12.3 Погрешности измерения и классы точности
Точность измерения характеризуется его возможными погрешностями. Эти погрешности при каждом конкретном измерении не должны превышать некоторого определенного значения. В зависимости от способа числового выражения различают погрешности абсолютные и относительные, а применительно к показывающим приборам — еще и приведенные.
Абсолютная погрешность ∆А — это разность между измеренным Лиз и действительным А значениями измеряемой величины:
Например, амперметр показывает Аиз = 9 А, а действительное значение тока А = 8,9 А, следовательно, ∆А =0,1 А.
Чтобы определить действительное значение величины, нужно к измеренному значению прибавить поправку — абсолютную погрешность, взятую с обратным знаком.
Точность измерения оценивается обычно не абсолютной, а относительной погрешностью — выраженным в процентах отношением абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой . величины:
а так как разница между А и Aиз обычно относительно мала, то практически в большинстве случаев можно считать, что у = = (∆A/Aиз)·100 %
Для приведенного примера измерения тока относительная погрешность у0= (0,1/9)·100 % = 1,11 %.
О
днако оценивать по относительной погрешности точность самых распространенных показывающих приборов со стрелочным указателем неудобно. Дело в том, что абсолютная погрешность ∆А у них имеет обычно один и тот же порядок вдоль всей шкалы. При постоянной абсолютной погрешности ∆А с уменьшением измеряемой величины Аиз быстро растет относительная погрешность (рис. 12.1). Поэтому рекомендуется выбирать пределы измерения показывающего прибора так, чтобы отсчитывать показания в пределах второй половины шкалы, ближе к ее концу.
Для оценки точности самих показывающих измерительных приборов служит их приведенная погрешность. Так называется выраженное в процентах отношение абсолютной погрешности показания ∆А к А ном — номинальному значению, соответствующему наибольшему показанию прибора:
Если в рассмотренном примере предел измерения амперметра A ном = 10 А, то приведенная погрешность упр = (0,1/10)-100 % = 1 %
Погрешности прибора обусловливаются недостатками самого прибора и внешними влияниями. Приведенная погрешность, зависящая лишь от самого прибора, называется основной погрешностью. Нормальные рабочие условия — это температура окружающей среды 20 °С (или та, которая обозначена на шкале прибора), нормальное рабочее положение прибора (указанное условным знаком на его шкале), отсутствие вблизи прибора ферромагнитных масс и внешних магнитных полей (кроме земного) и прочие нормальные условия (номинальные: напряжение, частота тока, синусоидальная форма кривой тока и т. д.).
Допускаемая основная погрешность электроизмерительного прибора определяет его класс точности. Обозначением класса точности служит допускаемая основная погрешность приборов, принадлежащих к этому классу: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 4. Принадлежность прибора к определенному классу указывает, что основная погрешность прибора на всех делениях шкалы не превышает значения, определяемого классом точности этого прибора (например, у прибора класса 1 допускаемая основная погрешность 1 %). Отклонение внешних условий от нормальных вызывает дополнительные погрешности.
В зависимости от чувствительности к внешним магнитным или электрическим полям электроизмерительные приборы делятся на две категории: I — приборы менее чувствительные и II — приборы
Для правильного применения электроизмерительного прибора важны его технические особенности. Эти особенности указываются на шкале прибора условными обозначениями, приведенными в табл. 12.1. 12.4. ПОТРЕБЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОИЗМЕРИТЕЛЬНЫМИ ПРИБОРАМИ
Включение измерительного прибора в исследуемую электрическую цепь неизбежно в некоторой степени изменяет ее режим работы. Это изменение вызывается по существу тем, что работающий прибор потребляет некоторую энергию. Поэтому при исследовании объектов малой мощности могут существенно исказиться результаты. Желательно, чтобы собственное потребление энергии измерительным прибором было возможно меньше.
Простейшим примером влияния собственного потребления энергии измерительными приборами на результаты, измерения может служить измерение сопротивления резистора (при постоянном токе) при помощи вольтметра и амперметра с вычислением по закону Ома. Для такого измерения возможны две схемы включения приборов (рис. 12.2), причем в обоих случаях для точного измерения сопротивления резистора необходимо учесть влияние собственного потребления энергии приборами.
Таблица 12.1. Условные обозначения на шкалах электроизмерительных приборов
Прибор трехфазного тока для неравномерной нагрузки фаз
Прибор трехфазного тока с двухэлементным измерительным механизмом
Защита от внешних магнитных полей, например 2 мТл
Защита от внешних электрических полей, например 10 кВ/м
Класс точности при нормировании погрешности в процентах от диапазона измерения, например 1,5
То же при нормировании погрешности в процентах от длины шкалы, например 1,5
Горизонтальное положение шкалы
Вертикальное положение шкалы
Наклонное положение шкалы под определенным углом к горизонту, например 60°
Направление ориентировки прибора в земном магнитном поле
Измерительная цепь изолирована от корпуса и испытана напряжением, например 2 кВ
Прибор испытанию прочности изоляции не подлежит
Осторожно! Прочность изоляции измерительной цепи по отношению к корпусу не соответствует нормам (знак выполняется красного цвета)
В схеме рис. 12.2, а амперметр измеряет ток / в резисторе с сопротивлением г, а вольтметр измеряет напряжение U’ = U + rАI, где rА — сопротивление амперметра, т. е. напряжение, равное сумме напряжения U на резисторе и напряжения между выводами амперметра. Следовательно, на основании закона Ома определяется сумма сопротивлений резистора и амперметра:
Действительное значение сопротивления резистора
Очевидно, что ошибка измерения будет тем меньше, чем меньше сопротивление амперметра.
При измерении по схеме рис. 12.2, б вольтметр присоединен непосредственно к выводам резистора и показывает напряжение U на резисторе, а амперметр измеряет сумму токов в резисторе и в цепи вольтметра: I’ = I + Iv Таким образом, в этом случае на основании показаний приборов определяется п
роводимость
где rv — сопротивление вольтметра.
Чтобы определить проводимость объекта измерения — резистора, нужно из найденной проводимости вычесть проводимость вольтметра:
Чем больше сопротивление вольтметра rv, тем меньше поправка к результатам измерения.
При измерении мощности ваттметром также неизбежно влияние
е
го собственного потребления энергии на результаты измерения. Две основные схемы такого измерения (рис. 12.3) соответствуют двум вышеприведенным схемам измерения сопротивления: в первом случае погрешность вызвана сопротивлением цепи тока ваттметраrА, во втором случае — собственным потреблением энергии цепи напряжения ваттметра.
В схеме рис. 12.3, а ваттметр измеряет кроме мощности Р в сопротивлении нагрузки еще и мощность потерь в сопротивлении собственной цепи тока, т. е.
Риз = Р + rАI 2
Если мощность измеряется по схеме рис. 12.3, б, то ваттметр измеряет кроме мощности в сопротивлении нагрузки еще и мощность потерь в своей цепи напряжения, т. е.
Pиз = P + gvU 2
При переменном токе учет поправок осложняется тем, что сопротивления цепей переменного тока — величины комплексные.
Чем меньше мощности контролируемых цепей, тем существеннее влияние собственного потребления энергии измерительными приборами на результаты измерений. В частности, эти влияния обычно значительны в цепях управления автоматики и в цепях электронных устройств.
Оценка абсолютной погрешности прямых измерений
Систематические погрешности (ошибки) обычно остаются постоянными на протяжении всей серии измерений. Например, при переключении шкалы вольтметра с одного предела на другой меняется его внутреннее сопротивление, что может внести в последующие измерения систематическую погрешность.
Систематические погрешности надо стараться отслеживать и учитывать, корректируя полученные результаты, т.е. исправляя их на необходимую величину. Однако обнаружение систематических погрешностей требует, как правило, дополнительных более точных или альтернативных экспериментов, проведение которых невозможно в рамках лабораторных работ. В этих случаях достаточно указать возможный источник ошибок.
Все остальные погрешности являются случайными.
Промахи — грубые ошибки, обычно они связаны с неправильным отсчетом по шкале прибора, нарушением условий эксперимента и т.д. Их надо отбросить. В сомнительных случаях вопрос о том, является ли данный результат промахом, решают с помощью повторного, если возможно, более точного эксперимента или привлекая математические методы обработки полученных результатов, изучение которых лежит за рамками излагаемого элементарного анализа оценки погрешностей.
Приборные погрешности определяются двумя факторами:
1. классом точности прибора, связанным с его устройством – элементной базой и принципом действия.
Абсолютная погрешность через класс точности оценивается следующим образом:
(Dx) к.т.= (g/100)A,
где g — класс точности в %, указанный на панели прибора,
А= Аmax – предел измерения для стрелочных приборов, либо А есть текущее значение для магазинов сопротивления, индуктивности, емкости;
2. ценой делений шкалы прибора:
где h – цена деления шкалы прибора, т.е. расстояние между ближайшими штрихами шкалы, выраженное в соответствующих единицах измерения.
Погрешности разброса возникают вследствие различия экспериментальных значений при многократном повторении измерений одной и той же величины. Простейший способ определения (Dх)р дает метод Корнфельда , который предписывает следующий образ действий, если физическая величина х измерена n раз:
1) имея х1 , …,хn – значений измеряемой величины х, выбираем из хmax и хmin и находим среднее значение х:
;
2) находим абсолютную погрешность Dxр =
3) Записываем результат в виде: с , где a — доверительная вероятность того, что истинное значение измеренной величины находится на отрезке .
Доверительная вероятность определяет собой долю средних значений х, полученных в аналогичных сериях измерений, попадающих в доверительный интервал. (Эта формула доказывается в теории ошибок.)
Недостатком метода Корнфельда является то обстоятельство, что вероятность приводимого результата определяется исключительно количеством n проведенных измерений и не может быть изменена посредством увеличения или уменьшения доверительного интервала ± Dх. Такую возможность предусматривает несколько более сложный метод расчета погрешностей Стьюдента [2,3,7]. Последовательность расчета погрешностей этим методом такова:
1) Вы измерили и получили несколько i = 1. m значений случайной
величины i. Сначала исключаем промахи, то есть заведомо неверные
результаты.
2) По оставшимся n значениям определяем среднее значение величины :
i
3) Определяем среднеквадратичную погрешность среднего значения :
i
4) Задаемся доверительной вероятностью a. По таблице коэффициентов
Стьюдента (Приложение 1) определяем по известному значению
числа измерений n и доверительной вероятности a коэффициент
Стьюдента tan.
5) Определяем погрешность среднего значения величины (доверительный интервал)
D= tan s<X>
6) Записываем результат
= ( ± D ) с указанием доверительной вероятности a.
В научных статьях обычно приводят доверительный интервал
D = s<X>,
соответствующий доверительной вероятности α =0,7. Такой интервал называется стандартным, при его использовании часто значение доверительной погрешности не приводят. Использование метода Стьюдента является необходимым, когда требуется знать значение физических параметров с заданной доверительной вероятностью (как в ряде лабораторных работ). На практике доверительная вероятность погрешности разброса выбирается в соответствии с доверительной вероятностью, соответствующей классу точности измерительного прибора.
Для большинства исследований, в которых не выдвигается жестких требований к вероятности полученных результатов, метод Корнфельда является вполне приемлемым.
В теории ошибок показывается, что результирующая погрешность , если все эти погрешности рассчитаны для одной и той же доверительной вероятности. На практике, т.к. суммарная погрешность округляется до одной значащей цифры, достаточно выбрать максимальную из трех вычисленных погрешностей, и если она в 3 или более раз превосходит остальные, принять ее за погрешность измеренной величины, при этом фактор, с которым связана эта погрешность и будет в данном случае определять собой точность (а вернее — погрешность) эксперимента (подробнее см. в работе [1]).