В чем измеряется фаза

Фаза колебаний

Любой колебательный процесс, который изучается физикой, имеет ряд параметров, одним из которых является фаза. Кратко рассмотрим, что это такое, каков физический смысл фазы, в чем измеряется фаза, приведем формулу фазы колебаний.

Параметры гармонического колебания

Любой колебательный процесс — это изменения некоторого параметра около среднего значения. Колебания бывают периодическими (маятник) и непериодическими (флаг на ветру). Если построить график колебательного процесса, то среднее значение на нём будет представлено горизонтальной прямой, а значение колеблющегося параметра — кривой, постоянно возвращающейся к среднему. При этом для непериодического колебания возвраты будут хаотичными, а для периодического — строго через одинаковый промежуток времени. Этот промежуток называется периодом колебания $T$.

Периодические и непериодические колебания

Рис. 1. Периодические и непериодические колебания.

Простейшим периодическим колебанием является колебание, которое совершается по закону круговых функций (синуса или косинуса). Оно называется гармоническим. Поскольку в высшей математике доказывается, что любое колебание (в том числе непериодическое) можно представить в виду бесконечной суммы гармонических колебаний, то в первую очередь изучаются именно они. А по определению любое гармоническое колебание можно представить в виде функции:

$$A=A_0sin \Bigg ( <2\pi\over T>t +\varphi_0 \Bigg ),$$

$A_0$ — амплитуда колебания, максимальное отклонение мгновенного значения функции от нуля;
$T$ — период колебаний;
$t$ — свободная переменная — момент времени, для которого находится мгновенное значение амплитуды;
$\varphi_0$ — начальная фаза колебаний.

Коэффициент $<2\pi\over T>=\omega$ при свободной переменной $t$ называется угловой частотой. Его физический смысл состоит в том, что это угол, проходимый гармонической функцией за единицу времени. Значение выражения $ <2\pi\over T>t +\varphi_0=\varphi$, которое является аргументом функции синуса, называется полной фазой колебания.

Рис. 2. Фаза колебания.

Фаза гармонического колебания

Из формулы гармонического колебания можно понять физический смысл фазы. Поскольку аргументом функции $sin(x)$ является угол поворота единичного вектора на координатной плоскости, выраженный в радианах, и его период равен $2\pi$, то фаза — это часть периода колебания, соответствующая моменту $t$. Она еще выражается в радианах и тоже имеет период $2\pi$.

Из формулы также можно видеть, что если $t=0$, то $\varphi=\varphi_0$ (полная фаза в начальный момент равна начальной фазе).

Разность фаз

Для одного колебательного процесса фаза не играет большой роли. В самом деле, если брать разные моменты времени за начальные, мы можем получать любое значение фазы, колебательный процесс при этом никак не изменится. Однако, когда речь идет о нескольких колебательных процессах, то значение фазы существенно возрастает. Именно фазой определяется разница мгновенных значений двух колебаний.

Рис. 3. Графики колебаний с различными фазами.

Если частоты колебаний неодинаковы, то каждый момент времени фазы будут различны, их разность также будет изменяться. Если же частоты колебаний одинаковы, то несмотря на изменение со временем фазы каждого колебания, разность фаз этих двух колебаний будет постоянной. Это может приводить к интересным ситуациям.

Например, если мы возьмем два колебания с одинаковыми амплитудами и частотами, но у первого начальная фаза будет равна нулю, а у второго — $\pi$, то эти два колебания никогда не будут иметь одинаковых ненулевых значений. Более того, если эти колебания сложить, то их сумма всегда будет равна нулю. Говорят, что такие процессы происходят в противофазе.

Что мы узнали?

Фаза колебания — это часть периода колебания, соответствующая текущему моменту времени. Единица измерения фазы — радиана, она имеет период $2\pi$. Особо важное значение имеет разность фаз двух и более колебаний. Если частота этих колебаний одинакова, то и разность фаз будет всегда постоянной.

Определение фазы колебаний — характеристики и как её найти

Важной характеристикой гармонических колебаний является фаза.

Фазой колебаний в физике называют аргумент периодической функции, описывающей колебательный процесс.

Система, совершая колебания, отклоняется от своего положения равновесия. Фаза колебаний определяет величину (угол) этого отклонения в любой момент времени.

Фаза колебаний обозначается греческой буквой φ. Формула для вычисления имеет вид: φ ( t ) = ω · t + φ 0 ,

ω — циклическая частота, или Р а д / с и с — 1 ;

φ 0 — начальная фаза при t=0, Рад.

Единицей измерения фазы в системе СИ являются радианы (Рад).

Отметим, что уравнения гармонических колебаний вида x = X m · sin ( φ ) и x = X m · cos ( φ ) применимы как для свободных механических, так и для электрических колебаний.

Что называется начальной фазой колебаний

В момент t=0 с фаза колебаний будет равной φ 0 . Это значение называют начальной фазой.

Из определения ясно, что начальная фаза показывает положение точки до начала отсчета времени.

Начальная фаза колебаний зависит от начальной координаты x 0 = x ( t = 0 ) точки и ее начальной скорости v 0 = x ‘ ( t = 0 ) . Пусть изменение положения происходит по закону: x = X m · sin φ = X m · sin ω · t + φ 0 .

При t = 0 : x 0 = X m · sin φ 0 и v 0 = ω · X m · cos φ 0 . Откуда: sin φ 0 = x 0 X m и cos φ 0 = v 0 ω · X m .

Из приведенных выражений получим формулу для нахождения тангенса начальной фазы:

tan φ 0 = sin φ 0 cos φ 0 = x 0 · ω v 0 .

В том случае, если колебания описываются функцией косинуса, выражение для определения начальной фазы будет иметь вид:

tan φ 0 = v 0 ω · x 0 .

Как найти разность фаз колебаний, формула

Пусть имеется два гармонических колебания, изменяющихся по одному закону и с одинаковой амплитудой и частотой, т.е X m 1 = X m 2 и ω 1 = ω 2 . Такие колебания будут отличаться друг от друга только значением начальных фаз.

Запишем уравнение колебаний для каждого: x 1 = X m 1 · sin ω 1 · t + φ 01 и x 2 = X m 2 · sin ω 2 · t + φ 02 . Введем обозначение для разности фаз — ∆ φ . Так как амплитуда и частота равны, то ∆ φ определяется выражением:

На рисунке показаны два графика гармонических колебаний, разность фаз которых составляет π радиан.

Разность фаз также называют сдвигом фаз.

Колебания, разность фаз которых не зависит от времени, называются когерентными.

Рассмотрим два гармонических когерентных колебания с одинаковым периодом и направлением: x 1 = X m 1 · cos ω · t + φ 01 и x 2 = X m 2 · cos ω · t + φ 02 . Величину результирующей амплитуды X_m определим по правилу сложения векторов: X m 2 = X m 1 2 + X m 2 2 + 2 · X m 1 · X m 2 · cos φ 02 — φ 01 . Из формулы видно, что суммарная амплитуда колебаний зависит от сдвига фаз. Приведем два варианта:

Сдвиг фаз равен четному числу π : 0 , 2 π , 4 π , 6 π и т.д. В этом случае: cos φ 02 — φ 01 = 1 . Суммарная амплитуда: X m = X m 1 + X m 2 . Такие колебания называют синфазными. Пример синфазных колебаний приведен на рисунке.
Сдвиг фаз равен нечетному числу π : π , 3 π , 5 π и т.д. В этом случае: cos φ 02 — φ 01 = — 1 . Суммарная амплитуда: X m = X m 1 — X m 2 . О таких колебаниях говорят, что они находятся в противофазе. Если X m 1 = X m 2 , т о X m = 0 . Пример двух противофазных колебаний с одинаковыми амплитудами приведен на рисунке.

От чего зависит фаза колебаний, примеры

Фаза колебаний определяется выражением ω · t + φ 0 и зависит от следующих величин:

начальной фазы, следовательно — от начальных координат и скорости системы;
циклической частоты ω .

Поговорим подробнее о влиянии частоты для механических и электрических колебаний.

Циклическая частота есть величина, обратно пропорциональная периоду колебаний и определяемая по формуле: ω = 2 π T .

Циклическую частоту также выражают через частоту: ω = 2 π · ν .

Рассмотрим пример с грузом массой m, закрепленным на пружине жесткостью k. Будем считать, что φ 0 = 0 , чтобы не учитывать ее влияние.

Циклическая частота в этом случае: ω = k m . Получим, что фаза колебаний составляет: φ = k m · t .

То есть чем больше масса груза, тем меньше значение фазы колебаний. Утверждение о влиянии жесткости будет противоположным: чем больше жесткость пружины, тем больше значение величины φ.

В качестве следующего примера возьмем переменный ток. Как известно, переменный ток — ток, в котором вектора напряжения и силы тока изменяют свои значения и (или) направления.

При гармонических электрических колебаниях напряжение изменяется во времени по закону: u = U m · sin ω · t .

На практике одной из основных характеристик переменного тока указывают частоту ν, Гц. Запишем выражение для φ через ν: φ = 2 π · ν · t .

Получили, что значение фазы колебаний будет расти вместе с частотой.

Выражение для циклической частоты в электрическом контуре можно записать через индуктивность L и емкость C: ω = 1 L C .

Тогда: φ = 1 L C · t , т.е. значение фазы обратно пропорционально индуктивности и емкости.

Примеры решения задач

Из графика, представленного на рисунке, найти амплитуду колебаний. Определить значение фазы колебаний через 3 секунды после начала процесса.

Решение. Из рисунка видно, что график представляет собой косинусоиду. Максимальное отклонение от положения равновесия равно 4, т.е. X m = 4 , φ 0 = 0 . Чтобы вычислить значение фазы, найдем циклическую частоту ω. Система совершает одно полное колебание за 2 секунды, значит, период T=2 с.

Тогда: ω = 2 π T = 2 π 2 = π Рад. Фазу колебаний в момент t=3 найдем по формуле: φ = ω · t + φ 0 = 3 π .

Даны два когерентных колебания вида X=Xm cosφ, амплитуда первого — 4, а второго — 6. Период обоих колебаний равен 4 с. Известно, что через 6 секунд отклонения точек от положения равновесия составило (-4) и 6 соответственно. Доказать, что колебания находятся в противофазе.

Решение. Запишем уравнение первого колебания и подставим в него известные значения:

x 1 = 4 · cos 2 π T t + φ 01 = 4 · cos π 2 + φ 01 ;

x 1 ( t = 6 ) = 4 · cos 3 π + φ 01 = — 4 .

Аналогично поступим для второго:

x 2 = 6 · cos 2 π T + φ 02 = 6 · cos 3 π + φ 02 ;

x 2 ( t = 6 ) = 6 · cos 3 π + φ 02 = 6 .

Получим: cos 3 π + φ 01 = — 1 и cos 3 π + φ 02 = 1 .

Тогда фазы колебаний: 3 π + φ 01 = π и 3 π + φ 02 = 2 π .

Вычислим, чему равен сдвиг фаз: φ 02 — φ 01 = 2 π — 3 π — π — 3 π = π .

Разность фаз равна нечетному числу π , следовательно, колебания находятся в противофазе.

Напряжение в цепи переменного тока совершает колебания по закону: u = U m · cos ω · t + π 12 . Известно, что при t = T 24 , значение напряжение составило 4 3 В . Найти U m , φ , φ 0 в заданный момент время, если период T=0,1 с. Построить график u ( t ) .

Решение. Из выражения для u найдем φ 0 : φ 0 = π 12 .

Вычислим фазу при t = T 24 : φ = ω · t + π 12 = 2 π T t + π 12 = π 12 + π 12 = π 6 . З н а я , ч т о u ( t = T 24 ) = 4 3 В , получим значение амплитуды:

Фаза колебаний.

Фаза колебаний — это аргумент периодически изменяющейся функции, описывающей колебательный или волновой процесс. Для гармонических колебаний:

Фаза гармонического колебания при постоянной амплитуде определяет не только координату колеблющегося тела в любой момент времени, но и скорость и ускорение, которые тоже изменяются по гармоническому закону (скорость и ускорение гармонических колебаний — это первая и вторая производные по времени функции (см. рис. ниже), которые, как известно, снова дают синус и косинус). Поэтому можно сказать, что фаза определяет при заданной амплитуде состояние колебательной системы в любой момент времени.

Два колебания с одинаковыми амплитудами и частотами могут отличаться друг от друга фазами. Так как ω = 2π/Т, то

Отношение t/T показывает, какая часть периода прошла от момента начала колебаний. Любому значению времени, выраженному в долях периода, соответствует значение фазы, выраженной в радианах.

Фаза колебаний

Сплошная кривая на рисунке — это зависимость координаты от времени и одновременно от фазы колебаний (верхние и нижние значения на оси абсцисс соответственно) для точки, совершающей гармонические колебания по закону:

Здесь начальная фаза равна нулю φ₀ = 0. В начальный момент времени амплитуда максимальна. Это соответствует случаю колебаний тела, прикрепленного к пружине (или маятника), которое в начальный момент времени отвели от положения равновесия и отпустили. Описание колебаний, начинающихся из положения равновесия (например, при кратковременном толчке покоящегося шарика), удобнее вести с помощью функции синуса:

Как известно, cos φ = sin (φ + π/2), поэтому колебания, описываемые уравнениями x = x_m cos ω₀ t и x = x_m sin ω₀ t, отличаются друг от друга только фазами. Разность фаз, или сдвиг фаз, составляет π/2. Чтобы определить сдвиг фаз, нужно колеблющуюся величину выразить через одну и ту же тригонометрическую функцию — косинус или синус. Пунктирная кривая на рисунке выше (это график уравнения x = x_m sin ω₀ t) сдвинута относительно сплошной на π/2.

Большая Энциклопедия Нефти и Газа. Фаза в чем измеряется

Периодические и непериодические колебания

Рис. 1. Периодические и непериодические колебания.

$$A=A_0sin \Bigg ( <2\pi\over T>t +\varphi_0 \Bigg ),$$

$A_0$ — амплитуда колебания, максимальное отклонение мгновенного значения функции от нуля;
$T$ — период колебаний;
$t$ — свободная переменная — момент времени, для которого находится мгновенное значение амплитуды;
$\varphi_0$ — начальная фаза колебаний.

Рис. 2. Фаза колебания.

кенетическая энергия