Где применяются комплексные числа

Где применяются комплексные числа?

В течение последних двухсот лет комплексные числа находят многочисленные, а иногда и совершенно неожиданные применения. Так, например, с помощью комплексных чисел Гаусс на­шел ответ на чисто геометрический вопрос: при каких натуральных n циркулем и линейкой можно по­строить правильный n-угольник? Из школьного кур­са геометрии известно, как циркулем и линейкой по­строить некоторые правильные многоугольники: правильный треугольник, квадрат, правильный шестиугольник (его сторона равна радиусу описан­ной около него окружности). Более сложным являет­ся построение правильных пятиугольника и пятнадцатиугольника. Научившись строить эти правильные многоугольники, легко перейти к построению соответ­ствующих многоугольников с удвоенным числом сторон: восьмиугольника, десятиугольника и т. п. Все эти задачи на построение были решены еще в Древней Греции. Однако, несмотря на огромные усилия мно­гих замечательных древнегреческих геометров и дру­гих ученых, никому не удалось построить ни правиль­ный семиугольник, ни правильный девятиугольник. Не удалось также осуществить построение пра­вильного р-угольника ни при каком простом числе р, кроме p = 3 и p = 5. Более двух тысяч лет никто не мог продвинуться в решении этой проблемы. В 1796 г. Карл Фридрих Гаусс, 19-летний студент-математик Геттингенского университета, впервые доказал воз­можность построения правильного семнадцатиугольника с помощью циркуля и линейки. Это было одно из самых удивительных открытий в истории матема­тики. В течение нескольких последующих лет Гаусс полностью решил проблему построения правильных n-угольников.

Гаусс доказал, что правильный N–угольник с не­четным числом сторон (вершин) может быть по­строен с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число N является простым числом Ферма или произведением нескольких различных простых чисел Ферма. (Числами Ферма называют числа вида F_n = + 1 · Приn = 0, 1, 2, 3, 4 эти числа являются простыми, при n = 5 число F₅ будет состав­ным. Из этого результата следовало, что построение правильного многоугольника невоз­можно при N = 7, 9, 11, 13.

Легко заметить, что задача о построении пра­вильного n-угольника равносильна задаче о делении окружности радиуса R = 1 на n равных частей. Выше было показано, что корень n-й степени из единицы имеет точно n значений; почти все эти значения (за исключением одного, двух) являются комплексны­ми. Точки, изображающие корни n-й степени из еди­ницы, располагаются на окружности радиуса R = 1 и делят ее на n равных дуг, т. е. являются вершина­ми правильного n-угольника, вписанного в эту окруж­ность (см. рис. 3). При доказательстве возможности построения правильного 17-угольника Гаусс поль­зовался свойствами корней 17-й степени из единицы.

В XVIII в. возникла новая область математики – теория функций комплексной переменной. Введем по­нятие такой функции. Рассмотрим две комплексные переменные z = x + iy и w = u + iv, где x, y, u, v – действительные переменные, i = — мнимая еди­ница. Зафиксируем две комплексные плоскостиOxy (плоскость z), O’uv (плоскость w) с выбранными на них системами прямоугольных координат и два множества на этих плоскостях: D и D’ соответствен­но (рис. 4).

D‘

Если каждой точке zD по некоторому закону f ставится в соответствие единственная точка wD’, то говорят, что w есть функция от z и пишут: w = f(z). Множество D в этом случае называют об­ластью определения функции w = f(z), значения кото­рой принадлежат области D’. Если множество значе­ний f(z) исчерпывает все множество D’, то D’ называ­ют множеством значений (областью изменения) функции f(z). B таком случае пишут: D’= f(D). Мно­жества D и D’ можно изображать на одной комплекс­ной плоскости. Каждое из множеств D и D’ может совпадать со всей плоскостью.

Таким образом, каждая комплексная функция реализует однозначное в одну сторону отображение одного множества на другое. Благодаря этому комплексные функции находят важные применения таких науках, как гидродинамика и аэродинами­ка, поскольку с их помощью удобно описывать дви­жение объема жидкости (или газа).

С помощью теории функций комплексной пере­менной доказана следующая важная теорема, которую долгое время называли основной теоремой алгебры.

Теорема: Всякий многочлен с любыми число­выми коэффициентами, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.

Рассмотрим многочлен степени n (n ≥ 1):

Корнем многочлена называют такое число с (в об­щем случае комплексное: с = a + bi), которое обра­щает данный многочлен в нуль:

Другими словами, теорема утверждает, что алге­браическое уравнение n-й степени (n ≥ 1)

имеет хотя бы один корень.

Отсюда следует, что любое алгебраическое урав­нение n-й степени имеет ровно n корней. Действи­тельно, если многочлен f(х) = a₀x n + a₁x n -1 + … + a_n-1x + a_n , имеет корень α₁, то его можно пред­ставить в виде f(х) = (х – α₁)φ₁(x), где φ₁(x) – много­член степени n – 1. Этот многочлен по данной теоре­ме имеет хотя бы один корень. Обозначим корень многочлена φ₁(x) через α₂, тогда φ₁(x) = (х – α₂)φ₂(x), где φ₂(x) – многочлен степени n – 2. Продолжая аналогичные рассуждения, находим, что f(x) = a₀(x – a₁)(x – a₂). (x – a_n). Отсюда видно, что f(α_i) = 0 при i – 1, 2, . , n, т. е. α_i — корни многочлена (36) или уравнения (37). Таким образом, уравне­ние (37) имеет n корней.

Отметим, что комплексные корни всякого много­члена с действительными коэффициентами всегда сопряжены: если с = a — bi – корень уравнения, то с = а-bi – также корень данного уравнения. Ины­ми словами, комплексные корни такого многочлена входят парами во множество его корней. Отсюда следует, что любое алгебраическое уравнение не­четной степени имеет хотя бы один действительный корень.

Замечание. Не всякое уравнение имеет корни, действительные или комплексные. Например, транс­цендентное (неалгебраическое) уравнение а x = 0 (а > 0) не имеет никаких корней (ни действительных, ни комплексных).

Простейшим примером функции комплексной переменной является линейная функция w = z + c, где с – постоянная (комплексное число). Эта функ­ция осуществляет преобразование плоскости z на плоскость w. Каждой точке z она ставит в соответ­ствие точку w = z + с. Очевидно, от точки z можно перейти к точке w путем сдвига (параллельного пе­реноса) на вектор с, т. е. посредством перемещения точки z по направлению вектора с на расстояние, равное длине этого вектора (рис. 5). Путем подхо­дящего выбора числа с можно получить любой сдвиг. Например, если точку z нужно сдвинуть в положи­тельном направлении оси Ox на две единицы, то надо взять с = 2; точка w = z + 2 будет искомой (рис. 6). Если же точку z нужно сдвинуть в отрицательном направлении оси Oy на три единицы, то берем c = -3i; точка w’= z + (-3i) = z – 3i будет искомой (рис. 6). Итак, функция w = z + c осуществляет преобразование (отображение) плоскости, которое называют сдвигом на вектор с.

w’ = z – 3i

Геометрическое преобразование, при котором ве­личины углов между любыми двумя линиями, содер­жащимися в преобразуемой фигуре, не изменяются, называют конформным преобразованием или кон­формным отображением. (Под углом между двумя линиями, пересекающимися в некоторой точке, по­нимают угол между касательными к этим линиям, проведенными в этой точке.) Примерами конформ­ных отображений могут служить сдвиг (параллель­ный перенос), гомотетия и поворот. Таким образом, можно сказать, что функция w = z + с осуществляет конформное отображение; это одна из таких функций.

Теория функций комплексной переменной находит широкое применение при решении важных практи­ческих задач картографии, электротехники, тепло­проводности и др. Во многих вопросах, где речь идет, например, об электрическом потенциале в точ­ках пространства, окружающего заряженный кон­денсатор, или о температуре внутри нагретого тела, о скоростях частиц жидкости или газа в потоке, дви­жущемся в некотором канале и обтекающем при этом некоторые препятствия, и т. п., нужно уметь находить потенциал, температуру, скорости и т. п. Задачи такого рода могут быть решены без особых затруд­нений в случае, когда встречающиеся в них тела имеют простую форму (например, в виде плоских пластин или круговых цилиндров). Однако расчеты необходимо уметь производить и во многих других случаях. Например, чтобы сконструировать самолет, надо уметь вычислять скорости частиц в потоке, обтекающем крыло самолета. Разумеется, при полете самолета движутся и частицы воздуха, и само крыло. Однако, опираясь на законы механики, исследование можно свести к случаю, когда крыло неподвижно, а на него набегает и обтекает его поток воздуха. Крыло самолета в поперечном разрезе, (профиль крыла) имеет вид, показанный на рисунке 7. Расчет ско­ростей производится достаточно просто, когда по­перечный разрез обтекаемого тела есть круг (т. е. само тело является круглым цилиндром). Чтобы свести задачу о скоростях частиц потока воздуха, обтекающего крыло самолета, к более простой задаче обтекания круглого цилиндра, достаточно конформно отобразить часть плоскости, заштрихованную на ри­сунке 7, а (вне крыла), на другую фигуру, заштрихо­ванную на рисунке 7, б (вне круга). Такое ото­бражение осуществляется с помощью некоторой фун­кции комплексной пере­менной. Знание этой фун­кции позволяет перейти от скоростей в потоке, обте­кающем круглый цилиндр, к скоростям в потоке, об­текающем крыло самоле­та, и тем самым полностью решить поставленную задачу.

Конформное отображение, заданное соответствующей функцией комплексной переменной, аналогичным образом позволяет сводить решение задач о расчете электрического потенциала и температур от случая тел произвольной формы (любого профиля сечения) к простейшим случаям, для которых задачи решается легко.

Русский и советский ученый H. E. Жуковский (1847–1921) успешно применял теорию функций комплексной переменной к решению важных при­кладных задач. Так, методами этой теории он доказал основную теорему о подъемной силе крыла самолета. В. И. Ленин назвал H. E. Жуковского «отцом русской авиации». В одном из своих высту­плений H. E. Жуковский говорил: «. человек не имеет крыльев и по отношению веса своего тела к весу мускулов он в 72 раза слабее птицы; . он почти и 800 раз тяжелее воздуха, тогда как птица тяжелее воздуха в 200 раз. Но, я думаю, что он полетит, опираясь не на силу своих мускулов, а на силу своего разума». (Жуковский H.E. Собрание сочи­нений. – М. – Л.: Гостехиздат, 1950. –T. 7. – С. 16.) С помощью теории функций комплексной перемен­ной H.E. Жуковский решал задачи, относящиеся к вопросам просачивания воды через плотины.

Список використаної літератури:

“Алгебра” С. Ленг Издательство МИР, Москва, 1968

“Кольца и модули” Ламбек, Иохаим. Издательство МИР, Москва, 1971

“Кольца(Элементы теории)”, Михалевич Ш. Х. Издательство Даугавпилоского педагогического института, 1973

“Алгебра: кольца, модулы и категории” Фейс К., Издательство МИР, 1977

“Кольца и модули. Предельные теоремы теории вероятности” Издательство ЛГУ, 1986

“Теория колец”, Джекобсон Н.. Государственное издательство иностранной литературы, Москва, 1947.

Применение комплексных чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

В данной статье рассматривается понятие комплексных чисел, их применение в электротехнике и механике . Рассмотрена теоретическая часть, приведен и разобран пример.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Толстошеин А. О.

Текст научной работы на тему «Применение комплексных чисел»

9. Полат Е.С. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования. — М., 2000.

10. Полат Е.С. Типология телекоммуникационных проектов // Наука и школа. — 1997. — № 4.

ПРИМЕНЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ © Толстошеин А.О.*

Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

В данной статье рассматривается понятие комплексных чисел, их применение в электротехнике и механике. Рассмотрена теоретическая часть, приведен и разобран пример.

Ключевые слова комплексные числа, применение, электротехника, закон Ома, закон Кирхгофа, механика.

Во время прохождения курса высшей математики мы часто сталкиваемся с таким понятием как комплексные числа. Но что же это такое и где они применяются? В данной статье попробуем найти ответ на этот вопрос.

В давние времена ученые столкнулись с такой вещью как мнимая единица

I = лЛ, это случилось когда стало недоставать действительного числа, при решении, казалось бы, простого квадратного уравнения х2 + рх + д = 0, где «р» и «д» являются числами действительными. На первый взгляд это уравнение довольно таки простое, но при его решении, т.е. вычислении его корней по всем известным в те времена формулам, ученые до века XVI сталкивались с проблемой отрицательного корня. При всем этом, не кому не удавалось объяснить есть ли смысл придавать значение данному выражению, и поэтому решили, что корень из числа отрицательного смысла не имеет. И по сей день при прохождении школьной программы, которая не дает представление о комплексных числах, принято говорить, что при отрицательном корне, решением является ни положительное, ни отрицательное числа и даже ни нуль.

Но вскоре, уже при решении кубического уравнения отказываться от отрицательного значения корня было нельзя. Более 400 лет тому назад несколько итальянских математиков все таки нашли способ как можно решить уравнения третей степени. Одним из тех математиков был Джироламо Кар-дано, в его честь и назван этот способ, изложил способ в 1543 году в своем учебнике. Этот способ сводится к тому, что корни уравнения X + рх + д = 0

* Кафедра Электроэнергетики и электротехники. Научный руководитель: Дмух Г.Ю., доцент кафедры Алгебры, геометрии и анализа, к.п.н.

могут быть вычислены по формуле, так же названной в его честь формулой Кардано:

Все было довольно просто, если бы не одно «но», а именно, что при наличии в решении трех различных действительных корней формула не может дать желаемого результата. Это можно доказать на простом примере: корнями уравнения X — х = 0 являются числа 0, 1, -1,но если попытаться решить данное уравнение вышеизложенным методом, то мы получим следую-

щее: х = , но же нужно сделать, чтобы извлечь из этого

выражения три необходимых нам корня?

После этого математики взялись за данную проблему и приступили к изучению так называемых мнимых чисел. После их изучения было обнаружен весьма приятный факт: многие сложные задачи математик решаются в разы проще, если при их решении применять мнимые числа. Впоследствии К.Ф.Гаусс внес предложение называть мнимые числа комплексными, что впоследствии стало привычным делом.

Даже Ф. Энгельс говорил: «И все же ¿Г является во многих случаях необходимым результатом правильных математических операций, более того, что было бы с математикой, как низшей, так и высшей, если бы ей было запрещено оперировать с ^¡-Т».

Теперь, когда мы знаем что такое комплексные числа, мы можем разобрать их применение в различных дисциплинах.

Начнем с того как применяются комплексные числа в электротехнике.

Описание электромагнитных процессов в цепях переменного тока сводится к решению множества интегралов, а решение их становится столь сложным, что взять их не под силу даже опытным математикам. При расчете простых цепей, которые содержат достаточно небольшое число источников, контуров, индуктивных связей, чаще всего используется тригонометрический метод решения, но с усложнением электрической цепи данная форма расчета является весьма сложной для нахождения результата. В этой ситуации на помощь приходят комплексные числа.

Комплексное число — это число вида 2 = х + /у, где х, у — действительные числа, /-мнимая единица. Изображается на комплексной плоскости точкой, где ось абсцисс — действительная, ось ординат — мнимая.

Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной — 2 = х + Iу и 2 = ге'^соответственно. Для перехода из

одной формы в другую пользуются формулами: г = у х + у , ф = arctg—,

где г — модуль комплексного числа, ф — аргумент.

Рассмотрим на примере применение комплексного метода в электротехнике. Для этого решим задачу по нахождению тока, в цепи с последовательным соединением, в общем виде.

Последовательное соединение элементов Я, Ь, С.

I С Ь ^ _I I_ГЛ__

Рис. 1. Схема последовательного соединения элементов электрической цепи

В данной ситуации заданными для нас параметрами являются Я, Ь, С и синусоидальное напряжение и = + ф) на цепи, искомой величиной

является ток / = + ф — у).

Пусть наше синусоидальное напряжение символизируется комплексной функцией иет*, а синусоидальный ток, который нам необходимо найти, комплексной функцией 1е'"; комплексные амплитуды напряжения и тока равны, соответственно и = ите*, I = . Записав уравнение Кирх-

гофа для нашей цепи, мы получим: и = ш + ь — + ^т Г —

Сложение, дифференцирование и интегрирование функций в уравнении заменяются теми же математическими операциями над мнимыми частями комплексных функций:

Операции над мнимыми частями комплексных функций могут быть заменены операциями над самими комплексными функциями с последующим выделением мнимой части полученного результата. Тогда, исходя из этого, мы получим:

Полученное уравнение удовлетворяется для любого момента времени. Отсюда, произведя дифференцирование и интегрирование получим:

Вынесем ток í за скобки и введем условное обозначение полного комплексного сопротивления цепи:

Z = R + jab +—= R + j \ab —— | = R + jX

и получим выражение:

которое излагает закон Ома для комплексных амплитуд.

Разделив обе части на этого уравнения , мы получим закон Ома для комплексных действующих значений: U = ZÍ. Из этого выражения следует,

что значение комплексного сопротивления есть Z = —г.

Запишем комплексное сопротивление Z в тригонометрической и показательной формах: Z = z cosф + jz sin^ и Z = zép соответственно, где z — модуль комплексного числа Z — представляет собой полное сопротивление цепи, а р — аргумент комплексного числа Z. Найдем z и р по формулам:

z = л/R2 + X2 и ф = arctgX.

На основании закона Ома для комплексных амплитуд комплексная амплитуда тока:

j _ Um _ Um j (fi-V) Im = = e

где р- v- начальная фаза тока.

Из этого следует, что искомый ток будет иметь вид:

i = Im (ím ea ) = Um sin (at + р-у). z

Вот мы и рассмотрели один и способов применения комплексных чисел. Но так же они применяются не только в электротехнике.

Разберем применение комплексных чисел в механике. Для этого решим задачу, в которой нужно найти величину и направление результирующей силы.

Условие: Сила А, / = ^45°, сила Б, /ъ = 10Z60o, сила С, /с = ^120°.

Рис. 2. Направление векторов сил

Дня начала найдем величину результирующей силы с помощью комплексного метода:

/а + /ъ + Л = ^45° + 10Z60° + 1^120° — это одна из форм записи комплексных чисел.

Отсюда результирующая сила равна:

15(00845° + ;ап45°) + 10(^60° + ;ап60°) + 15(^120° + ;ап120°) = = (10.606 + >10.606) + (5 + >8.66) + (-7.5 + >12.99) = 8.106 + >32.256

Величина результирующей силы есть ^/(8,106)2 + (32,256)2 = 33,26 Н.

Направление результирующей силы будет аг^ I I = 75,90.

Таким образом, на простейшем примере, мы увидели, как помогают комплексные числа при решении задач в механике.

В заключение хотелось бы сказать, что комплексные числа в настоящее время используют для решения задач, связанных с самолетостроением и аэромеханикой, а также используются для расчета различных конструкций на прочность. Это говорит о том, что актуальность их с каждым годом возрастает. Также, с помощью комплексных чисел можно решать на первый взгляд не решаемые задачи, что мы и рассмотрели в ходе работы.

1. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи [Текст] / М-во высш. образования СССР. Моск. ордена Ленина авиац. ин-т им. Серго Орджоникидзе. — М.: Оборонгиз, 1957. — С. 80-84: черт.; 23 см. — 20000 экз.

2. Балк М.Б., Балк Г.Д., Полухин А.А. «Реальные применения мнимых чисел». — Изд. «Радянська школа», 1988. — С. 5-16.

3. Берд Дж. Инженерная математика. Карманный справочник. — М.: До-дэка-XXI, 2008. — С. 266-269.

Дальневосточный федеральный университет, г. Владивосток

В данной статье рассматриваются гиперболические функции, их некоторые свойства, приведены примеры вычисления и разложения в ряд, решения уравнений, содержащих гиперболические функции.

Ключевые слова: гиперболические функции, гиперболические тождества, графики гиперболических функций, уравнения, содержащие гиперболические функции.

Функции, связанные с коническими сечениями — гиперболами, называются гиперболическими функциями. Область применения гиперболических функций включает теорию линий передач и цепных подвесок [1, с. 76].

Гиперболический синус х:

Гиперболический косинус х:

Гиперболический тангенс х:

chx ex + e Гиперболический косеканс х:

shx ex -e Гиперболический секанс х:

* Кафедра Электроэнергетики и электротехники. Научный руководитель: Дмух Г.Ю., доцент кафедры Алгебры, геометрии и анализа, к.п.н.

Комплексные числа — роль комплексных чисел в науке

Математика оперирует понятием действительные числа, но часто этого недостаточно, чтобы провести все операции и решить все уравнения. Поэтому математиками было введено понятие комплексные числа, более широкое понятие, чем действительные.

Чтобы решить простые примеры из натуральных чисел, не нужны новые понятия. Но вот чтобы найти решение уравнения с буквенными обозначениями, нужно использовать комплексные числа. Комплексное число — это число двухмерного вида, которое отличается от обычных своим составом: в нем есть действительная и мнимая часть. Его вид — z = a+bi, где i — это и есть такая самая мнимая единица. Представить в реальности комплексное число так же, как натуральное, невозможно, зато его можно записать с помощью обычной оси координат, геометрическим способом.

Понятие комплексных чисел

Комплексные числа — основное понятие не только математики. Их применяют для построения математических моделей волн и колебаний в смежных дисциплинах. Поэтому тема комплексные числа входит в основной блок физики для студентов физико-математических вузов.

Комплексные числа как математический термин появились в 16 веке. Уже тогда итальянские математики ввели в обиход эти числа и формальное решение уравнения, которое сводилось к извлечению квадратного корня из минус 1. Сначала такие числа получили название мнимых, затем им дали названия комплексные числа. Интересно, что сам математик, который ввел их в научное употребление, решил, что они бесполезны и никому не нужны, так как имеют парадоксальную сущность. Он даже назвал их софистическими числами, показывая всю их нестандартность. Это действительно был научный парадокс — квадратный корень из минус единицы был бессмысленным числом, но если сложить два таких числа, то результат получается вполне реальным. Из-за неясной сущности комплексных чисел, их необычного вида ученые считали их даже чем-то мистическим, “прибежищем божественного духа”.

Первые применения комплексных чисел

Впервые применять комплексные числа в решениях уравнений начали Лейбниц и Бернулли. Лейбницу же принадлежит утверждение, что комплексное число — не что иное, как логарифм отрицательного числа. Эйлер и Даламбер развили понятие комплексных чисел и стали широко применять в смежных дисциплинах. Они открыли несколько полезных свойств комплексных чисел и выяснили их удобство в решении задач по геодезии, составлению карт, гидродинамики.

Однако несмотря на все достижения, математики опасались широко использовать комплексные числа в повседневной практике, считая их ненастоящими и фантастичными. Вносило путаницу само словосочетание “мнимая единица”. Математики рассуждали так — ведь не существует квадрата, сторона которого равна минус одному? Но почему тогда вычисления с такими ненастоящими числами приводят к вполне осязаемому и правильному результату?

Поэтому главная задача математики того времени — либо принять комплексные числа, как некие допущения, либо объяснить их существование. Существенный вклад в изучение комплексных чисел внес немецкий математик Гаусс, давший их обоснование с точки зрения арифметики и нашел способ записать их геометрически.

Гиперкомплексные числа

Активнее всего над теорией комплексных чисел работал математик Гамильтон, который расширил их понятие и ввел новый термин — гиперкомплексные числа.

Основная задача, которую успешно решает комплексное число, — любое уравнение имеет решение, даже если для этого придется извлечь корень из отрицательного числа. Если принять, что любое действительное число — это точка на оси координат, а комплексное число тоже можно отложить на оси координат, получим, что оно — не более чем расширение понятия действительного числа, а действительные числа — это элемент множества комплексных чисел.

Для комплексных чисел нельзя сказать: больше оно или меньше, поэтому между ними нельзя поставить знак неравенства. Основное правило комплексных чисел — они равны тогда, когда равны обе их части, и мнимая, и действительная. Если числа отличаются только своей мнимой частью, они получают название сопряженных.

Тригонометрическая формулировка комплексных чисел

Комплексные числа записывают методами алгебры, и тогда с ними можно выполнять разные арифметические действия: складывать между собой, вычитать, получать произведение, делить и возводить в степень. Однако если говорить об извлечении корня, выполнить это действие над алгебраической формой нельзя. Для этого у числа должна появиться тригонометрическая форма, согласно которой комплексное число — точка на плоскости между осями координат.

Аргумент комплексного числа — это угол, образуемый между вектором (это и есть геометрическое начертание комплексного числа) и осью координат. Длина вектора — модуль комплексного числа. У каждого комплексного числа есть две важнейшие характеристики — модуль и аргумент. Причем модуль — это всегда положительное и действительное число. Иногда он равняется нулю, но если вектор состоит из точки 0. А вот аргумент — любое число, с плюсом или минусом.

Над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, можно выполнять арифметические действия. Например, умножение — чтобы умножить комплексные числа между собой, складывают числовые значения аргументов и перемножают модули. Можно возвести их в натуральную степень — это действие производится по формуле Муавра. Согласно ей, чтобы возвести в натуральную степень комплексное число, нужно посчитать произведения аргумента и показателя степени, а его модуль возвести в эту степень. Эта же формула работает и для отрицательных чисел.

Комплексное число можно записать не только с помощью средств алгебры и тригонометрии, но и показательной форме. Именно в таком виде они используются в электротехнике. Эту форму изобрел и предложил математик Эйлер, который записал комплексное число как число со степенью с комплексным показателем. В этой форме можно производить любые операции — сложение, вычитание, деление, умножение, возведение в степень и извлечение из него.

О роли комплексных чисел в науке

Комплексные числа (z=x+iy) прочно вошли в арсенал методов исследования окружающего нас Мира — от теории элементарных частиц до космологии. К сожалению, во всех теоретических моделях, они (комплексные числа) рассматриваются в качестве технического приема, облегчающего математические вычисления. Наблюдательные данные и экспериментальные результаты «объясняются» только с помощью вещественной части комплексного выражения, полученного из теоретического расчета. Мнимую часть отбрасывают, как не реальную (не наблюдаемую).

Цель данной работы – показать, что наш Мир намного сложней и интересней, чем тот, который мы фиксируем с помощью наших несовершенных ощущений или инструментов. Он содержит кроме материальной составляющей еще и мнимую часть, такую же «реальную», как и вещественная часть.

Кратко напомним историю возникновения комплексных чисел. Хорошо известно, что корни математики уходят в глубокую древность и уже тогда ученые столкнулись с необычными числами. Пифагор (VI век до н.э.) придавал числам мистический смысл. Документальные сведения о необычных числах датируются 1545 годом, когда Джиронимо Кордано предложил создать новый вид чисел для решения некоторых уравнений. В 1552 году с комплексными аргументами Рафаэль Бомбелли установил первые правила арифметических операций над такими числами. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году Рене Декарт. В 1707 году Абрахам де Муавр построил общую теорию корней уравнений любой степени. В 1777 году Леонард Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginare (мнимые) для обозначения мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря Карлу Гауссу (1831 г.), который ввел термин «комплексные числа».

2. Комплексные числа в физике

Классическая физика. С XIX-го века комплексные числа стали неотъемлемой частью практически всех разделов физики. Главная особенность использования комплексных чисел заключается в том, что с их помощью удивительно легко и просто решаются задачи, принципиально нерешаемые в рамках математики вещественных чисел. С самых ранних этапов использования комплексных чисел, велись дискуссии о реальности результатов вычислений, содержащих не только действительную часть, но и часть с мнимой единицей. Особенно актуальным этот вопрос был в тех разделах классической физики (электрические цепи, передача информационных сигналов, гидродинамика, аэродинамика и др.), где результаты расчета непосредственно проверялись экспериментом. Здесь существуют многочисленные примеры наблюдений, описываемых комплексными числами. Наиболее четко это можно проследить на примере, так называемого, импеданса (Z) – комплексного полного сопротивления электрической цепи. Если придать току и напряжению комплексную форму, то закон Ома для сложной цепи, содержащей кроме омического сопротивления еще конденсатор и катушку индуктивности, сохраняет свой традиционный вид. Но теперь формула закона Ома будет содержать новое сопротивление в виде комплексного числа

Z:U = ���� = (������ + ��)�� (i — мнимая единица, U — напряженность, L – индуктивность, ω – частота, R – омическое сопротивление, I – электрический ток).

В самом общем случае, для любых сложных электрических цепей, сопротивление представляется в виде суммы активного (вещественного) и реактивного (мнимого). Физическое измерение (с помощью физических приборов) дает суммарное сопротивление. Теоретически можно выделить действительную и мнимую части, но зафиксировать их по отдельности, видимо невозможно. Основные свойства комплексных чисел легко обобщаются на случаи комплексных векторов и комплексных функций. Кроме того, комплексная плоскость позволяет применять, так называемые, конформные (подобные) отображения, упрощающие расчеты не только в электрических цепях, но и в задачах теплопроводности, гидродинамики и, даже, магнитных полях. Та же проблема реальности мнимых форм возникает при использовании, так называемого, интеграла Фурье в комплексном виде: в электрической цепи электродвижущую силу (эдс) можно с помощью интеграла Фурье рассматривать как сумму бесконечного числа синусоидальных колебаний. Анго приводит ряд примеров, когда комплексный интеграл Фурье следует рассматривать как физическую реальность. Его соображения применимы и к оптическим задачам, где имеется тесная связь между коэффициентом преломления и коэффициентом поглощения в виде соотношений, связывающих вещественную и мнимую части диэлектрической постоянной (дисперсионные соотношения). В последние годы дисперсионные соотношения стали широко использоваться при изучении взаимодействия элементарных частиц.

Следует отметить еще одну особенность интеграла Фурье: в комплексной форме ему можно придать вид, когда между самим интегралом Фурье (зависящим от времени) и его коэффициентом Фурье (зависящим от частоты) устанавливается полная симметрия:

Это означает, что существует полная симметрия между временем и частотой. Данный факт играет большую роль в современной теории информации.

Я подробно остановился на книге Анго в связи с тем, что это единственная современная (известная мне) работа, где принципиально обсуждается вопрос о реальности мнимой компоненты в классических физических экспериментах. В математических книгах, посвященных функциям комплексного переменного, классические физические задачи рассматриваются только как примеры эффективного использования данного математического аппарата без обсуждения реальности мнимой составляющей теоретических расчетов.

Квантовая механика. Данная наука «родилась» из классической механики путем внедрения ряда постулатов [3]: 1) введение волной функции Ψ =a exp(����⁄ℏ), где a – const , S – действие, ħ – постоянная Планка. То есть, уже в первом постулате появилась мнимая единица i. Волновая функция Ψ полностью определяет состояние физической системы; 2) введение волнового уравнения Шредингера iħ(����⁄����)=ĤΨ, где Ĥ – оператор Гамильтона. Это основное уравнение квантовой механики, которое определяет волновую функцию физической системы. Здесь опять мы видим мнимую единицу i .

Если подставить волновую функцию Ψ в уравнение Шредингера с гамильтонианом Ĥ= −(ℏ2⁄2��) �� + ��(��, ��, ��), то получим это уравнение:

В этом уравнении имеются чисто вещественные и чисто мнимые части. Приравнивая вещественные и мнимые части (пренебрегая слагаемым, содержащим ℏ2) по отдельности нулю (?), получают два уравнения:

Уравнение (1) интерпретируют, как предельный переход к классическому уравнению Гамильтона-Якоби для действия S. Уравнение (2), игнорируя мнимую единицу, интерпретируют, как уравнение неразрывности. Действительно, выражение в квадратных скобках можно преобразовать к уравнению неразрывности, но голословно отбрасывать i, стоящую перед квадратной скобкой в уравнении (2) – это традиционное пренебрежение физиками мнимой составляющей.

Теория относительности. Основным понятием данной теории, в инерциальной системе отсчета, является интервал: d��2= ��2d��2- d��2- d��2- d��2. Благодаря введению Минковским мнимого времени τ=ict, интервал приобрел более симметричный вид: -d��2=(d��2+d��2+d��2+ ����2) и появилось фундаментальное представление о едином пространстве-времени. Таким образом, в теорию относительности внедрилась мнимая единица i. Если мы переходим в неинерциальную систему отсчета (теорию гравитации – ОТО), то d��2 уже не будет суммой квадратов дифференциалов четырех координат и интервал примет вид: -d��2=������d����d����, где ������-метрический тензор пространства-времени, ��1,��2,��3 — пространственные координаты ��0- временная координата. Так как уже нет смысла сохранять мнимое время, то переходят к реальному времени t.

Но детерминант метрического тензора оказывается отрицательным и будет теперь во всех формулах ОТО входить в таком виде

Таким образом, теория относительности (как и квантовая механика) несет в себе мнимую компоненту. И это, по моему мнению, не формальный математический прием, а не понятый до сих пор, скрытый смысл сосуществования мнимого и действительного в нашем Мире.

3. Фракталы и реальность

В отличие от физики, в математике революции проходят спокойно и даже незаметно. Появление комплексных чисел большинством ученых (и физиков, и математиков) было воспринято, как естественный процесс расширения множества вещественных чисел (ассоциируемое с линией без ширины), до двумерного множества в плоскости комплексных чисел. Кроме «кучки диссидентов» типа Анго, никто не обратил внимание на скрытый физический смысл мнимой единицы.

То же самое можно сказать и о революционных изменениях в базовых понятиях математики второй половины ХIХ века. Все началось с открытия Вейерштрассом непрерывной, но нигде недифференцируемой функции

В сущности, эта функция уже была прообразом фрактала, но никто еще об этом не догадывался. Математическая мысль пошла в сторону введения новых понятий — дробной размерности и, соответственно, — дробной производной. «Фрактальная» функция Вейерштрасса, из-за ее «изрезанности» («шероховатости»), воспринималась как линия с шириной. В начале ХХ века Жулиа и Фату (1918 г.) открыли нелинейное итерационное отображение с комплексными аргументами:

Это уже был настоящий фрактал, но «разглядеть» его не представлялось возможным, в виду отсутствия технических средств. Такая возможность появилась с созданием компьютерных технологий.

Считается, что фракталы открыл Мандельброт в 1980 г.. Он впервые наблюдал на экране дисплея множество Жулиа. Эффект превзошел все ожидания – перед учеными наглядно открылся виртуальный мир комплексных чисел. Фрактальные картины с экрана дисплея быстро перекочевали в музейные залы искусствоведов – началась эпоха фрактальной геометрии.

Множество Мандельброта в координатах — реальная и мнимая части константы.

Данное открытие было обусловлено тремя составляющими:

использование нелинейного итерационного отображения ����+1→���� 2+c (функция Жулиа);

использование в качестве аргументов данной функции комплексных чисел z=x+iy, c=a+ib;

использование современных компьютерных технологий, позволяющих задействовать достаточно длительный итерационный процесс и вывести его результат на экран дисплея.

В результате появились визуальные фрактальные картины с необычной графикой, где-то повторяющие аналогичные картины из окружающей нас Природы (живой и неживой). Итерационный процесс ��0→��1→��2→… за достаточно большой период времени и составляет предмет исследования фрактала.

Главные особенности фрактала:

если в отображении ����+1→���� 2+c зафиксировать параметр с и изменять z (от начальной точки ��0) в поле комплексных чисел, то мы получим множество Жулиа; а если зафиксировать точку ��0= 0 и менять параметр с , то получим множество Мандельброта;

одни фракталы статичны (очертания гор, извилистая линия морского берега и др.), другие непрерывно меняются (движущиеся облака, мерцающее пламя и др.), третьи – живые, они сохраняют структуру в процессе эволюции (деревья, сосудистые системы животных, человека и т.д.);

фрактальные объекты самоподобны – каждая точка объекта повторяет сам объект в меньшем масштабе до бесконечности

Компьютер, как главный «поставщик» фрактала, позволяет увидеть связи и значения, которые до сих пор были скрыты от нас. Главным образом это относится к компьютерной графике, переживающей сегодня период интенсивного развития и обогатившей наши возможности в такой степени, которая редко достигалась другими средствами науки. Многие ученые, и люди искусства, и обеспокоенные родители, воспринимают компьютер как дьявольский инструмент – все становятся его рабами. Можно было бы отдать красивые компьютерные «игрушки» для развлечения юных (и великовозрастных) дитятей. Но как быть с Природой? Кто (или что) породил аналогичные «игрушки» в нашем реальном мире? Списать это на случайность – просто нелепо, Признать существование некой Всевышней Силы – в принципе, можно (на всякий случай). Но мы прекрасно осознаем, что картины, и в дисплее, и в Природе – это порождение «игры» комплексных чисел. Можно интерпретировать алгоритмы и программы построения фракталов, как шифровальный код будущей развернутой информации: короткий алгоритм (4) и 4 строчки компьютерной программы – это сотни страниц текста с описанием представленной картины. В отличие от физики, здесь уже невозможно выбросить мнимую часть алгоритма – картина зависит от всего комплексного выражения. Как виртуальные (в компьютере), так и реальные фрактальные картины нашей Природы, получились благодаря некоему комплексному «Началу», пока не зафиксированному нашими несовершенными ощущениями и инструментами.

4. Модель мнимого вакуума

Современные теории элементарных частиц и космологии, используют скалярное поле, в качестве одного из основных своих понятий. За последнее время наибольшие успехи в данной области были достигнуты благодаря представлению плотности потенциальной энергии однокомпонентного, однородного скалярного поля φ в виде потенциала Хиггса:

где: μ — мнимая масса скалярного поля; λ — константа взаимодействия поля с самим собой (константа самодействия), (ħ = c = 1).

Появление данного потенциала объясняется перестройкой исходного вакуумного состояния (спонтанное нарушение симметрии) с «приобретением» массы элементарными частицами. Дальнейшее развитие теории вакуума потребовало введения двухкомпонентного скалярного поля φ. В этой связи стали использовать его представление в комплексном виде: φ = ��1+ i ��2 .

Я предлагаю возможный вариант скалярного поля в виде суммы действительной и мнимой части фрактальной функции Вейерштрасса (3) с комплексным аргументом. Ниже рассмотрена простейшая модель появления мнимого поля в процессе фазовой перестройки космического вакуума в момент зарождении материи.

Ограничимся первым слагаемым ряда Вейерштрасса (3) и рассмотрим следующий вид потенциальной энергии двухкомпонентного скалярного поля φ (до момента фазовой перестройки вакуума и появления материи):

где: ρ(φ)–плотность энергии скалярного поля; z=(u-iv)φ* — здесь выбрана сопряженная форма комплексного аргумента.

Перейдем к безразмерным величинам: v/u=α и φ*∙u=φ. Разложим cos z в ряд Маклорена (до трех первых слагаемых) и выделим действительную и мнимую части:

Не трудно видеть, что оба потенциала ��1 (φ) и ��2(φ) сохранили традиционную, хиггсовскую форму (5), а их «внутреннее» содержание позволяет обнаружить некоторые особенности нового представления эффективного потенциала скалярного поля.

Предложенная модель позволяет получить традиционную форму действительного скалярного поля (то есть «не портит» существующей теории вакуума), предсказывает появление нового, мнимого поля, антиподного физическому и, следовательно, избавляет от необходимости привлечения в космологию гипотетических параллельных и зеркальных миров. Очевидно, что реальность мнимого поля может быть зафиксирована только в нефизическом эксперименте.

Параметр α = v / u играет в модели ключевую роль: равенство нулю космологической постоянной и численные значения величин ��1 , ��2 , ��1 и ��2 определяются «тонким взаимоотношением» между действительной (u) и мнимой (v) частями комплексного аргумента. Причем в каждом конкретном случае, это «взаимоотношение» будет разным и даже, возможно, непредсказуемым (в этом и заключается некое «сознание» мнимого вакуума).

Таким образом, «чисто математический» подход не исключает возможности существования мнимого поля, обладающего эволюционной (генетической) памятью, как порождение фрактальной функции Вейерштрасса.

5. Заключение

Завороженные красотой фрактальной геометрии, ученые по-прежнему упускают редкую возможность выйти за пределы тесных рамок материальных парадигм. Факты, собранные в данной работе (далеко не все), убедительно показывают, что наш Мир изначально двойственен. Эта двойственность постоянно проявляется в многочисленных природных явлениях. В физике: частица-волна, частицы-античастицы, и т.д. В биологии: двойная спираль ДНК, деление клеток надвое, двуполость организмов и т.д. Наконец, в математике: бинарность операций, бинарность комплексных чисел, бифуркации и т.д. Самый яркий пример двойственности (и в физике, и в биологии) — фракталы. Этот пример должен окончательно убедить ученых в реальности мнимого мира.