Как находится критический режим

Апериодический режим

Таким образом, в последовательном колебательном контуре (Рис.3.1) апериодический режим наступает при Q<0.5.

В связи с этим при анализе переходных процессов в последовательном колебательном контуре отпадает надобность в составлении характеристического уравнения и определении его корней.

В апериодическом режиме законы изменения тока и напряжений на пассивных элементах описываются формулой (3.13).

Если подставить в (3.13) найденные значения коэффициентов a и b (см. п.5) и выполнить простейшие преобразования, то получим законы изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура (3.1) в апериодическом режиме:

Для иллюстрации законов изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура в апериодическом режиме зададимся произвольными значениями E, L, C, , а сопротивление нагрузки R выберем таким, чтобы Q<0.5 и по формулам (3.20) рассчитаем и построим соответствующие графики.

Пример таких расчетов приведен на Рис.3.2.

Критический режим

Критический режим в последовательном колебательном контуре наступает, если корни характеристического уравнения действительные и одинаковые, а это возможно, если:

Таким образом, критический режим в последовательном колебательном контуре наступает при Q<0.5.

Законы изменения напряжений на пассивных элементах цепи Рис.3.1 в критическом режиме описываются формулой (3.14).

Если подставить в (3.14) значения a и b (см. п.5) и выполнить простейшие преобразования, то получим:

Для иллюстрации законов изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура в критическом режиме выберем значения E, L и C такими как в примере 3.1, а сопротивление нагрузки выберем из условия Q=0.5.

Пример расчетов по формулам (3.21) приведен на Рис.3.3.

Из сравнения рисунков 3.2 и 3.3 следует, что изменения напряжений на резисторе (ток в цепи) в критическом режиме происходят более плавно, чем в апериодическом.

Кроме того, в критическом режиме конденсатор заряжается, примерно, в 2,6 раза быстрее, чем в апериодическом.

Если ограничить длительность переходного процесса в критическом режиме временем t_пер=5/, при котором U_C(t_пер)=0.96*E, то возникает возможность синтеза последовательного колебательного контура в заданной длительностью переходного процесса в критическом режиме.

Пусть задано сопротивление нагрузки R в цепи рис.3.1, которая подключается к источнику постоянного напряжения при нулевых начальных условиях. Необходимо найти такие значения L и C, при которых в цепи возникает критический режим, длительность которого должна составлять t_пер.

Решение. В критическом режиме t_пер=5/;

Совместное решение этих уравнений дает формулы для расчета потребных значений индуктивности и емкости

Колебательный режим

Колебательный режим в последовательном колебательном контуре возникает, если корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные, а это возможно если

где — частота свободных колебаний.

В колебательном режиме законы изменения напряжений на пассивных элементах контура определяются по формуле (3.15).

Подстановка коэффициентов a и b (3.19) в формулу (3.15) дает законы изменения напряжений на пассивных элементах контура Рис.3.1:

Для иллюстрации законов изменения напряжений на пассивных элементах последовательного колебательного контура в колебательном режиме (3.22) выберем значения E, L и C такими же, как в примерах 3.1 и 3.2, а сопротивление нагрузки выберем из условия Q=5.

Пример расчетов по формулам (3.22) приведен на Рис.3.4.

Из анализа изложенного следует, что при Q>0.5 в последовательном контуре Рис.3.1 возникают затухающие колебания, при которых происходит непрерывный обмен энергией между индуктивностью и емкостью.

Затухание свободных колебаний происходит вследствие необратимых потерь энергии в активном сопротивлении R.

Длительность переходного процесса в колебательном режиме определятся коэффициентом затухания

Чем больше Q, т.е. чем меньше R, тем дольше продолжается переходной процесс.

Частота свободных колебаний всегда меньше резонансной частоты контура

Из Рис.3.4 видно, что напряжение на емкости в начале переходного процесса почти в два раза превышает приложенное напряжение, что необходимо учитывать при выборе пробивного напряжения конденсатора.

Таким образом, режим переходного процесса в колебательном контуре, при подключении его к источнику постоянного напряжения, целиком определяется комбинацией значений RLC-элементов:

Критический режим

Напомним, что в цепи, изображенной на рис. 8.8, переходный процесс критического вида наблюдается при соотношении параметров R = 2^-, характеристическое уравнение при этом имеет два равных корня р, = р₂ = р = -R/(2L).

Ток в контуре i(t) и его первая производная di/dt определяются выражениями

Их начальные значения, как и в предыдущем случае, равны

Тогда из уравнений (8.10) при t = 0. для постоянных Л, и Л₂ получаем Л, = 0 и Л₂ = E/L. Искомая функция тока /(f) имеет вид

— это произведение линейной функции, задающей прямую, проходящую через начало координат, и экспоненты. График зависимости (8.11), построенный на рис. 8.10, сходен по виду с кривой /(f) в апериодическом режиме (см. рис. 8.9).

Рис. 8.10. График зависимости тока i(t), возникающего в цепи, изображенной на рис. 8.8, в критическом режиме (R = 2 У L/C )

Колебательный режим

Если в цепи, изображенной на рис. 8.8, резистивное сопротивление настолько мало, что выполняется неравенство R ы .

Другими словами, это синусоида, амплитуда которой затухает по экспоненциальному закону.

Рис. 8.11. График тока i(t) для цепи, изображ енной на рис. 8.8, в колебательном режиме (R и б могут быть определены экспериментально по осциллограмме i а именно:

Критический переходный режим

Пусть R > 2 = 2ρ, где ρ – волновое сопротивление колебательного контура

ρ = ρ _1,2 = — + 0 = — = — = — ω_0.

где ω₀ – резонансная частота.

5. Записываем решение для свободных составляющих

u_{C cв} = + t = ( + t) .

i_cв = ( + t) .

6. Определяем независимые начальные условия

7. Определяем постоянные интегрирования

u_C = Е + (+t) ;i = (+t) .

т.к. i = C , получим i = C [+ p(+t) ];

i = C (+ p+ pt) .

= -Е;

— рЕ = 0 ; = рЕ.

u_C = E + ( -E + pEt) ; u_C = E – E(1 – pt) ;

i = C [ pE + p(-E) + ppEt ] ; i = Cp 2 Et .

Критический режим является граничным между апериодическим и колебательным. Практическая значимость критического режима обусловлена наименьшим временем переходного процесса в электрической цепи по сравнению с другими режимами (рис. 3.3).

Колебательный переходный режим

4. Если R < 2 , то корни комплексные сопряжения

р_1,2 = — + .

δ = — коэффициент затухания.

ω₀ = – угловая частота собственных незатухающих колебаний.

Тогда Р = — δ + , обозначим— угловая частота свободных колебаний (угловая частота собственных затухающих колебаний).

Окончательно имеем р_1,2 = — δ + jω.

5. Записываем решение для свободной составляющей

u_{c св} =sin(ωt + θ).

6. Независимые начальные условия

7. Определяем постоянные интегрирования

u_C = E + sin(ωt + θ); i = C ;

i = — CAδ sin(ωt + θ) + CωA cos(ωt + θ).

Решая эту систему, получим

а – неизвестное число.

Отсюда определяем А и θ

A = Аcos θ + jAsin θ = Ae j θ.

Огибающая свободной составляющей определяется кривой А

Величину — называется постоянной времени колебательного контура.

Обозначим — период свободных колебаний

Быстроту затухания процесса характеризуют величиной (рис. 3.4)

Δ = е δТ – называют декрементом колебания, равным отношению двух последующих амплитуд свободных колебаний напряжения или тока

Δ = .

или логарифмическим декрементом колебания

θ = lnΔ = lne δT = δT.

Контрольные вопросы

1. В чем состоят особенности переходных процессов в цепях, описываемых дифференциальными уравнениями выше первого порядка?

2. Чем характеризуется апериодический переходный режим?

3. Чем характеризуется критический переходный режим?

4. Что такое колебательный переходный режим?

5. Что такое постоянная времени колебательного контура?

Упражнения и задачи

1. В схемеОм,мГн. Определить емкость, при которой будет апериодический режим.

2. Конденсатор, емкость которого , разряжается через сопротивлениеи индуктивность.

Определить: 1) характер процесса в случаях:

а) Ом,мГн,мкФ;

б) Ом,мГн,мкФ;

в) Ом,мГн,мкФ;

2) период собственных затухающих колебаний в случае колебательного процесса разряда.

3. Какими должны быть начальные условия, чтобы в схеме примера 1 переходный процесс отсутствовал?

Основные соотношения операторного метода расчета. Изображения функций времени и математических операций.

Критический режим в последовательной RLC-цепи

p 1,2 = − R 2 L ± ( R 2 L ) 2 − 1 L C = − α ± ω 2 = − R 2 L = − α .

При этом (согласно уравнению состояния последовательной RLC-цепи, подключенной к источнику напряжения u₀ = const) решение

i ( t ) = i с в ( t ) = ( A 1 + A 2 t ) e − α t

действительно не содержит колебательной составляющей (как и при рассмотрении апериодического режима).

При начальных условиях

получим А₁ = 0, следовательно,

i ( t ) = u 0 − u C 0 L t e − α t .

График критического процесса приведен на рис. 23 (где линейная функция и экспонента намечены штриховыми линиями; периодическая составляющая в графике отсутствует, а максимум соответствует постоянной времени τ = 1/α).

Похожие публикации:

1. Какая разница электроника и схемотехника
2. Планшет вместо ноутбука какой выбрать
3. Почему нельзя тушить магний углекислотным огнетушителем
4. Сколько классов по электроопасности установлено для помещений