Итак, возбуждение э.д.с. индукции при движении контура в постоянном магнитном поле объясняется действием магнитной составляющей силы Лоренца, пропорциональной , которая возникает при перемещении проводника.

2. Контур покоится в переменном магнитном поле.

Наблюдаемое на опыте возникновение индукционного тока свидетельствует о том, что и в этом случае в контуре появляются сторонние силы, которые теперь связаны с изменяющимся во времени магнитным полем. Какова же их природа? Ответ на этот принципиальный вопрос был дан Максвеллом.

Поскольку проводник покоится, то скорость упорядоченного движения электрических зарядов и, следовательно, магнитная сила, пропорциональная, также равна нулю и уже не может привести заряды в движение. Однако кроме магнитной силы на электрический заряд может действовать только сила со стороны электрического поля, равная. Поэтому остается заключить, чтоиндукционный ток обусловлен электрическим полем , возникающим при изменении во времени внешнего магнитного поля. Именно это электрическое поле и ответственно за появление э.д.с. индукции в неподвижном контуре. Согласно Максвеллу,изменяющееся во времени магнитное поле порождает в окружающем пространстве электрическое поле. Возникновение электрического поля не связано с наличием проводящего контура, который лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существование этого поля.

Формулировка закона электромагнитной индукции, данная Максвеллом, принадлежит к числу наиболее важных обобщений электродинамики.

Всякое изменение магнитного поля во времени возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле.

Математическая формулировка закона электромагнитной индукции в понимании Максвелла имеет вид:

Циркуляция вектора напряженности этого поля по любому неподвижному замкнутому контуруопределяется выражением

,

где — магнитный поток, пронизывающий контур.

Используемый для обозначения скорости изменения магнитного потока знак частной производной указывает на то, что контур является неподвижным.

Поток вектора через поверхность, ограниченную контуром, равен, поэтому выражение закона электромагнитной индукции можно переписать следующим образом:

.

Воспользовавшись теоремой Стокса можно получить закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:

.

Это одно из уравнений системы уравнений Максвелла.

Тот факт, что циркуляция электрического поля, возбуждаемого переменным во времени магнитным полем, отлична от нуля, означает, что рассматриваемое электрическое поле не потенциальное.Оно, как и магнитное поле, являетсявихревым.

В общем случае электрическое поле может быть представлено векторной суммой потенциального (поля статических электрических зарядов, циркуляция которого равна нулю) и вихревого (обусловленного изменяющимся во времени магнитным полем) электрических полей.

В основе рассмотренных нами явлений, объясняющих закон электромагнитной индукции, не просматривается общего принципа, позволяющего установить общность их физической природы. Поэтому эти явления следует рассматривать как независимые, а закон электромагнитной индукции — как результат их совместного действия. Тем более удивительным оказывается тот факт, что э.д.с. индукции в контуре всегда равна скорости изменения магнитного потока сквозь контур. В тех случаях, когда меняется и поле и расположение или конфигурация контура в магнитном поле, э.д.с. индукции следует рассчитывать по формуле

,

а закон электромагнитной индукции можно представить в виде

.

Выражение, стоящее в правой части этого равенства, представляет собой полную производную магнитного потока по времени: первое слагаемое связано с изменением магнитного поля во времени, второе – с движением контура.

Можно сказать, что во всех случаях индукционный ток вызывается полной силой Лоренца

.

Какая часть индукционного тока вызывается электрической, а какая магнитной составляющей силы Лоренца — зависит от выбора системы отсчета.

О работе сил Лоренца и Ампера.

Из самого определения работы следует, что сила, действующая в магнитном поле на электрический заряд и перпендикулярная его скорости, не может совершать работы. Однако при движении проводника с током, увлекающего за собой заряды, сила Ампера все же работу совершает. Наглядным подтверждением этого служат электромоторы.

Это противоречие исчезает, если принять во внимание, что движение проводника в магнитном поле неизбежно сопровождается явлением электромагнитной индукции. Поэтому наряду с силой Ампера работу над электрическими зарядами совершает и возникающая в проводнике электродвижущая сила индукции. Т.о., полная работа сил магнитного поля складывается из механической работы, обусловленной силой Ампера, и работы э.д.с., индуцируемой при движении проводника. Обе работы равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому их сумма равна нулю. Действительно, работа амперовой силы при элементарном перемещении проводника с током в магнитном поле равна , за это же время э.д.с. индукции совершает работу

,

тогда полная работа .

Силы Ампера совершают работу не за счет энергии внешнего магнитного поля, которое может оставаться постоянным, а за счет источника э.д.с., поддерживающего ток в контуре.

Закон электромагнитной индукции — формулы и определение с примерами

Вам уже известно, что электрический ток, или движущиеся заряды, создают в окружающем пространстве магнитное поле. А возможен ли обратный процесс, при котором с помощью магнитного поля в замкнутом проводнике будет создан электрический ток?

Именно такой вопрос заинтересовал выдающегося английского физика Майкла Фарадея, который в 1821 г. в своем дневнике поставил перед собой задачу: «Превратить магнетизм в электричество». Через 10 лет упорного труда эта задача была им успешно решена. В августе 1831 г. Фарадей сделал фундаментальное открытие в области электромагнитных явлений.

При проведении опытов Фарадей обнаружил, что при введении постоянного магнита в катушку (рис. 160, а) или при выведении из нее (рис. 160, б) стрелка гальванометра в цепи катушки отклонялась, т. е. в цепи возникал кратковременный электрический ток. Изменение направления движения магнита приводило к отклонению стрелки гальванометра в противоположную сторону (см. рис. 160).

Таким образом, при изменении индукции магнитного поля, пронизывающей витки катушки, в замкнутой цепи возникает электрический ток, называемый индукционным. Следовательно, в цепи появился источник тока. Можно сделать вывод о том, что изменение индукции магнитного поля в пределах площади, ограниченной контуром, приводит к появлению в контуре ЭДС, называемой электродвижущей силой индукции.

Фарадей наблюдал возникновение индукционного тока в цепи исследуемой катушки 1 не только при перемещении постоянного магнита, но и в том случае, если замыкали (размыкали) ключ в цепи, содержащей катушку 2, расположенную внутри катушки 1 (рис. 161 ).

Индукционный ток возникал в катушке 1 также при перемещении контура с током 2 в непосредственной близости от исследуемой катушки.
Таким образом, в результате серии экспериментов Фарадей установил, что возникновение индукционного тока в замкнутом контуре достигается при изменении магнитного потока через него.

Явление возникновения ЭДС индукции при изменении магнитного потока через площадь, ограниченную контуром, называется явлением электромагнитной индукции.

Эксперименты Фарадея позволили установить закон электромагнитной индукции (закон Фарадея), количественно определяющий ЭДС индукции в контуре:

• ЭДС электромагнитной индукциивозникающая в замкнутом контуре, прямо пропорциональна скорости изменения магнитного потока через него:

Как видно из приведенного соотношения, ЭДС индукции не зависит от материала проводника, его сопротивления, температуры и от носителей тока, а определяется только характером изменения магнитного поля.

Для объяснения возникновения ЭДС в неподвижном замкнутом контуре при изменении магнитного поля внутри него английский ученый Джеймс Клерк Максвелл предложил такую гипотезу: изменяющееся магнитное поле создает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и приводит свободные заряды проводника в движение, т. е. создает индукционный ток. На основе этой гипотезы Максвелл создал теорию электромагнитного поля, подтвердившуюся на опыте. Согласно этой теории при изменении магнитного поля в некоторой области пространства обязательно возникает электрическое поле с замкнутыми силовыми линиями. Причем это происходит даже при отсутствии проводящего контура, например в вакууме.

Таким образом, явление электромагнитной индукции в более широком понимании заключается нс только в возникновении индукционного тока, или ЭДС индукции но и в возникновении электрического поля, силы которого могут ускорять или замедлять движение заряженных частиц.

Русский физик Эмилий Ленц в 1833 г. сформулировал правило (правило Ленца), позволяющее установить направление индукционного тока в цепи:
возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление, при котором созданный им собственный магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать изменение внешнего магнитного потока, вызвавшее данный ток.
Согласно этому правилу в формуле, выражающей закон Фарадея, следует ставить знак «минус».

Максвелл в 1873 г. дал современную формулировку закона электромагнитной индукции:

• ЭДС индукции в замкнутом проводящем контуре равна скорости изменения пронизывающего его магнитного потока, взятой с противоположным знаком:

Знак «минус» в законе электромагнитной индукции (в формуле для следует из правила Ленца.
Отметим, что в таком виде закон применим только, когда скорость изменения магнитного потока постоянна. В общем случае эта формула дает среднее значение ЭДС индукции

Покажем, что если бы правило Ленца не выполнялось, то взаимодействие индукционного тока с внешними полями приводило бы к неограниченному росту энергии системы без подвода ее извне, т. е. к нарушению закона сохранения энергии.

Действительно, ток, возникающий за счет ЭДС индукции, сам является источником магнитного поля. Если бы индуцированное магнитное поле «помогало» расти магнитному потоку через контур, то тем самым увеличивался бы индукционный ток, что вызывало бы еще большее увеличение первоначального магнитного поля. Это сопровождалось бы еще большим изменением магнитного потока через контур, и так до бесконечности.

В результате сила индукционного тока и связанная с ним энергия возрастали бы неограниченно, что является нарушением закона сохранения энергии.

Для наглядной демонстрации правила Ленца используется прибор, состоящий из двух колец (замкнутого и незамкнутого), уравновешенных для уменьшения трения на игольчатой опоре (рис. 162).

При введении постоянного магнита в замкнутое кольцо оно «уходит» от него, а при выведении — «догоняет» магнит. Разрезанное кольцо никак не «реагирует» на движения магнита, поскольку в нем не может возникнуть индукционный ток.

Рассмотрим более подробно движение постоянного магнита вблизи проводящего кольца.

При движении магнита вправо магнитный поток через кольцо увеличивается (рис. 163, а). В соответствии с правилом Ленца индукционный ток силой I создает магнитное поле направленное противоположно исходному полю
Движение магнита влево приводит к уменьшению магнитного потока через кольцо. Возникающий индукционный ток силой I создает поле препятствую
щее изменению начального магнитного потока, т. е. стремится сохранить начальную величину магнитного потока (рис. 163, б).

Таким образом, замкнутый контур как бы «сопротивляется» изменению пронизывающего его магнитного потока. Следовательно, возникновение индукционного тока можно рассматривать как проявление инерции системы.
В то же время возникновение индукционного тока в замкнутом контуре при изменении магнитного потока через него означает, что заряженные частицы пришли в движение под действием каких-то сил. Это не могут быть силы Лоренца, поскольку они действуют только на движущиеся заряды. Какие же силы заставляют двигаться электроны в покоящемся проводнике при изменении индукции магнитного поля?

Эти силы имеют электрическую природу, но по своим свойствам отличаются от электростатических сил (сил Кулона). При электромагнитной индукции возникает вихревое электрическое поле, действующее на заряженные частицы.
В отличие от потенциального электростатического поля, создаваемого неподвижными электрическими зарядами, вихревое электрическое поле, возникающее вследствие изменения магнитного поля, непотенциально. Это означает, что работа сил этого поля по замкнутой траектории не равна нулю, и они являются сторонними силами в замкнутом контуре при возникновении индукционного тока. Следовательно, работа сил вихревого электрического поля по перемещению единичного заряда по замкнутому контуру определяет ЭДС электромагнитной индукции.

Подчеркнем, что вихревое электрическое поле, возникающее при изменении магнитного поля, существует независимо от того, имеется или нет в этом месте замкнутый проводящий контур. Проводящий контур является лишь своеобразным индикатором, обнаруживающим наличие этого вихревого поля.
В отличие от электростатического вихревое электрическое поле имеет замкнутые силовые линии. Это связано с тем, что источниками электростатического поля являются электрические заряды, а источником вихревого электрического поля — переменное во времени магнитное поле.
Индукционные токи, возникающие в массивных проводниках под действием переменного магнитного поля, называются токами Фуко или вихревыми токами. В соответствии с законом Джоуля — Ленца они приводят к нагреванию проводников (выделению теплоты) и переходу энергии системы во внутреннюю энергию. Токи Фуко эффективно используются на практике: в плавильных печах, в установках для закалки металлических деталей, в сушильных установках, в медицине.

Открытие Фарадеем явления электромагнитной индукции позволило создать мощные генераторы электрического тока и положило начало промышленному производству электроэнергии, без которой невозможно представить существование современного общества.

Электромагнитная индукция

Электромагнитная индукция — это одно из явлений, на которых основаны электротехника и радиотехника.

Для оценки важности этого явления достаточно назвать взаимное преобразование механической и электрической энергии, передачу и распределение электрической энергии, передачу и прием информации.
Знание явления и закона электромагнитной индукции необходимо при изучении электрических цепей переменного тока.

Закон электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции открыл в 1831 г. английский физик М. Фарадей и на основе этого открытия сформулировал один из важнейших физических законов — закон электромагнитной индукции.

Явление электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции можно продемонстрировать следующими опытами. Внутрь цилиндрической катушки, концы которой соединены с гальванометром, с определенной скоростью вводится постоянный магнит. Стрелка гальванометра отклоняется, обнаруживая электрический ток в катушке (рис. 10.1, а). При удалении магнита от катушки стрелка гальванометра отклоняется в обратную сторону.

Гальванометр обнаруживает ток в катушке, если перемещать ее относительно другой катушки с током, которую назовем первичной (рис. 10.1, б). На рис. 10.1, в показаны две катушки, расположенные на одном сердечнике. Одна из них присоединена к источнику электрической энергии через ключ, вторая замкнута через гальванометр.

Электрические катушки между собой не связаны, но при замыкании ключа наблюдается отклонение стрелки гальванометра в одну сторону, при размыкании — в другую.

Несмотря на внешнее различие опытов, их одинаковый результат дает основание полагать, что непосредственная причина возникновения электрического тока в цепи вторичной катушки в этих опытах одинакова.
Действительно, во всех рассмотренных опытах изменяется потокосцепление вторичной катушки: в первых двух случаях — благодаря изменению положения ее в магнитном поле, в третьем случае — в связи с увеличением тока в первичной катушке после замыкания ключа и уменьшением его после размыкания.

Возбуждение электродвижущей силы в контуре при изменении потокосцепления этого контура называется электромагнитной индукцией.

Под действием индуктированной э.д.с. в замкнутом контуре возникает индуктированный электрический ток. Возникновение тока означает, что во вторичный контур передается энергия, которая при наличии сопротивления в цепи превращается в тепло. В первых двух опытах электрическая энергия возникла за счет механической работы при перемещении постоянного магнита (рис. 10.1, а) или катушки (рис. 10.1, б). В третьем опыте обе катушки неподвижны, т. е. механическая работа не совершается. Электрическая энергия во вторичной катушке возникает за счет энергии источника, включенного в цепи первичной катушки. В этом случае электрическая энергия передается из одной цепи в другую посредством магнитного поля.

Рис. 10.1. Опыты для наблюдения электромагнитной индукции

Преобразование энергии из одного вида в другой посредством магнитного поля или изменение энергии поля количественно определяются через абсолютное значение изменения потокосцепления. Явление электромагнитной индукции, сопровождающее эти процессы, связано со скоростью изменения потокосцепления.

Закон электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции устанавливает количественное выражение для индуктированной э. д. с.

Электродвижущая сила, индуктируемая в замкнутом контуре при изменении сцепленного с ним магнитного потока, равна скорости изменения потокосцепления, взятой с отрицательным знаком:

В этой форме закон электромагнитной индукции был дан Максвеллом.
В катушке, имеющей несколько витков, общая э. д. с. зависит от числа витков N. Если все витки катушки сцеплены с одинаковым магнитным потоком, то э. д. с. будет в N раз больше:

В общем случае витки катушки могут быть сцеплены с разными потоками, тогда ее общая э. д. с. определяется алгебраической суммой э. д. с. отдельных витков:

В числителе последнего выражения дана алгебраическая сумма изменений потокосцепления отдельных витков катушек, т. е. изменение общего потокосцепления.

Таким образом, э. д. с. катушки определяется скоростью изменения ее общего потокосцепления и общая формула закона электромагнитной индукции имеет вид

Правило Ленца

В 1833 г. проф. Петербургского университета Э. X. Ленц установил общее правило для определения направления индуктированного тока и электромагнитных сил, возникающих в результате взаимодействия магнитного поля с индуктированным током.

Если магнитный поток, сцепленный с проводящим замкнутым контуром, изменяется, в контуре возникают явления электрического и механического характера, препятствующие изменению магнитного потока.

Рис. 10.2. Схемы, поясняющие правило Ленца

Правило Ленца отражает проявления электромагнитной инерции в системах контуров с токами. Этому правилу соответствует знак минус в формулах, выражающих закон электромагнитной индукции [см. (10.1) — (10.3)], если принять положительными направления магнитного потока и индуктированной в контуре э.д.с., удовлетворяющие правилу правого буравчика (рис. 10.2, а).

Предположим, что положительный магнитный поток, сцепленный с контуром, увеличивается. Приращение потока dФ и скорость его изменения dФ/dt положительны (dФ > 0, dФ/dt > 0). Индуктированная в контуре э. д. с., согласно правилу Ленца, направлена против выбранного положительного направления, т. е. отрицательна (е 0), т. е. совпадает с выбранным положительным направлением (рис. 10.2, в). Индуктированный в контуре ток i создает вторичный магнитный поток, совпадающий по направлению с основным потоком. Вторичный магнитный поток, возникновение которого можно рассматривать как реакцию системы контуров с токами на изменение ее магнитного состояния, в данном случае препятствует уменьшению основного магнитного потока. Возникающие при этом электромагнитные силы стремятся расширить контур с током, т. е. увеличить магнитный поток, сцепленный с ним.
Факторы, противодействующие изменению магнитного потока, тем сильнее, чем быстрее изменяется поток.

Электромагнитная инерция в системах контуров с токами подобна механической инерции в системах движущихся тел: при всяком изменении скорости возникают силы инерции, препятствующие этому изменению.

Задачи
Задача 10.1. Магнитный поток, создаваемый током в катушке, изменяется по графику рис. 10.3. Построить график э. д. с., индуктированной в катушке с числом витков N = 15, если наибольшая величина потока Ф_m = 0,2 Вб.

Рис. 10.3. К задаче 10.1
Решение. Э. д. с: в катушке определяют по формуле (10.2), где dФ/dt — скорость изменения магнитного потока. На участке 0-1 отрицательный магнитный поток в течение t₁ = 0,02 с растет от нуля до Ф_m = 0,2 Вб по линейному закону, поэтому скорость изменения потока постоянна и отрицательна:

При постоянной скорости изменения магнитного потока э. д. с. будет постоянной:

Знак э. д. с. определим по правилу Ленца.
Условно-положительные направления магнитного потока и индуктированной э. д. с. в катушке показаны на рис. 10.4, а.
На участке 0-1 кривой Ф(t) отрицательный магнитный поток увеличивается. Направления магнитного потока и тока в катушке, соответствующие этому отрезку времени, отмечены на рис. 10.4, б. Индуктированная э. д. с. препятствует росту магнитного потока, т. е. направлена против тока, создающего поток (пунктирные стрелки). В данном случае э. д. с. положительна, так как ее направление совпадает с условно-положительным направлением.

Рис. 10.4. К задаче 10.1

На участке 1-2 отрицательный магнитный поток уменьшается с той же скоростью, с какой он раньше увеличивался. Индуктированная э. д. с., сохраняя свою величину 150 В, препятствует уменьшению потока, т. е. направлена, так же как ток в катушке (рис. 10.4, в), против условно-положительного направления. Из формулы (10.2) также следует, что э. д. с. отрицательна.

Наведение э.д.с. в проводнике, движущемся в магнитном поле

В проводнике, движущемся в магнитном поле так, что он пересекает линии магнитной индукции, индуктируется электродвижущая сила. Это явление — разновидность электромагнитной индукции.

Выражение э.д.с. в проводнике, движущемся в магнитном поле

Рассмотрим отрезок АБ прямолинейного проводника, который движется, пересекая под прямым углом линии магнитной индукции равномерного поля с магнитной индукцией В.

На рис. 10.6, а показан проводник АБ, который катится в направлении механической силы F_мх по металлическим шинам, соединенным между собой через сопротивление R.

Проводник АБ, отрезки шин и сопротивление образуют замкнутый проводящий контур. При перемещении проводника на расстояние b с постоянной скоростью v магнитный поток, сцепленный с этим контуром, увеличивается за счет увеличения площади поверхности, ограниченной контуром.
Приращение магнитного потока

где l — длина части проводника АБ, находящейся в магнитном поле.

Абсолютная величина э. д. с. в контуре

где Δt — время, в течение которого проводник АБ переместился на расстояние b; b/Δt = v — скорость движения проводника; поэтому

Рис. 10.6. Движение прямого провода в магнитном поле

Если проводник будет перемещаться под углом α 2 r = 12,8 Вт) и в приемнике (I 2 R = 115,2 Вт).

Задача 10.9. Устройство, описанное в задаче 10.8, переведено в режим двигателя. Для этого вместо приемника энергии в цепь включили аккумуляторную батарею с э. д. с. Е₀ = 12 В и внутренним сопротивлением r_а = 0,2 Ом.
Определить окружное усилие, вращающий момент и скорость рамки и составить баланс мощностей, если ток в цепи установился равным 10 А.
Решение. Определим э. д. с. в рамке согласно второму закону Кирхгофа:


Линейная скорость вращения рамки

Частота вращения

Окружное усилие на цилиндре

Вращающий момент

Механическая мощность

Баланс мощностей: мощность батареи равна сумме механической мощности и мощности потерь в электрической цепи:

Э.Д.С. Самоиндукции и взаимоиндукции

При изменении собственного потокосцепления в контуре или катушке наводится э. д. с. самоиндукции e_L, а при изменении взаимного потокосцепления — э. д. с. взаимоиндукции.

Э.д.с. самоиндукции

Изменение собственного потокосцепления обычно является следствием изменения тока

или

Э. д. с. самоиндукции пропорциональна скорости изменения тока di/dt. Она противодействует изменению тока, т. е. при увеличении тока препятствует его росту, а при уменьшении задерживает его падение (правило Ленца).
Чем быстрее изменяется ток, тем больше противодействие его росту или падению. Однако это противодействие зависит не только от скорости изменения тока, но и от конструкции электромагнитного устройства, что в формуле (10.10) выражается множителем L, т. е. индуктивностью этого устройства.

Если изменение тока в катушке является следствием изменения приложенного к ней напряжения, то э. д. с. самоиндукции направлена против приложенного напряжения, когда ток растет, и совпадает по направлению с напряжением, когда ток уменьшается.

Подобно массе, характеризующей инертность в механической системе, индуктивность характеризует инертность в электромагнитной системе.

Э.д.с. взаимоиндукции

Для системы магнитно-связанных катушек (см. рис. 8.21) э. д. с. взаимоиндукции

Изменение взаимного потокосцепления может быть следствием изменения тока в одной из катушек или изменения коэффициента связи.
Предположим, что изменяется ток i₁ в первой катушке. Э. д. с. взаимоиндукции е_2м во второй катушке пропорциональна скорости изменения этого тока:

Аналогично, при изменении тока i₂ э. д. с. взаимоиндукции

В том и другом случае коэффициентом пропорциональности является взаимоиндуктивность системы М.

Правило Ленца в применении к такой системе указывает на то, что изменение тока в одной катушке встречает противодействие со стороны другой катушки.
Из выражения (10.11) видно, что э. д. с. взаимоиндукции е_2м, а следовательно, и индуктированный ток i₂ имеют знак, противоположный скорости изменения тока i₁. Это значит, что при увеличении тока i₁ и его магнитного потока Ф_1.2 индуктированный ток i₂ создает магнитный поток Ф_2.1, направленный встречно потоку Ф_1.2; при уменьшении i₁ поток Ф_2.1 направлен согласно с уменьшающимся потоком Ф_1.2.

Рис. 10.11. Схема трансформатора

Аналогичное рассуждение можно привести из выражения (10.12). Направление магнитных потоков в обоих случаях, как обычно, определяется по правилу буравчика.

Взаимоиндуктивность, так же как и индуктивность, характеризует электромагнитную инерцию, но в системе катушек (контуров), имеющих магнитную связь.

Принцип действия трансформатора

Наглядным примером практического использования явления взаимоиндукции является работа трансформатора. Трансформатор — статический электромагнитный аппарат для изменения величины напряжения или тока.
Принципиальная схема трансформатора (рис. 10.11) имеет магнитопровод 3 из электротехнической стали и две обмотки на магнитопроводе: первичную 1 с числом витков N₁ и вторичную 2 с числом витков N₂. Обмотки выполняют из медного провода.

Первичной обмоткой трансформатор включается в сеть переменного напряжения U₁ и в ней возникает ток i₁. К вторичной обмотке подключается приемник электрической энергии.

Рассмотрим трансформатор с разомкнутой цепью вторичной обмотки, т. е. в режиме холостого хода.

При переменном токе в первичной обмотке создается переменный магнитный поток Ф, который замыкается по стальному сердечнику и образует потокосцепление с обеими обмотками. Таким образом, в трансформаторе обмотки электрически между собой не связаны, а связаны переменным магнитным потоком.

В обеих обмотках наводится э. д. с.:

Отношение э. д. с.

Отношение чисел витков обмоток трансформатора называется коэффициентом трансформации.
Отношение э. д. с. при холостом ходе можно заменить отношением напряжений на зажимах обмоток, учитывая, что u₂ = е₂ и u₁ ≈ е₁ (u₁ > е₁ на величину падения напряжения в обмотке, которое при холостом ходе мало).
Следовательно,

Отсюда видно, что при N₂ > N₁ (u₂ > u₁) трансформатор повышает, а при N₂

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Электромагнитная индукция. Оптика

Магнитный поток $Ф$, пронизывающий контур, равен произведению модуля вектора индукции магнитного поля $В↖<→>$ на площадь $S$, ограниченную этим контуром, и на косинус угла а между нормалью к плоскости контура $n↖<→>$ и вектором $B↖<→>$.

Произведение $Bcosα=B_n$ является проекцией вектора магнитной индукции на нормаль к плоскости контура, поэтому

Магнитный поток пропорционален числу линий магнитной индукции, пронизывающих поверхность контура, и характеризует распределение магнитного поля на поверхности, ограниченной замкнутым контуром.

Единицей магнитного потока в СИ является вебер (Вб). Магнитный поток в $1$ Вб создается однородным магнитным полем с индукцией $1$ Тл через поверхность площадью $1$ м 2 , расположенную перпендикулярно вектору магнитной индукции.

Закон электромагнитной индукции Фарадея

М. Фарадеем было установлено, что сила индукционного тока пропорциональна скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

Возникновение тока в замкнутом контуре означает наличие сторонних сил, работа которых по перемещению единичного заряда в контуре называется электродвижущей силой (ЭДС). Это означает, что при изменении потока через поверхность, ограниченную замкнутым контуром, в контуре возникает ЭДС $ε_1$ которую называют ЭДС индукции. Согласно закону Ома для замкнутой цепи, $I_i=<ε_i>/$.

Следовательно, ЭДС индукции пропорциональна $<∆Ф>/<∆t>$, поскольку сопротивление $R$ не зависит от изменения магнитного потока.

Закон электромагнитной индукции формулируется так:

ЭДС индукции $ε_1$ в замкнутом контуре равна по модулю скорости изменения магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром:

Применение правила Ленца к замкнутому контуру с положительной нормалью приводит к выражению:

Формула $ε_1=-<∆Ф>/<∆t>$ выражает основной закон электромагнитной индукции.

На рис. внешнее магнитное поле индукции $В$ возрастает со временем и направлено вдоль положительной нормали к контуру с током.

Индуцированный ток противоположен выбранному направлению обхода в соответствии с индуцированным магнитным полем $В’$.

Описанные выше опыты свидетельствуют о том, что электромагнитная индукция — это возникновение электрического поля и электрического тока при изменении во времени магнитного поля или при движении проводника в магнитном поле. Эти два типа эффектов электромагнитной индукции отличаются физической природой процессов, отвечающих за их возникновение. Первый тип обусловлен наведением вихревого электрического поля переменным магнитным полем, второй — действием сил Лоренца на движущиеся заряды в стационарном магнитном поле. В обоих случаях выполняется основной закон индукции, выраженный формулой $ε_1=-<∆Ф>/<∆t>$.

Вихревое электрическое поле

В первом типе электромагнитной индукции ЭДС возникает в неподвижном замкнутом проводнике при любом изменении магнитного поля.

С другой стороны, известно, что возникновение электродвижущей силы в любой цепи связано со сторонними силами, действующими на заряды в этой цепи. Под сторонними силами имеются в виду силы неэлектростатического характера. Какова же природа этих сил в данном случае?

Результаты различных экспериментов по электромагнитной индукции показали, что ЭДС индукции не зависит ни от материала проводника (металл, электролит и т. д.), ни от его состояния (например, величины и распределения температуры). Отсюда следует вывод, что сторонние силы связаны с самим магнитным полем.

Анализ явления электромагнитной индукции привел Дж. Максвелла к заключению, что причиной появления ЭДС индукции является электрическое поле, отличающееся от электростатического поля следующими особенностями.

1. Возникновение поля никак не связано с наличием проводников; оно существует в пространстве, окружающем переменное магнитное поле, независимо от наличия в нем проводников; проводники являются лишь индикаторами поля (если проводник замкнут, по нему течет ток).

2. Это поле не является электростатическим, поскольку силовые линии электростатического поля всегда разомкнуты, они начинаются и заканчиваются на зарядах, и напряжение по замкнутому контуру в электростатическом поле равно нулю; электростатическое поле не может поддерживать движение зарядов в замкнутом контуре, т. е. привести к возникновению ЭДС.

3. В противоположность последнему индуцированное переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым (как и магнитное поле); оно имеет замкнутые силовые линии, приводит к возникновению ЭДС индукции, приводящей в движение заряды по замкнутым проводам.

4. В отличие от электростатического поля, работа сил вихревого электрического поля и электрическое напряжение по замкнутому контуру не равны нулю, а значение напряжения между двумя точками определяется не только их взаимным положением, но и формой контура, соединяющего эти точки.

Все вышеизложенное позволяет сделать вывод, который выражает первое основное положение теории Максвелла: любое изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля.

Направление силовых линий напряженности $Е↖<→>$ совпадает с направлением индукционного тока. Работа вихревого электрического поля при перемещении единичного положительного заряда вдоль замкнутого неподвижного проводника численно равна ЭДС индукции в этом проводнике. Чем быстрее меняется индукция магнитного поля, тем больше напряженность индуцированного электрического поля.

Вихревые токи (токи Фуко). В массивном проводнике, находящемся в переменном магнитном поле, вихревое электрическое поле вызывает индукционный ток. Поскольку линии напряженности $Е↖<→>$ замкнуты, то и линии тока внутри этого массивного проводника замкнуты, поэтому они называются вихревыми токами, или токами Фуко. В 1855 г. Ж. Б. Л. Фуко обнаружил нагревание ферромагнитных сердечников, а также других металлических тел в переменном магнитном поле. Он объяснил этот эффект возбуждением индукционных токов. Фуко предложил способ уменьшения потерь энергии за счет нагрева — изготавливать сердечники и другие магнитопроводы в виде пластин, разделенных тонкими изолирующими пленками, и ориентировать поверхности этих пластин перпендикулярно вектору напряженности вихревого электрического поля (т. е. чтобы они пересекали возможные линии вихревых токов).

Нагрев вихревыми токами массивных проводников используется в индукционных печах для плавки металлов и изготовления сплавов.

ЭДС индукции в движущихся проводниках

ЭДС индукции в проводниках, движущихся в постоянном магнитном поле, соответствует второму типу электромагнитной индукции, обусловленному не переменным внешним магнитным полем, а действием сил Лоренца на свободные заряды проводника.

ЭДС индукции, возникающая на концах проводника длиной $l$, движущегося с постоянной скоростью $υ↖<→>$ под некоторым углом $α$ к вектору индукции $В↖<→>$ однородного магнитного поля, равна:

где $А$ — работа силы Лоренца по перемещению заряда $q$ на пути $l, F_L$ — сила Лоренца, действующая на движущийся заряд.

Если такой проводник входит в состав замкнутой цепи, остальные части которой неподвижны, то в цепи возникает электрический ток. Сила тока равна:

где $R$ — сопротивление нагрузки (лампочки); $r$ — сопротивление проводника, играющего роль внутреннего сопротивления источника тока (сопротивлением соединяющих проводников пренебрегаем).

С другой стороны, ту же ЭДС индукции можно получить, используя основной закон электромагнитной индукции $ε_i=-<∆Ф>/<∆t>$ и формулу $Ф=B_S$:

В данном случае изменение потока осуществляется не за счет изменения индукции поля, а за счет изменения площади контура, равного $∆S=-lυ∆t$. В результате получим:

Самоиндукция. Индуктивность

Индуктивность, или коэффициент самоиндукции (от лат. inductio — наведение, возбуждение) — это параметр электрической цепи, который определяет ЭДС самоиндукции, наводимой в цепи при изменении протекающего по ней тока или (и) ее деформации.

Термином «индуктивность» обозначают также катушку самоиндукции, которая определяет индуктивные свойства цепи.

Самоиндукция — возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока. Самоиндукция была открыта в 1832 г. американским ученым Дж. Генри. Независимо от него в 1835 г. это явление открыл М. Фарадей.

ЭДС индукции возникает при изменении магнитного потока. Если это изменение вызывается собственным током, то говорят об ЭДС самоиндукции:

где $L$ — индуктивность контура, или его коэффициент самоиндукции.

Индуктивность — это физическая величина, численно равная ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре при изменении силы тока на $1$А за $1$с.

Индуктивность, как и электроемкость, зависит от геометрии проводника — его размеров и формы, но не зависит от силы тока в проводнике. Так, индуктивность прямого провода гораздо меньше индуктивности того же провода, свернутого в спираль.

Расчеты показывают, что индуктивность описанного выше соленоида в воздухе определяется по формуле:

где $μ_0$ — магнитная постоянная, $N$ — число витков соленоида, $l$ — длина соленоида, $S$ — площадь поперечного сечения.

Кроме того, индуктивность зависит от магнитных свойств среды, в которой находится проводник, а именно от его магнитной проницаемости, которая определяется по формуле:

где $L_0$ — индуктивность контура в вакууме, $L$ — индуктивность контура в однородном веществе, заполняющем магнитное поле.

Единицей индуктивности в СИ является генри (Гн): $1$ Гн$ =1$В$·$с/А.

Токи замыкания и размыкания

При любом включении и выключении тока в цепи наблюдаются так называемые экстратоки самоиндукции (экстратоки замыкания и размыкания), возникающие в цепи вследствие явления самоиндукции и препятствующие, согласно правилу Ленца, нарастанию либо убыванию тока в цепи. На рисунке показана схема соединения двух одинаковых ламп. Одна из них подключена к источнику через резистор $R$, а другая — последовательно соединена с катушкой $L$ с железным сердечником.

При замыкании цепи первая лампа вспыхивает практически мгновенно, а вторая — с заметным опозданием. Это вызвано тем, что ЭДС самоиндукции в цепи этой лампы велика, и сила тока не сразу достигает своего максимального значения.

При размыкании ключа в катушке $L$ возникает ЭДС самоиндукции, поддерживающая первоначальный ток. В результате в момент размыкания через гальванометр течет ток (светлая стрелка), направленный против начального тока до размыкания (черная стрелка). При этом ЭДС самоиндукции может быть гораздо больше ЭДС батареи элементов, что будет проявляться в том, что экстраток размыкания будет существенно превышать стационарный ток при замкнутом ключе.

Индуктивность характеризует инерционность цепи по отношению к изменению в ней тока, и ее можно рассматривать как электродинамический аналог массы тела в механике, являющейся мерой инертности тела. При этом ток $I$ играет роль скорости тела.

Энергия магнитного поля

По аналогии с кинетической энергией тела для цепей постоянного тока энергия магнитного поля $W_м$ записывается в форме, аналогичной выражению для кинетической энергии $/<2>$

При этом индуктивность включает часть, связанную с энергией магнитного поля, сосредоточенную в проводниках, внутреннюю индуктивность $L_i$ и внешнюю $L_e$, связанную с внешним магнитным полем: $L=L_i+L_e$.

Свободные электромагнитные колебания в колебательном контуре

Колебательный контур — это электрическая цепь, содержащая индуктивность $L$, емкость $С$ и сопротивление $R$, в которой могут возбуждаться электрические колебания.

Колебательный контур — один из основных элементов радиотехнических систем. Различают линейные и нелинейные колебательные контуры. Параметры $R, L$ и $С$ линейного колебательного контура не зависят от интенсивности колебаний, а период колебаний не зависит от амплитуды.

При отсутствии потерь ($R = 0$) в линейном колебательном контуре происходят свободные гармонические колебания.

Для возбуждения колебаний в контуре конденсатор предварительно заряжают от батареи аккумуляторов, сообщив ему энергию $W_р$ и переводят переключатель в положение $2$. После замыкания цепи конденсатор начнет разряжаться через катушку индуктивности, теряя энергию. В цепи появится ток, вызывающий переменное магнитное поле. Переменное магнитное поле, в свою очередь приводит к созданию вихревого электрического поля, препятствующего току, в результате чего изменение тока происходит постепенно. По мере увеличения тока через катушку возрастает энергия магнитного поля $W_M$. Полная энергия $W$ электромагнитного поля контура остается постоянной (при отсутствии сопротивления) и равной сумме энергий магнитного и электрического полей. Полная энергия, в силу закона сохранения энергии, равна максимальной энергии электрического или магнитного поля:

где $L$ — индуктивность катушки, $I$ и $I_m$ — сила тока и ее максимальное значение, $q$ и $q_m$ — заряд конденсатора и его максимальное значение, $C$ — емкость конденсатора.

Процесс перекачки энергии в колебательном контуре между электрическим полем конденсатора при его разрядке и магнитным полем, сосредоточенным в катушке, полностью аналогичен процессу превращения потенциальной энергии растянутой пружины или поднятого груза математического маятника в кинетическую энергию при механических колебаниях последних.

В таблице приводится соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах.

Соответствие между механическими и электрическими величинами при колебательных процессах

Механические величины	Электрические величины
Координата $х$ Скорость $υ$ Масса $m$ Жесткость пружины $k$ Потенциальная энергия $kх^2$/$2$ Кинетическая энергия $m^2$/$2$	Заряд $q$ Сила тока $i$ Индуктивность $L$ Величина, обратная емкости $1$/$С$ Энергия электрического поля $q^2$/$(2С)$ Энергия магнитного поля $Li^2$/$2$

Дифференциальное уравнение, описывающее процессы в колебательном контуре, можно получить, приравняв производную по полной энергии контура к нулю (поскольку полная энергия постоянна) и заменив в полученном уравнении ток на производную заряда по времени. В окончательном виде уравнение выглядит так:

Как видно, уравнение ничем не отличается по форме от соответствующего дифференциального уравнения для свободных механических колебаний шарика на пружине. Заменив механические параметры системы на электрические с помощью приведенной выше таблицы, мы в точности получим уравнение.

По аналогии с решением дифференциального уравнения для механической колебательной системы циклическая частота свободных электрических колебаний равна:

Период свободных колебаний в контуре равен:

Формула $T=<2π>/<ω_0>=2π√$ называется формулой Томсона в честь английского физика У. Томсона (Кельвина), который ее вывел.

Увеличение периода свободных колебаний с возрастанием $L$ и $С$ объясняется тем, что при увеличении индуктивности ток медленнее нарастает и медленнее падает до нуля, а чем больше емкость, тем больше времени требуется для перезарядки конденсатора.

Гармонические колебания заряда и тока описываются теми же уравнениями, что и их механические аналоги:

где $q_m$ — амплитуда колебаний заряда, $I_m=ω_0q_m$ — амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе на $<π>/<2>$ колебания заряда.

Закон отражения света

Принцип Гюйгенса. Принцип Гюйгенса—Френеля

Для того чтобы, зная положение волновой поверхности в момент времени $t$, найти ее положение в следующий момент времени $t+∆t$, нужно каждую точку волновой поверхности рассматривать как источник вторичных волн. Поверхность, касательная ко всем вторичным волнам, представляет собой волновую поверхность в следующий момент времени. Этот принцип справедлив для распространения волн любой природы, хотя Гюйгенсом он был сформулирован именно для световых волн.

Для механических волн принцип Гюйгенса имеет наглядное истолкование: частицы среды, до которых доходят колебания, в свою очередь, колеблясь, приводят в движение соседние частицы среды, с которыми они взаимодействуют.

Принцип Гюйгенса—Френеля — основной постулат волновой теории, описывающий и объясняющий механизм распространения волн, в частности световых.

Принцип Гюйгенса—Френеля является развитием принципа, который ввел современник Ньютона X. Гюйгенс в 1678 г.

О. Френель объединил принцип Гюйгенса с идеей интерференции вторичных волн. Согласно идее Френеля, волновая поверхность в любой момент времени представляет собой не просто огибающую вторичных волн, а результат их интерференции.

Для того чтобы вычислить амплитуду световой волны в любой точке пространства, надо мысленно окружить источник света сферической поверхностью. Интерференция волн от вторичных источников, расположенных на этой поверхности, определяет амплитуду в рассматриваемой точке пространства.

Такого рода расчеты показали, что результат интерференции вторичных волн в точке $B$ от источников, расположенных на сферической поверхности радиуса $R$, оказывается таким, как если бы лишь вторичные источники на малом сферическом сегменте $ab$ посылали свет в точку $B$. Вторичные волны, испускаемые источниками, расположенными на остальной части поверхности, гасят друг друга в результате интерференции. Поэтому все происходит так, как если бы свет распространялся лишь вдоль прямой $SB$, то есть прямолинейно.

Отражение света. Закон отражения света

Большинство окружающих нас предметов видимы глазу не потому, что излучают свет, а потому, что отражают его.

Закон отражения света. Пусть на зеркальную поверхность $MN$ падает луч света $А_1А$. Луч $А_1А$ называется падающим лучом, точка $А$ пересечения этого луча с поверхностью называется точкой падения. Восстановим из точки $А$ перпендикуляр $АЕ$ к поверхности $МN$. Угол $α$ между падающим лучом и перпендикуляром называется углом падения. Пусть луч $А_1А$, отразившись от поверхности, распространяется в направлении $АА_2$ под некоторым углом $γ$. Луч $АА_2$ называется отраженным лучом, а угол $γ$ — углом отражения. Плоскость, в которой лежат луч $А_1А$ и перпендикуляр $АЕ$, называется плоскостью падения.

Закон отражения света гласит:

1. Отраженный луч лежит в плоскости падения.
2. Угол падения равен углу отражения ($α=γ$).

Обратимость направления световых лучей. Если падающий луч направить вдоль $А_2А$, то он отразится вдоль направления $АА_1$. В этом заключается принцип обратимости хода лучей света. Он также является одним из основных положений геометрической оптики и используется при построении оптических изображений.

Закон отражения можно вывести с помощью принципа Гюйгенса.

Пусть плоская волна, обозначенная лучами $А_1А$ и $В_1В$ и плоской волновой поверхностью $АС$, падает на зеркальную плоскость $МN$ под некоторым углом $α$. Различные участки волновой поверхности $АС$ достигают отражающей границы не одновременно. Возбуждение колебаний в точке $А$ начнется на время $∆t=/<υ>$ (где $υ$ — скорость волны) раньше, чем в точке $В$.

В момент, когда волна достигнет точки $В$ и в этой точке начнется возбуждение колебаний, вторичная волна с центром в точке $А$ будет представлять собой полусферу радиусом $r=AD=υ∆t=CB$. Изменение радиусов вторичных волн от точек, лежащих между точками $А$ и $В$. Плоскость $DB$ — огибающая вторичных волн, касательная к сферическим поверхностям. $DB$ — волновая поверхность отраженной волны. Отраженные лучи $АА_2$ и $ВВ_2$ перпендикулярны волновой поверхности $DB$; $γ$ — угол отражения.

Так как $AD=CB$ и треугольники $ADB$ и $АСВ$ прямоугольные, то $∠DBA=∠CAB$. Но $α=∠CAB$ и $γ=∠DBA$ как углы с перпендикулярными сторонами. Следовательно, угол отражения равен углу падения:

Кроме того, из построения Гюйгенса вытекает, что падающий луч, луч отраженный и перпендикуляр, восстановленный в точке падения, лежат в одной плоскости, что и требовалось доказать.

Построение изображений в плоском зеркале

Оптическое изображение

Оптическое изображение — это картина, получаемая в результате прохождения через оптическую систему лучей, распространяющихся от объекта, и воспроизводящая его контуры и детали.

Под оптической системой понимают совокупность оптических деталей — линз, призм, зеркал, плоскопараллельных пластинок, скомбинированных определенным образом для получения оптического изображения или для преобразования светового потока, идущего от источника света.

Оптический объект (предмет, который мы хотим изобразить с помощью оптической системы) представляет собой совокупность точек, светящихся собственным светом (т. е. излучающих) либо отраженным светом.

Для того, чтобы изображение максимально соответствовало объекту (было качественным), необходимо, чтобы лучи света, исходящие из какой-либо точки объекта, после преломлений и отражений в оптической системе вновь сходились в одной точке, которая и является изображением точки объекта. Это возможно лишь тогда, когда точка объекта находится на небольшом расстоянии от оси оптической системы, например, линзы, так, что лучи, исходящие из предмета и участвующие в его изображении, находятся в так называемой параксиальной (приосевой) области оптической системы. Оптическая система, в которой точка изображается точкой, т. е. без искажений, и все пропорции предмета передаются правильно, называется идеальной оптической системой.

Применение законов геометрической оптики дает возможность получить изображение любой точки, находящейся в параксиальной области, без искажений.

Оптические изображения делятся на действительные и мнимые.

Под действительным изображением понимают такое, которое получается в результате пересечения реальных (действительных) лучей, вышедших из оптической системы (т. е. сходящихся лучей, пересекающихся в точке изображения). Примером такого изображения является изображение, получающееся на фотопленке.

Мнимым изображением называется изображение, получающееся в результате воображаемого пересечения расходящихся лучей, вышедших из оптической системы. Такое изображение нельзя получить на экране либо фотопленке. Глаз, тем не менее, увидит его в месте мнимого пересечения лучей. Мнимое изображение может служить источником света для дальнейшего построения действительного изображения другой оптической системой, которое затем можно зафиксировать, например, на фотопленке.

Примером мнимого изображения является всем знакомое изображение предметов в зеркале.

Построение изображения в плоском зеркале

Пусть на плоское зеркало падает пучок лучей $SO, SO_1; SO_2$ из точечного источника $S$. После отражения в зеркале в глаз человека попадает расходящийся пучок лучей. Если теперь продолжить каждый из отраженных лучей за зеркало, то они пересекутся в одной точке $S_1$; которая и является мнимым изображением точки $S$. То, что лучи действительно пересекутся в одной точке, легко доказать, используя закон отражения света и теоремы геометрии, как и то, что $S_1O=SO, S_1O_2=SO_2, S_1O_3=SO_3$.

Отсюда следует, что правила построения предмета в зеркале сводятся к следующему: из точки $А$ предмета (в данном случае это стрелка $АВ$) опускают перпендикуляр на плоскость зеркала; на продолжении этого перпендикуляра за зеркалом на точно таком же расстоянии откладывают точку $А_1$; точно так же поступают с точкой $В$. Затем соединяют точки $А_1$ и $В_1$. Стрелка $А_1В_1$ и будет мнимым изображением стрелки $АВ$.

Из вышеизложенного следует, что изображение предмета в плоском зеркале симметрично предмету относительно плоскости зеркала. Последнее означает, что оно является мнимым, прямым (т. е. не перевернутым), равным по размеру самому предмету и находится на таком же расстоянии за зеркалом, на каком предмет расположен перед ним.

Закон преломления света

Преломление света — это изменение направления распространения светового луча при его прохождении через границу раздела двух прозрачных сред.

Луч $А_1А$, падающий на границу раздела $МN$ двух однородных сред; преломленный луч $АА_2$; перпендикуляр к плоскости раздела, проходящий через точку падения луча $А$. Угол $α$ называется углом падения, угол $β$ — углом преломления. Преломление света подчиняется определенным законам.

1. Луч падающий и луч преломленный лежат в одной плоскости с нормалью, проведенной к границе раздела двух сред в точке падения луча. Плоскость эта называется плоскостью падения.

2. Угол падения и угол преломления связаны соотношением:

где $n$ — постоянная, не зависящая от углов $α$ и $β$.

Величина п называется показателем преломления и зависит лишь от свойств обеих сред, через границу раздела которых проходит свет.

Закон преломления, выраженный соотношением $/=n$, называется законом Спелля (Снеллиуса).

Закон преломления света выводится с помощью принципа Гюйгенса. Преломление света при переходе из одной среды в другую вызвано различием в скоростях распространения света в этих средах. Пусть плоская волна, обозначенная лучами $А_1А$ и $В_1В$ и плоской волновой поверхностью $AС$, падает на зеркальную плоскость $МN$ под некоторым углом $α$. Различные участки волновой поверхности $АС$ достигают отражающей границы не одновременно. Возбуждение колебаний в точке $А$ начнется на время $∆t=/<υ_1>$ (где $υ_1$ — скорость волны в первой среде) раньше, чем в точке $В$. В момент времени, когда вторичная волна в точке $В$ только начнет возбуждаться, волна от точки $А$ во второй среде уже имеет вид полусферы радиусом $AD=υ_2·∆t$, где $υ_2$ — скорость света во второй среде. Волновая поверхность преломленной волны (от центров, лежащих на границе раздела двух сред) в этот момент времени представлена плоскостью $BD$ — касательной к волновым поверхностям всех вторичных волн во второй среде.

Угол падения $α$ луча равен $∠CAB$ в треугольнике $АВС$ (стороны одного угла перпендикулярны сторонам другого). Следовательно,

Угол преломления $β$ равен углу $ABD$ треугольника $ABD$. Поэтому

Разделив почленно $R_n=R+r_1+r_2+r_3$ на $I=I_1+I_2$, получим

где $n$ — постоянная величина, не зависящая от угла падения.

Из построения видно, что луч падающий и луч преломленный лежат в одной плоскости с нормалью, проведенной к границе раздела двух сред в точке падения луча. Это утверждение вместе с выражением $U=U_1=U_2$ представляет собой закон преломления света.

Таким образом, из принципа Гюйгенса не только выводится закон преломления света, но и раскрывается физический смысл показателя преломления: он равен соотношению скоростей света в средах, на границе между которыми происходит преломление.

Абсолютный и относительный показатели преломления

Показатель преломления (коэффициент преломления) — это оптическая характеристика среды, связанная с преломлением света на границе раздела двух прозрачных, оптически однородных и изотропных сред при переходе из одной среды в другую и связанная с различием скоростей распространения света $υ_1$ и $υ_2$ в этих средах.

Величина показателя преломления, равная соотношению этих скоростей $n_<21>=<υ_1>/<υ_2>$, называется относительным показателем преломления. Если свет падает на первую или вторую среду из вакуума, где скорость распространения света равна $с$, то показатель преломления называется абсолютным показателем преломления и равен $n_1=/<υ_1>$ или $n_2=/<υ_2>$ соответственно. Относительный показатель преломления при переходе из первой среды во вторую связан с абсолютными показателями преломления этих сред соотношением $n_<21>=/$, и закон преломления $/=n$ может быть записан в виде

где $α$ и $β$ — углы падения и преломления соответственно.

Среда, в которой скорость света больше, называется оптически менее плотной. Таким образом, при переходе из оптически менее плотной среды в оптически более плотную $n > 1$, т. е. угол преломления меньше угла падения, и наоборот.

Абсолютный показатель преломления зависит от природы и строения вещества, его агрегатного состояния, температуры, давления, наличия в нем упругих напряжений. Показатель преломления данной среды зависит от длины волны света.

Изложенные выше закономерности поведения света на границе двух сред относятся к монохроматическому свету (свету одной определенной частоты, или одного цвета). Было установлено, что частота электромагнитных колебаний при прохождении волны из первой среды во вторую, остается неизменной: $ν_1=ν_2$, а вот скорость распространения волны меняется, что и означает изменение показателя преломления. В более плотных средах скорость света меньше, чем в менее плотных, а абсолютный показатель преломления — больше. Поскольку частота, скорость и длина волны связаны известным соотношением, то с учетом вышесказанного легко показать, что

где $λ_1$ и $λ_2$ — длины волн света в средах $1$ и $2$ соответственно.

Зависимость показателя преломления от цвета (длины волны) называется дисперсией. Подробнее о ней будет сказано далее.

Для большинства прозрачных жидкостей и твердых тел показатель преломления в видимой области в среднем равен $1.5$. Абсолютный показатель преломления воздуха для желтого света при нормальных условиях равен $∼1.000292$. Поэтому показатели преломления различных веществ рассматривают относительно воздуха.

Линзы. Фокусное расстояние и оптическая сила линзы

Линза (нем. linse произошло от лат. lens — чечевица) — это простейший оптический элемент, ограниченный с двух сторон сферическими поверхностями.

Обычно линзы изготавливаются из оптического стекла (стекло специального изготовления с минимальным количеством дефектов: пузырьков воздуха, включений посторонних микрочастиц).

Линзы бывают выпуклые и вогнутые. У выпуклых линз середина толще, чем края, у вогнутых — наоборот. В свою очередь, выпуклые линзы делятся на двояковыпуклые, плосковыпуклые ивогнуто-выпуклые. Вогнутые линзы делятся на двояковогнутые, плосковогнутые и выпукло-вогнутые. На рисунке рядом с изображениями линз (справа) даны их условные обозначения на оптических схемах.

Тонкая линза. Если толщина линзы пренебрежимо мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхностей и расстоянием от предмета до линзы, ее называют тонкой линзой. Вершины сферических сегментов тонкой линзы расположены так близко, что их принимают за одну точку, называемую центром линзы, и обозначают буквой $О$. Луч света, проходящий через оптический центр линзы, практически не преломляется.

Прямая $С_1С_2$, проходящая через центры сферических поверхностей $О$, ограничивающих линзу, называется главной оптической осью линзы. Любую другую прямую, проходящую через оптический центр, называют побочной оптической осью.

Фокусы линзы

Выпуклая (положительная, или собирающая) линза. Если на выпуклую линзу направить пучок света параллельно ее главной оптической оси, то после преломления в линзе он соберется в некоторой точке $F$ на оси линзы, которая называется главным фокусом линзы. Поэтому такие линзы называются положительными, или собирающими. Расстояние от центра линзы $О$ до точки $F$ называется фокусным расстоянием линзы. У линзы имеется два главных фокуса, с каждой стороны по одному.

Если на собирающую линзу направить пучок света, параллельный любой из ее побочных оптических осей, он соберется в точке, лежащей на плоскости, перпендикулярной главной оптической оси линзы и проходящей через ее главный фокус. Эта плоскость называется фокальной плоскостью линзы.

Вогнутая (отрицательная, или рассеивающая) линза. Пучок света, направленный параллельно оптической оси вогнутой линзы, после преломления в ней расходится. Если эти расходящиеся лучи продолжить в обратную сторону, они соберутся на оптической оси линзы со стороны падающего пучка в точку, которая называется мнимым фокусом линзы. Глазу, расположенному с правой стороны, будет казаться, что пучок лучей исходит из точки $F$. Такая линза называется отрицательной, или рассеивающей. Как и в случае собирающей линзы, фокусное расстояние измеряется от оптического центра до фокуса.

Фокусное расстояние линзы зависит от кривизны поверхностей, ограничивающих линзу. Чем больше кривизна поверхности линзы, тем меньше фокусное расстояние.

Оптическая сила линзы

Оптической силой линзы называется физическая величина, обратная фокусному расстоянию:

Оптическая сила измеряется в диоптриях (дптр). В СИ единицей оптической силы является метр в минус первой степени ($м^<-1>$).

Фокусное расстояние собирающей линзы (и соответственно, ее оптическую силу) условились считать положительной величиной, т. к. собирающая линза обладает действительным фокусом.

Фокусное расстояние рассеивающей линзы (и, соответственно, ее оптическая сила) — отрицательная величина, т. к. у рассевающей линзы мнимый фокус.

Построение изображений в линзах

Любой предмет можно разбить на маленькие области, которые условно могут быть приняты за точки. Поэтому для построения изображения любого предмета необходимо знать, как строится изображение произвольной точки.

Собирающая линза

Для образования оптического изображения точки в линзе достаточно двух лучей. В качестве таковых выбираются любые два из трех лучей, ход которых известен: 1) луч, идущий параллельно оптической оси линзы — луч $АС$, который после преломления пересекает оптическую ось в фокусе линзы $F$; 2) луч, проходящий через оптический центр линзы, который не меняет своего направления (луч $АА_1$); 3) луч, проходящий через фокус линзы, который после преломления пойдет параллельно главной оптической оси — луч $АD$. Точка $А_1$ пересечения этих трех лучей за линзой и будет изображением исходной точки $А$.

Для построения изображения точки $S$, находящейся на главной оптической оси, все три упомянутых выше луча не подходят, т. к. сливаются в один, идущий вдоль главной оптической оси, и потому в этом случае пользуются следующим приемом. Из точки $S$ проводят произвольный луч $SB$ до пересечения с линзой. Чтобы найти ход этого луча после преломления в линзе, проводят через центр линзы $О$ луч, параллельный $SB$ и являющийся побочной оптической осью линзы, до пересечения с фокальной плоскостью линзы в точке $Q$. Через эту точку пройдет преломленный луч $ВС$. Таким образом построен ход лучей, выходящих из точки $S$. После преломления эти лучи расходятся. Изображение $S_1$ будет мнимым, т. к. источник расположен между главным фокусом и линзой.

Рассеивающая линза

Построение изображения в рассеивающей линзе показано на рисунке. Поскольку лучи после преломления в рассеивающей линзе не пересекаются, то в фокусе ее собираются продолжения этих лучей. Получаемое изображение, следовательно, является мнимым и прямым. Изображение предмета расположено всегда между фокусом и оптическим центром линзы и поэтому оно всегда уменьшенное.

Формула тонкой линзы

Используя законы геометрии, в частности, подобие треугольников, можно вывести формулу, связывающую расстояние $d$ от предмета до линзы, расстояние $d_1$ от изображения до линзы и фокусное расстояние линзы $f$:

Уравнения называют формулой тонкой линзы. Величины, входящие в формулу, могут быть как положительными, так и отрицательными. Фокусное расстояние $f$ собирающей линзы считается положительным, а рассеивающей — отрицательным. Расстояние $d$ от линзы до предмета положительно, если это действительная светящаяся точка, и отрицательно, если мнимая (т. е. если на линзу падает сходящийся пучок лучей, продолжение которых сходится в одной точке). Расстояние $d_1$ от изображения до линзы положительно, если изображение действительное, и отрицательно, если оно мнимое. Учитывая сказанное, перед каждым членом в формулах ставят знак «+» или «-». Если знаки величин, входящих в формулы, неизвестны, ставят «+». Если в результате вычислений у какой-либо из величин получается знак «-», значит, эта величина — мнимая.

Увеличение линзы

Линейным увеличением $Г$ линзы называется отношение линейного размера изображения $H$ к линейному размеру предмета $h$: $Г=/$

Увеличение линзы равно отношению расстояния от изображения до линзы к расстоянию от линзы до предмета:

Линзы являются основной частью фотоаппарата, проекционного аппарата, микроскопа и телескопа. В глазу есть своя линза — хрусталик.